2022-2023学年上海市黄浦区高二年级上册学期12月月考数学试题含答案

2022-2023学年上海市黄浦区高二上学期12月月考数学试题

一、填空题

I.已知数列｛4｝是等差数列，“3=18,%=3,则%=

【答案】一1手29##-64.5

【分析】根据题意计算出等差数列的首项和公差即可求解.

51

4=5

"4+=2d=318解得

【详解】设公差为"，则由题意得

L

4

所以。25=4+24d=3+24x15129

故答案为：一1手29.

2.平行六面体的每个面都是.

【答案】平行四边形

【分析】根据平行六面体的定义即可求解.

【详解】根据平行六面体的定义可知：平行六面体的每个面都是平行四边形.

故答案为：平行四边形

3.掷两颗骰子，则所得的点数之和为6的概率为.

【答案】旦

【分析】掷两颗骰子得到有序数对(*y),事件“正面朝上的点数之和为6”的基本事件有：(1,5),

(2,4),(3,3),(4,2),(L5)共有5个基本事件，而所有的基本事件有36个，由此结合随机事件的概

率公式即可算出本题的概率.

【详解】记两颗骰子的点数分别为x,y,得掷两颗骰子得到有序数对(乂＞)

则x、y的值可能是1,2,•••,6共六种情况，共6x6=36个基本事件.

事件“正面朝上的点数之和为6”的基本事件有：

(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(1,5)

共有5个基本事件因此，点数之和为6的概率为P=2

36

故答案为：2

36

4.在等比数列｛«"｝中，若其前〃项和5“=3"+。，则旬”=.

【答案】2x323°

【分析】利用等比数列明与S“的关系求解.

【详解】由题可得4=E=3+4,

当〃N2时，a„=S„-J=3"+a-(3"T+“)=2.3"T,

因为｛%｝为等比数列，所以4=3+a满足q=23T,

所以3+。=2解得4=-1,

所以4=2-3"T,〃eN",

所以见<>“=2x3刈°,

故答案为：2x32叫

5.若圆锥的侧面积为。平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的半径为.

【答案】也近

24

【分析】根据侧面积得到R=栏，故2夕="火，解得答案.

【详解】设侧面展开图的半径为R,则S=g乃-R2=a,即尺=栏.

圆锥的底面的半径/满足2夕=乃/?,故r=叵2

24

故答案为：灭也.

24

【点睛】本题考查了圆锥展开图的相关计算，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

6.若长方体的对角线的长为9cm,其长、宽、高的和是15cm,则长方体的全面积是.

【答案】144cm2

【分析】设长方体的长、宽、高分别为％y，z,利用(x+y+zp可构造方程求得2号+2xz+2»,即为

所求的全面积.

x+y+z=15

【详解】设长方体的长、宽、高分别为贝"

x，y，z,「---r，

,厂+V+z'=9

/.(x+y+z)'=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz=81+2xy+2xz+2yz=225,

2盯+2xz+2yz=144,即长方体的全面积为144cm?.

故答案为：144cm2.

7.口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65,

摸出黄球或白球的概率为0.6,那么摸出白球的概率为.

【答案】0.25

【详解】设摸出白球、红球、黄球的事件分别为AB,C,根据互斥事件概率加法公式

P（A+5）=P（A）+P（3）=0.65,P（A+C）=P（A）+P（C）=0.6,

P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）=1,解得P（A）=0.25.

8.如图，在直四棱柱ABCQ-A4G。中，ZADC=90°,S.AAt=AD=DC=2,Me平面ABC£>,

当RM_L平面A,C,D时，DM=

【答案】20

【分析】建系，根据题意利用空间向量的坐标运算可求点M的坐标，即可得结果.

【详解】如图，以。为坐标原点建立空间直角坐标系，则。（0,0,0）,4（2,0,2）<（0,2,2）4（0,0,2）,

UUUUUUUUUU1

由题意可设M（a,b,0）,则/2）,£>A=（2,0,2）,DC,=（0,2,2）,

D.MDA.=2a-4=0\a=2/、

若"ML平面AG。，则，解得，,即M(2,2,0,

D.M-DAf=2b-4=0[b=2

故DM=>/22+22+02=2A/2.

故答案为：2&.

9.球面上三点A、B、C,48=18,8C=24,AC=30,球心到平面ABC的距离为球半径的一半,

则球半径为

【答案】106

【分析】由题意可知：AB1BC,A8C为直角三角形，外接圆圆心为斜边AC的中点，结合条件,

利用勾股定理即可求解.

【详解】因为AB=18,8C=24,AC-30,所以48?+8C?=AC）,

所以，ABC为直角三角形，则AC为球小圆的直径，设球半径为R,

如图：

由题意可知：（gy+152=R2,解得：R=10百，

故答案为：106.

10.下列四个正方体图形中，A、8为正方体的两个顶点，例、N、P分别为其所在棱的中点，能得

出M〃平面MNP的图形的序号是（写出所有符合要求的图形序号）.

【答案】①©

【分析】根据线面平行的判定和性质，以及面面平行的性质即可得解.

【详解】对于①：易知平面MNP平行于正方体右侧平面，

根据面面平行的性质即可得出A8平行于平面MNP.

对于②：若A3平行于平面MNP,

因为ABu平面A8O,且平面A3。与平面MNP交线为NQ,

则根据线面平行的性质可得，A8平行于NQ,

所以僚，这与；=；矛盾，故该选项错误；

对于③:

由中位线定理可得MP平行于CD,

而CD平行于A8,所以A8平行于平面MNP,MPu平面MNP,

所以45〃平面MNP

对于④：如图，连接GE,EN,因为为所在棱的中点，则M7V//EF,

故平面MNP即为平面MNEF,由正方体可得AB//EG,

而平面A8GE1平面MNEF=EM,若A8〃平面MVP,

由ABu平面ABGE可得A8//EM,故EGHEM,矛盾，故该选项错误

故答案为：①③.

二、双空题

11.棱长为"的正四面体的全面积为，体积为.

【答案】出相.

【分析】设ABCD是棱长为。的正四面体，即可直接求得其全面积，作A。J•平面BCD于0,则。为

△3CO的中心，求出8。的长，由此可求出正四面体的高A0的长，进而可求得正四面体的体积.

【详解】如图设ABCD是棱长为“的正四面体，则正四面体的全面积为4x正/=&2,

A

作AO_L平面BCD于。，则。为△88的中心，则80=2、立”=立〃

323

百丫卡

所以正四面体的高为A0=——a=—a，

3

所以正四面体的体积为*/4”拿.

故答案为：丛屋;存.

12.已知球的两个平行截面的面积分别为49兀、400兀，且两个截面之间的距离是9,则球的表面积

为,体积为.

_62500

【答案】2500n—~—"

【分析】先画出过球心且垂直于已知截面的球的大圆截面，再根据球的性质和已知条件列方程求出

球的半径.由于球的对称性，应考虑两截面与球心的位置关系分别在球心的同侧和异侧的情形，加

以分类讨论.

【详解】下图为球的一个大圆截面.

Tt-OtA'=49it,兀-O*?=4(Xht,则(7,4=7,0,6=20

(1)当两截面在球心同侧时，

2222

OOt-OO2=9=V/?-7-V/?-20,

解得R?=625,$球=4兀川=25OO7t,匕*=g僦=）普二兀,.

（2）当两截面在球心异侧时，

2222

OO,+OO2=9=SJR-7+YIR-20,无解.

故答案为：2500兀,哼^,

三、单选题

13.已知/是直线，口、仅是两个不同平面，下列命题中的真命题是()

A.若/〃a,l\\p,则a〃夕B.若a_L£,I//a,则

C.若ILa,IB,则D.若/〃a,a〃尸，则/0

【答案】C

【分析】根据线面、面面之间的平行、垂直的判定和性质即可求解.

【详解】对于选项A：若/〃a,/P,存在a,/7相交的情况，故该选项错误；

对于选项B：若a_L/?,l//a,存在/在/内或/〃4或/,〃相交的情况，故该选项错误；

对于选项C：若/_La,//，a、夕是两个不同平面，则故该选项正确；

对于选项D：若/〃a,a//13,存在/在/内，故该选项错误.

故选：C.

14.在国庆阅兵中，某兵种A,B,C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先

于A,C通过的概率为

A.-B.-C.JD.1

6323

【答案】B

【解析】将所有的情况枚举出来再分析即可.

【详解】用(A,B,C)表示A,8,C通过主席台的次序，则所有可能的次序为

(A,B,C),(AC,A,C),(B,C,A),(C,A,B),(C,B,A),共6种，其中B先于A.C通过的有(8,C,A)和

2I

(B,A,C)洪2种，故所求概率P=$=：.

63

故选：B

【点睛】本题主要考查了古典概型的一般方法，根据枚举求解即可.属于基础题型.

15.把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，每人一张，则事件“甲分得红牌”与事件"乙分得红

牌”是()

A.对立事件B.互斥但不对立事件C.不可能事件D.必然事件

【答案】B

【分析】利用互斥事件和对立事件的定义求解.

【详解】解：把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，每人一张，

则事件“甲分得红牌，，与事件“乙分得红牌，，不会同时发生，则两者是互斥事件,

但除了甲分得红牌，乙分得红牌，还有丙分得红牌，则两者不是对立事件，

所以事件，，甲分得红牌，，与事件，，乙分得红牌，，是互斥但不对立事件，

故选：B

16.连掷两次骰子得到的点数分别为机和〃，记向量4=（〃7,〃）与向量的夹角为e,则

的概率是（）

A.—B"C.—D.-

122126

【答案】C

【分析】由，得出“力=巾_〃20,计算出基本事件的总数以及事件机2〃所包含的基本事

件数，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.

【详解】。4°卷-.­.ab=m-n>0,即加之〃，

事件“de（0,5”所包含的基本事件有：（1,1）、（2,1）、（2,2）、（3,1）、（3,2）、（3,3）、（4,1）、（4,2）、

（4,3）、（4,4）、（5,1）、（5,2）、（5,3）、（5,4）、（5,5）、（6,1）、（6,2）、（6,3）、（6,4）、（6,5）、（6,6）,

共21个，

所有的基本事件数为6?=36,因此，事件”的概率为筌=1.

I2」3612

故选：C.

【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，解题的关键就是求出总的基本事件数

和所求事件所包含的基本事件数，考查计算能力，属于中等题.

四、解答题

17.如图所示，在长方体ABCO-A/BQS中，AB=AD=\,AA,=2,"是棱CC/的中点.证明:

平面A8W_L平面AiBiM.

【答案】证明见解析

【分析】通过长方体的几何性质证得通过计算证明证得由此证得2平

面AgM,从而证得平面相M,平面481M.

【详解】由长方体的性质可知A/8/_L平面8CC/B/,

又BMu平面BCCiBi,：.AIBI±HM.

又CG=2,M为CG的中点，

：.CiM=CM=\.在RSB/GM中，BiM=西河+CM?=叵，

同理BM=JBC2+CM2=&，又BIB=2,

：.BIM2+BM2=BIB2,从而

又ABnB[M=Bi，...BM，平面A/8/M,

：BMu平面平面平面A/B/例.

【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

18.如图，在三棱柱ABC-A4G中，ACJ.BC,AB1BB1,AC=BC=BBt=2,。为AB的中点,

且CQ1ZM,.

aG

⑴求证：BG〃平面册£）；

（2）求三棱锥片-AQC的体积.

【答案】（1）见解析:

呜

【分析】（1）利用中位线的方法，结合线面平行的判定定理来证得BG〃平面CAQ.

（2）利用锥体体积公式，及等体积法计算出三棱锥用-AQC的体积.

【详解】（1）设4Gc4C=0,所以0是AG的中点，连接。。，如图,

B

由于。是A8的中点，所以OD//BC-

由于BG<2平面CAQ,u平面CA.D,

所以8G〃平面CA。.

(2)由于AC=BC,所以CD_LAB,

由于SLOA.DACAB：。，£>A，A8U平面ABB/,所以CO,平面

由于AC13C,所以48=122+2?=2五,CD=>AB=应,

2

因为AB_LB8-所以SAA4"=gAB「Bg=&x2=20,

===X

所以%-ADC^C-4IBID-'/2x2>/2=—.

19.已知ABC。是空间四边形，如图所示(M,N,E,F分别是AB、AD,BC、C£>上的点).

C

(1)若直线MN与直线E尸相交于点。，证明B,D,。三点共线；

(2)若E,N为BC,AO的中点，AB=6,0c=4,NE=2,求异面直线A8与DC所成的角.

【答案】(1)证明见解析

3

(2)arccos—

【分析】(1)根据点与线和点与面的位置关系推出。是平面桃和C8。的公共点，结合平面Wc

平面C8O=8O,即可证明；

(2)连接30,作3。的中点G,并连接GN,GE,利用中位线的性质可以得到异面直线A8与QC

所成的角等于直线GE与GN所成角，再根据余弦定理即可求解.

【详解】(1)因为NwAD,ABu平面4h，ADu平面4册，

所以MNu平面ABD,

因为EGCB,FeCD,C3u平面CB。，C£>u平面ABD,

所以Efu平面C3£),

由于直线MN与直线EF相交于点。，

即OGMN,Oe平面板>,O&EF,Oe平面C8O,

又有平面ABDc平面CBD=B£>,则OeBO,

所以B,D,。三点共线.

(2)连接8。，作8。的中点G,并连接GN,GE,如图所示：

A

在△ABD中，点N,G分别是AO和8。的中点，且A8=6,

所以GN〃他，且GN=1AB=3,

2

在△CBZ)中，点E,G分别是3C和8£)的中点，且CZ)=4,

所以GE〃C£>,且GE=；C£>=2,

则异面直线AB与DC所成的角等于直线GE与GN所成角，即NEGN或4EGN的补角，

▽d0A.p*ifii/nr'MGE~+GN~—EN~2-+3--2~3_

又EN=2,由余弦定理得：cosZEGN=----------------=----------=—>0,

2GExGN2x2x34

3

故异面直线A3与。C所成的角为arccos=.

20.小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏，规则:小王先掷一枚骰子，向上的点数记为%;

小李后掷一枚骰子，向上的点数记为招

(1)在直角坐标系xOy中以(x,y)为坐标的点共有几个?试求点(x,y)落在直线x+y=l上的概率；

(2)规定:若》+把10,则小王赢；若x+闫，则小李赢，其他情况不分输赢.试问这个游戏规则公平吗?请说

明理由.

【答案】(1)36个，概率为，；(2)公平.

O

【分析】(1)根据题意判断为古典概型，所有的基本事件总数为36个，其中点(x,y)落在直线x+y=7

上包含6种情况，故概率为尸=二=!；

(2)由题意，判断x+定10和》+乃4的概率是否相等即可，根据古典概型概率公式求解即可.

【详解】⑴因x，y都可取1,2,3,4,5,6,故以(X,y)为坐标的点共有6x6=36个.

记”点(x,y)落在直线x+y=7上”为事件A,

则事件A包含的点有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共6个，

由古典概型概率公式可得事件A的概率为P(A)=2=3

366

⑵记“x+yRO”为事件B,“x+)W4”为事件C,用数对(x,y)表示的取值.

则事件B包含的基本事件为(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6),共6个数对;

事件C包含的基本事件为(