2022-2023学年人教A版选择性必修第三册二项分布讲义

7.4二项分布与超几何分布

7.4.1二项分布

新课程标准新学法解读

1.能运用二项分布解决一些实际

1理.解二项分布的推导过程.问题.

2掌.握二项分布的实际应用.

2借.助n次独立重复试验与二项分

布解题，提高数学运算的素养.

课前篇咱主学习固基础

［笔记教材］

知识点1n重伯努利试验(〃次独立重复

试验)

(1)H重伯努利试验(〃次独立重复试验)

我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.

(2)我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试

验称为n重伯努利试验(或n次独立重复试验).

(3)〃重伯努利试验的特征

①同一个伯努利试验重复做n次；

②各次试验的结果相互_______.

答案：(3)②独立

知识点2二项分布

(1)一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的

概率为p(O<p<l)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为

P(X=k)=,k=0,1,2,…，n,如果随机

变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，

记作X~8(〃，p).

(2)二项分布的均值和方差

①若随机变量X服从参数为小p的二项分布，即X~3(〃，p),

则E(X)=；

②若随机变量X〜B(〃，p),则Q(X)=

答案：(DC驯(1-pyf

(2)①叩②秋(1-p)

［重点理解］

1.独立重复试验是相互独立事件的特例.一般地，有“恰好发

生K次”“恰有K次发生”字眼的问题，求概率时，用〃次独立重

复试验概率公式计算更简便.

2.使用公式时，一定要明确该公式中各量表示的意义：n为独

立重复试验的次数；p是在1次试验中事件A发生的概率；1—p是在

1次试验中事件A不发生的概率；k是在n次独立重复试验中事件A

发生的次数.

3.二项分布是两点分布的一般形式，两点分布是一种特殊的二

项分布，即的二项分布.

［自我排查］

1.(2021.广西钦州高二期末)已知随机变量。服从二项分布，/〜

则尸(421)的值为(

答案：B解析：1)=P^=1)+P(^=2)+=3)=1-p(e

=0)=1—c§x^3=1.

故选B.

2.打靶时，某人每打10发可中靶8次，则他打100发子弹有4

发中靶的概率为()

A.Cfo()O.84XO.296B.0.84

C.0.84X0.296D.0.24X0.296

答案：A解析：由题意可知中靶的概率为0.8,故打100发子

弹有4发中靶的概率为GooO.84XO.296.故选A.

3.(2021・江苏宿迁月考)随机抛掷一枚质地均匀的硬币5次，恰

好出现3次正面向上的概率为()

A4B微

-35

C5D8

答案：B解析：抛掷一枚质地均匀的硬币1次，出现正面向上

的概率为:，

抛掷一枚质地均匀的硬币5次，恰好出现3次正面向上的概率为

啕38H.

故选B.

4.已知随机变量X服从二项分布，X〜3(6,A则尸(X=2)等于

答案：斜解析：P(X=2)=Cj；)(i—g)4=黯.

课堂篇•重点难点要突破

研习1独立重复试验的概率

23

［典例1］甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是寻咤

假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.

(1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；

(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1

次的概率.

解：⑴记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件4.由题

意知，射击3次，相当于3次独立重复试验.

故P(Ai)=l—P(4】)=1—1寸=方

(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件4,“乙射击2

次，恰有1次击中目标”为事件史,则

2

P(A2)=C1X(D=1,

p(B2)=axg)x(i-1)=|,

由于甲、乙射击相互独立，

431

故P(A2B2)=gXg=g.

［巧归纳］

独立重复试验的概率求法的三个步骤

［练习1］某气象站天气预报的准确率为80%,计算(结果保留到

小数点后面第2位)：

(1)5次预报中恰有2次准确的概率；

(2)5次预报中至少有2次准确的概率；

(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率.

解：(1)记预报一次准确为事件A,则P(A)=0.8.

5次预报相当于5次独立重复试验，

2次准确的概率为P,=C^X0.82X0.23=0.0512yo.05,

因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.

(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部

不准确或只有1次准确”，其概率为

P=CgX(0.2)5+CgX0.8X0.24=0.00672^0.01.

所以所求概率为P2=l—P=1—0.01=0.99.

所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99.

(3)说明第1,2,4,5次中恰有1次准确.

所以所求概率为P3=aX0.8X0.23X0.8=0.02048七0.02,

所以5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约

为0.02.

研习2二项分布的分布列

［典例2］一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5

个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概

率都是；

(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数^的分布列；

(2)求这名学生在首次遇到红灯前或到达目的地停车前经过的路

口数〃的分布列.

思路点拨：(1)首先判断/是否服从二项分布，再求分布列.(2)

注意“首次遇到”“或到达”的含义，并明确〃的取值，再求〃取各

值的概率.

解：(1片〜B(5,I),。的分布列为尸e=Z)=C«m4|)5r,%=

0,1,2,3,4,5.

故《的分布列为

产(〃=5)=尸(5个均为绿灯)=(|卜

故〃的分布列为

4012345

12481632

P

392781243243

［巧归纳］

解决二项分布问题的两个关注点

(1)对于公式产5=幻=%/(1—”一”=0,1,2一,〃)必须在满足

“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式.

(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对

立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即

试验是独立重复地进行了n次.

［练习2］甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答

一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答

对的概率均为2当乙队中3人答对2的2概率1分别为余余/且各人回答

•JJJ乙

正确与否相互之间没有影响.用4表示甲队的总得分.

(1)求随机变量4的分布列；

(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用8

表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求尸(A3).

解:(1)由题意知，小的可能取值为0,1,2,3,

且P(4=O)=C《1—1)=克

尸(曰)=斓1一|}=看

P("2)=C梆0一捐,

口"3)二&吩=药

所以4的分布列为

00123

1248

p

279927

(2)用C表示“甲队得2分乙队得1分”这一事件，用。表示“甲

队得3分乙队得0分”这一事件，所以A8=CUQ,且C,D互斥.

又P(O=cg)010

-|T|x|x1+|x|x^+!x|x1]=34,

JJ\J4JJ4JJ4/

P(D)=C(|X|x|x1)=^.

由互斥事件的概率公式得

尸(A8)=尸(O+P(D)

10,43434

—34丁35—35-243.

课后篇•基础达标延伸阅读

1.某电子管正品率为3本次品率为1；，现对该批电子管进行测试,

设第4次首次测到正品，则PQ=3）=（）

31

X-22X-

c3

A.4B.4

33A1

cX-D-2X-

4J-4

47

答案：C解析：《=3表示第3次首次测到正品，说明前两次都

没有测到正品，故其概率是故选c.

2.（2021・湖北武汉高二期中）有8件产品，其中4件是次品，从

中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则P（XW2）

=（）

43「13

A-8B14

C5D8

答案：D解析：因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到

41

次品的概率为石=不

oZ

从中取3次，X为取得次品的次数，则X〜43,

P(XW2)=P(X=2)+P(X=1)+P(X=0)=CgXx|+CiX

+cW3卜=/故选D.

3.（多选题）独立重复试验满足的条件是（）

A.每次试验之间是相互独立的

B.每次试验只有发生和不发生两种情况

C.每次试验中发生的机会是均等的

D.每次试验发生的事件是互斥的

答案：ABC解析：由〃次独立重复试验的定义知选项A,B,

C正确.

4.(2021•福建漳州第五中学高一月考)已知两名射击运动员的射

击水平：让他们各向目标靶射击10次，其中甲击中目标7次，乙击

中目标6次，若再让甲、乙两人各自向目标靶射击3次，求：

(1)甲运动员恰好击中目标2次的概率是多少？

(2)两名运动员都恰好击中目标2次的概率是多少？(结果保留两

位有效数字)

解：由题意知这是3次独立重复试验.

(1)甲射击一次击中目标的概率为0.7,

则甲运动员恰好击中目标2次的概率是C*X0.72X0.3=0.441,

(2)乙射击一次击中目标的概率为0.6,

则乙运动员恰好击中目标2次的概率是dX0.62X0.4=0.432,

所以两名运动员都恰好击中目标2次的概率是

0.441X0.432^0.19.

课后自读方案

［误区警示］对独立重复试验理解有误导致错误

［示例］某电视台举行奥运知识大赛，比赛分为初赛和决赛两部

分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题和答一题的方式进

行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答题答对3题或

答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题直接进入决赛，答错3题者

则被淘汰.已知选手甲答题的正确率为寻求选手甲可进入决赛的概

率.

2I

［错解］由题意，选手甲答题的错误率为1