人教版理步步高2014必备高考数学大一轮复习讲义8立体几何课件题库导学案真题59份配套第八章

§8.2数学

RB（理）空间几何体的表面积与体积第八章 立体几何基础知识·自主学习要点梳理1．柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S

侧＝

2πrh

V＝Sh

＝

πr2h圆锥S

侧＝

πrlV＝

1Sh

3

1

2＝

3πr

h＝1

2

2

23πr l

－r难点正本 疑点清源1.几何体的侧面积和表面积几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面积之和．对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行．要特别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题．如直棱柱(圆柱)侧面展开图是一矩形，则可用矩形面积公式求解．再如圆锥侧面展开图为扇形，此扇形的特点是半径为圆锥的母线长，圆弧长等于底面的周长，利用这一点可以求出展开图扇形的圆心角的大小．基础知识·自主学习要点梳理圆台S

侧＝

π(r1＋r2)lV＝1(S

＋3

上S

下＋ S上S下)h＝1π(r2＋r2＋3

1

2r1r2)h直棱柱S

侧＝

ChV＝

Sh难点正本 疑点清源2．等积法等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高，这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．基础知识·自主学习要点梳理正棱锥1S

侧＝

2Ch′1V＝

3Sh正棱台1S

侧＝2(c＋c′)h′V＝1

S

＋S3(

上 下＋

S上S下)h球S

球面＝

4πR24

3V＝

3πR难点正本 疑点清源2．等积法等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高，这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．基础知识·自主学习难点正本 疑点清源要点梳理几何体的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积就是

各面面积之和．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是

矩形

、扇形、

扇环形

;它们的表面积等于

侧面积与底面面积之和.2．等积法等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高，这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．基础知识·自主学习基础自测题号答案解析14πS24324πa25163S设圆柱的底面半径为

r，则

r＝

π，又侧面展开图为正方形，∴圆柱的高＝2

πS，∴S

圆柱侧＝4πS.返回返回这个空间几何体是一个三棱锥，这个三棱锥的高为2，底面是一个一条边长为4、这条边上的高为3

的等腰三角形，故1

1其体积V＝3×2×4×3×2＝4.返回设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r.2则1πl2＋πr2＝3π，πl＝2πr，∴r＝1，即圆锥的底面直径为2.返回由题意知，球的半径R＝2a.所以S

球＝4πR2＝πa2.返回∵四棱锥P—BB1C1C

的底面积为16，高PB1＝1，13∴

＝

×16×1＝163.VP-BB

C

C1

1题型分类·深度剖析题型一

简单几何体的表面积思维启迪 解析

答案 探究提高题型分类·深度剖析先通过三视图确定空间几何体的结构特征，然后再求表面积．题型一

简单几何体的表面积思维启迪 解析答案 探究提高题型分类·深度剖析题型一

简单几何体的表面积思维启迪 解析

答案 探究提高题型分类·深度剖析题型一

简单几何体的表面积思维启迪 解析

答案 探究提高C题型分类·深度剖析题型一

简单几何体的表面积思维启迪 解析答案 探究提高以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．C题型分类·深度剖析解析

由三视图知该几何体为一个四棱柱、一个半圆柱和一个半球的组合体，其中四棱柱上表面与半球重合部分之外的面积为π1×2－1×π×12＝2－

，2

24π＋12π

π四棱柱中不重合的表面积为2－2＋1×2×2＋2×2＋2＝12－2，1

1

51半圆柱中不重合的表面积为2×2π×2＋2π＝2π，半球的表面积为2×4π＝2π，所以该几何体的表面积为4π＋12.题型分类·深度剖析题型二

空间几何体的体积思维启迪解析探究提高题型分类·深度剖析题型二

简单几何体的体积思维启迪

解析

探究提高思维启迪：思路一：先求出四棱锥

C1—B1EDF的高及其底面积，再利用棱锥的体积公式求出其体积；思路二：先将四棱锥C1—B1EDF化为两个三棱锥B1—C1EF

与D—C1EF，再求四棱锥C1—B1EDF的体积．动画展示题型分类·深度剖析思维启迪解析探究提高题型二

简单几何体的体积∴C1

到平面

B1EDF

的距离就是A1C1

到平面B1EDF

的距离．∵平面B1D1D⊥平面B1EDF，平面B1D1D∩平面B1EDF＝B1D，题型分类·深度剖析1B1D∴O

H

B1O1·DD1

6＝ ＝

6

a.1

1＝3·2·EF·B1D·O1H题型二

简单几何体的体积思维启迪 解析

探究提高∴O1H⊥平面B1EDF，即O1H

为棱锥的高．∵△B1O1H∽△B1DD1，1

1

6

13＝3·2·

2a· 3a·

6

a＝6a

.O

H13V

=

1

SC1

-B1EDF四边形B1EDF动画展示题型分类·深度剖析由题意得，题型二

简单几何体的体积思维启迪 解析

探究提高方法二

连接

EF，B1D.设B1

到平面C1EF

的距离为h1，D到平面C1EF

的距离为h2，则h1＋h2＝B1D1＝

2a.B11

11

1-C

EF D-C

EFC

-B

EDFV

=

V

+V31

2613(h

+

h

)

=

a=

1

SDC1EF.题型分类·深度剖析在求解一些不规则的几何体的体积以及两个几何体的体积之比时，常常需要用到分割法．在求一个几何体被分成两部分的体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积．解析思维启迪

探究提高题型二

简单几何体的体积变式训练

2

(2012·课标全国)已知三棱锥

S－ABC

的所有顶点都在球

O

的球面上，△ABC

是边长为

1的正三角形，SC

为球

O

的直径，且

SC＝2，则此棱锥的体积为

(

)A.

2

3B.

C.

D.2

26

6

3

2题型分类·深度剖析解析

由于三棱锥

S－ABC

与三棱锥

O－ABC

底面都是△ABC，O

是

SC

的中点，因此三棱锥

S－ABC

的高是三棱锥

O－ABC高的

2

倍，所以三棱锥S－ABC

的体积也是三棱锥O－ABC体积的2

倍．在三棱锥O－ABC

中，其棱长都是1，如图所示，变式训练

2

(2012·课标全国)已知三棱锥

S－ABC

的所有顶点都在球

O

的球面上，△ABC

是边长为

1

的正三角形，SC

为球

O

的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为A.

2

36

6B.

C.23D.22题型分类·深度剖析△ABC3S

＝

4

×AB2＝43，高OD＝12－

3

3

2＝

63，∴VS－ABC＝2VO－ABC＝2×3×

43

＝

61

3×

6

2.(

A

)题型分类·深度剖析题型三

几何体的展开与折叠问题思维启迪 解析

答案 探究提高题型分类·深度剖析(1)考虑折叠后所得几何体的形状及数量关系；(2)可利用圆柱的侧面展开图．题型三

几何体的展开与折叠问题思维启迪 解析答案 探究提高题型分类·深度剖析题型三

几何体的展开与折叠问题思维启迪 解析答案 探究提高由题意知BC＝3π

cm，AB＝4πcm，点A

与点C

分别是铁丝的起、止位置，故线段AC

的长度即为铁丝的最短长度．AC＝

AB2＋BC2＝5π(cm)，故铁丝的最短长度为5π

cm.题型分类·深度剖析题型三

几何体的展开与折叠问题OA、OC、OD两两相互垂直，且

OA＝OC＝OD＝2

2，思维启迪 解析答案 探究提高3体积

V

＝

1

S△OCD·OA

＝

1

×

13

2×(2

2)3＝832.题型分类·深度剖析题型三

几何体的展开与折叠问题8

235π思维启迪 解析

答案 探究提高题型分类·深度剖析有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．题型三

几何体的展开与折叠问题思维启迪 解析答案 探究提高8

235π题型分类·深度剖析h＝

1－

2

2

2＝

22，∴V

1

1

2

2＝3Sh＝3×1×

2

＝

6

.

26解析

如图，四棱锥的高题型分类·深度剖析思想与方法15.转化思想在立体几何计算中的应用审

题

视

角

规

范

解

答

温

馨

提

醒题型分类·深度剖析思想与方法15.转化思想在立体几何计算中的应用审

题

视

角

规

范

解

答

温

馨

提

醒(1)侧面展开图从哪里剪开展平；(2)MN＋NP

最短在展开图上呈现怎样的形式；(3)三棱锥以谁做底好．题型分类·深度剖析思想与方法15.转化思想在立体几何计算中的应用42＋92＝

97.2分审

题

视

角

规

范

解

答

温

馨

提

醒解

(1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为

4

和

9

的矩形，故对角线长为题型分类·深度剖析思想与方法15.转化思想在立体几何计算中的应用PC＝NC

2NC又

NC∥AM，故PA AM，即5＝

2

.∴NC＝54.8分1

1

4

4(3)S△PCN＝2×CP×CN＝2×2×5＝5.

3

3

3在三棱锥

M—PCN

中，M

到面

PCN

的距离，即

h＝

2

×3＝

2

.审

题

视

角

规

范

解

答∵MP＝

29，MA＝2，AC＝3，∴x＝2，即PC＝2.温馨提醒题型分类·深度剖析思想与方法15.转化思想在立体几何计算中的应用∴V＝VC—MNP M—PCN31＝

·h·S△PCN3×

×5＝2

5＝1

3

3

4

2

3.12分审题视角规范解答温馨提醒题型分类·深度剖析思想与方法15.转化思想在立体几何计算中的应用审

题

视

角

规

范

解

答

温

馨

提

醒(1)解决空间几何体表面上的最值问题的根本思路是“展开”，即将空间几何体的“面”展开后铺在一个平面上，将问题转化为平面上的最值问题．

(2)如果已知的空间几何体是多面体，则根据问题的具体情况可以将这个多面体沿多面体中某条棱或者两个面的交线展开，把不在一个平面上的问题转化到一个平面上．题型分类·深度剖析思想与方法15.转化思想在立体几何计算中的应用审

题

视

角

规

范

解

答

温

馨

提

醒如果是圆柱、圆锥则可沿母线展开，把曲面上的问题转化为平面上的问题．

(3)本题的易错点是，不知道从哪条侧棱剪开展平，不能正确地画出侧面展开图．缺乏空间图形向平面图形的转化意识．思想方法·感悟提高方法与技巧对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决．要注意将空间问题转化为平面问题．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．一些几何体表面上的最短距离问题，常常利用几何体的展开图解决．思想方法·感悟提高失误与防范几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．1

234A组 专项基础训练5

6789练出高分A组 专项基础训练123456789练出高分解析A组 专项基础训练2B123456789练出高分解析由题意知，此几何体是三棱锥，其高h＝3，相应底面面积为

S＝1

6×3＝9，×1

1∴V＝3Sh＝3×9×3＝9.134A组 专项基础训练5

67892练出高分解析解析VB′—ABC＝31×BB′×S△ABC3＝1×3×

4

＝

4

3×12

3.134A组 专项基础训练5

67892练出高分DA组 专项基础训练9练出高分1

2

3

4

5

6

7

83．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为()A．48(3＋

3)C．24( 6＋

2)B．48(3＋2

3)D．144解析A．48(3＋

3)C．24( 6＋

2)B．48(3＋2

3)D．144A组 专项基础训练底4侧S

＝6×

3×42＝24

3，S

＝6×4×6＝144，解析3．正六棱柱的高为

6，底面边长为

4，则它的表面积为(

A

)91

2

3

4

5

6

7

8练出高分∴S

全＝S

侧＋2S

底＝144＋48 3＝48(3＋

3)．1

23A组 专项基础训练5

67894练出高分解析，1

23A组 专项基础训练5

67894练出高分解析由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示其中AE⊥平面BCD，CD⊥BD，且CD＝4，BD＝5，

BE＝2，ED＝3，AE＝4.∵AE＝4，ED＝3，∴AD＝5.又CD⊥BD，CD⊥AE，1

23A组 专项基础训练5

67894练出高分解

析

则

CD⊥平面

ABD，故

CD⊥AD，所以AC＝

41且S△ACD＝10.在Rt△ABE

中，AE＝4，BE＝2，故

AB＝2

5.在Rt△BCD

中，BD＝5，CD＝4，故S△BCD＝10，且BC＝

41.1

23A组 专项基础训练5

67894练出高分解析在△ABD

中，AE＝4，BD＝5，故S△ABD＝10.在△ABC

中，AB＝2 5，BC＝AC＝

41，△ABC＝2则

AB边上的高

h＝6，故

S

1×25×6＝6

5.因此，该三棱锥的表面积为

S＝30＋6

5.B1

234789A组 专项基础训练5

6练出高分解析解析利用三棱锥的体积公式直接求解．1

234789A组 专项基础训练5

6练出高分16ABDDD1EVD

-EDF

=

VF

-DD

E1

13=

1

S1

1

1＝3×2×1×1×1＝6.1

234789A组 专项基础训练5

6练出高分解析解析此几何体是两个长方体的组合，故V＝2×1×1＋1×1×2＝4.1

234789A组 专项基础训练5

6练出高分491

2

3

4

5

6

7

8练出高分

A组 专项基础训练解析2，则该三棱锥的外接球的表7．已知三棱锥

A—BCD的所有棱长都为面积为

．解析91

2

3

4

5

6

7

8练出高分

A组 专项基础训练2，则该三棱锥的外接球的表如图，构造正方体ANDM—FBEC.因为三棱锥

A—BCD

的所有棱长都为

2，所以正方体ANDM—FBEC

的棱长为1.所以该正方体的外接球

3的半径为2

.易知三棱锥A—BCD

的外接球就是正方体ANDM—FBEC

的外接2球，

所以三棱锥

A—BCD

的外接球的半径为

3

.

所以三棱锥球

32A—BCD

的外接球的表面积为

S

＝4π

2

＝3π.7．已知三棱锥

A—BCD的所有棱长都为面积为

3π

．1

234A组 专项基础训练5

6798练出高分解析1

234练出高分A组 专项基础训练5

6

7

8

9解析解

设圆锥的母线长为

l，底面半径为

r，高为

h，由已知条件l＋r＋

2r＝(5＋

2)×

2，2，l＝42，S＝πrl＋πr22πr

π

l

＝2解得r＝＝10π，h＝

l2－r2＝

30，V＝πr2h＝2

30π.1

234A组 专项基础训练5

6789练出高分1

2解析34A组 专项基础训练5

6789练出高分解

(1)这个几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC1

及直三棱柱B1C1Q—A1D1P

的组合体．由PA1＝PD1＝

2，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积11S＝5×22＋2×2×

2＋2×2×(

2)2＝22＋4

2(cm2)，体积

V＝23＋2×(

2)2×2＝10(cm3)．123B组 专项能力提升4

567练出高分23B组 专项能力提升4

5671练出高分解析23B组 专项能力提升4

5671练出高分解析由三视图可知该几何体为一个半圆锥，底面半径为1，高为3，∴表面积S＝12×2×

3＋11

3π2×π×12＋2×π·1×2＝

3＋

2

.CB组 专项能力提升4

5

61

2

3

7练出高分2．在四棱锥E—ABCD

中，底面ABCD

为梯形，AB∥CD,2AB＝3CD，M为

AE

的中点，设

E—ABCD的体积为

V，那么三棱锥

M—EBC

的体积为

(

)2C.3V

3

D.10VA.2V

15

B.3V解析2．在四棱锥E—ABCD

中，底面ABCD

为梯形，AB∥CD,2AB＝3CD，M为

AE

的中点，设

E—ABCD的体积为

V，那么三棱锥

M—EBC

的体积为

(

)A.2V

1

C.2

3V5

B.3V

3V

D.10B组 专项能力提升解析4

5

61

2

3

7练出高分设点B

到平面EMC的距离为h1，点D

到平面EMC的距离为h2.连接MD.因为M

是AE

的中点，所以VM—ABCD＝2V1

.所以V1E—MBC＝2V－VE—MDC.B组 专项能力提升4

5

61

2

3

7练出高分2．在四棱锥E—ABCD

中，底面ABCD

为梯形，AB∥CD,2AB＝3CD，M

为AE

的中点，设E—ABCD

的体积为V，那么三棱锥M—EBC

的体积为A.2V

1

C.2

3V5

B.3V

3V

D.10解析而VE—MBC＝VB—EMC，VE—MDC＝VD—EMC，VE—MDC

VD—EMCh2所以VE—MBC＝VB—EMC＝h1.因为B，D

到平面EMC

的距离即为到平面EAC

的距离，2h1

3而AB∥CD，且2AB＝3CD，所以h

＝2.

3

所以VE—MBC＝VM－EBC＝10V.(

D

)B组 专项能力提升4

5

61

2

3

7练出高分3．(2011·辽宁)已知球的直径SC＝4，A、B

是该球球面上的两点，AB＝

3，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥

S－ABC

的体积为(

)A．3

3

B．2

3

C.

3

D．1解析B组 专项能力提升4

5

61

2

3

7练出高分3，AC＝解析由题意知，如图所示，在棱锥S－ABC

中，△SAC，△SBC

都是有一个角为30°的直角三角形，其中AB＝

3，SC＝4，所以SA＝SB＝2BC＝2，作BD⊥SC

于D

点，连接AD，易证SC⊥平面ABD，因此V＝1

3×(3×

43)2×4＝

3.3．(2011·辽宁)已知球的直径SC＝4，A、B

是该球球面上的两点，AB＝

3，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥

S－ABC

的体积为(

C

)A．3

3

B．2

3

C.

3

D．112367B组 专项能力提升4

5练出高分解析12367B组 专项能力提升4

5练出高分解析根据题意，利用分割法将