金融工程-BSM模型培训讲义

第13章BSM模型范闽金融工程研究中心Dr.Fan1Black-Scholes期权定价模型的基本思路期权是标的资产的衍生工具，其价格波动的来源就是标的资产价格的变化，期权价格受到标的资产价格的影响。标的资产价格的变化过程是一个随机过程。因此，期权价格变化也是一个相应的随机过程。金融学家发现，股票价格的变化可以用Ito过程来描述。而数学家Ito发现的Ito引理可以从股票价格的Ito过程推导出衍生证券价格所遵循的随机过程。在股票价格遵循的随机过程和衍生证券价格遵循的随机过程中，Black-Scholes发现，由于它们都只受到同一种不确定性的影响，如果通过买入和卖空一定数量的衍生证券和标的证券，建立一定的组合，可以消除这个不确定性，从而使整个组合只获得无风险利率。从而得到一个重要的方程：Black-Scholes微分方程。求解这一方程，就得到了期权价格的解析解。13.1Black-Scholes模型的假设标的资产的价格变动符合几何布朗宁运动，其主要特点是：每一个小区间内标的资产的收益率服从正态分布，且不同的两个区间内的收益率相互独立。期权是欧式期权卖空的收益可以完全由卖空者支配没有交易成本或者税务成本所有证券都是无限可分的在期权到期之前，股票不支付红利证券的交易是连续的过程，即标的资产价格的变动是连续的，在一段极短的时间内，标的资产的价格只能有极微小的变动，亦即排除了跳空上涨或跳空下跌的可能性。无风险利率在各个期限都相等，且是个常数Dr.Fan3Black-Scholes微分方程：基本思路思路：由于衍生证券价格和标的证券价格都受同一种不确定性（dz）影响，若匹配适当的话，这种不确定性就可以相互抵消。因此布莱克和舒尔斯就建立起一个包括一单位衍生证券空头和若干单位标的证券多头的投资组合。若数量适当的话，标的证券多头盈利（或亏损）总是会与衍生证券空头的亏损（或盈利）相抵消，因此在短时间内该投资组合是无风险的。那么，在无套利机会的情况下，该投资组合在短期内的收益率一定等于无风险利率。

Dr.Fan4股票价格和期权价格服从的随机过程Dr.Fan5Black-Scholes微分方程推导过程根据（1）和（2），在一个很小的时间间隔里S和f的变化值分别为为了消除，我们可以构建一个包括一单位衍生证券空头和单位标的证券多头的组合。Dr.Fan6介绍：构造无风险资产组合组合期权：空头1份，即-f；股票：多头份，即组合价值也就是说组合的价值变动只跟时间有关，为无风险组合Dr.Fan7为什么我们可以构造无风险组合?股票价格和期权价格的不确定性都来自股票价格波动任何短时期内,calloption的价格与标的股票价格高度正相关(put则是负相关)所以,建立一个合适的股票和期权组合时,股票头寸的损益就能够抵消期权头寸的损益,从而构造了一个没有风险的组合.而这个组合中,股票与期权的比例在图形上就是calloption价格曲线的切线斜率.Dr.Fan8看涨期权价值与股票价格看涨期权价值股票现货价格施权价斜率就是Δc/ΔSDr.Fan9期权价值方程∏是无风险资产组合所以将∏与Δ∏的公式代入，得到：去掉ΔtBlack-ScholesDifferentialEquationDr.Fan10这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分程，它事实上适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。值得强调的是：上述投资组合只是在极短的时间内才是无风险的。会不断地发生变化。Dr.Fan11参数的理解μ：几何布朗运动中的期望收益率，短时期内的期望值。根据资本资产定价原理，μ取决于该证券的系统性风险、无风险利率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉及主观因素，因此的决定本身就较复杂。然而幸运的是，我们将在下文证明，衍生证券的定价与标的资产的预期收益率μ是无关的。较长时间段后的连续复利收益率的期望值等于，这是因为较长时间段后的连续复利收益率的期望值是较短时间内收益率几何平均的结果，而较短时间内的收益率则是算术平均的结果。σ：是证券价格的年波动率，又是股票价格对数收益率的年标准差因此一般从历史的价格数据中计算出样本对数收益率的标准差，再对时间标准化，得到年标准差，即为波动率的估计值。一般来说，时间越近越好；时间窗口太长也不好；采用交易天数而不采用日历天数。13.2BSM模型中的收益率如前述，我们用几何布朗运动描述标的资产价格变动轨迹的原因在于：投资者感兴趣的不是股票价格S，而是独立于价格的收益率。投资者不是期望股票价格以一定的绝对价格增长，而是期望股票价格以一定的增长率在增长。因此需要用百分比收益率代替绝对的股票价格。几何布朗运动最终隐含的是：股票价格的连续复利收益率（而不是百分比收益率）为正态分布；股票价格为对数正态分布。这比较符合现实。百分比收益率与连续复利收益率百分比收益率：连续复利收益率:百分比收益率的缺陷与连续复利收益率的优点：有限责任原则：金融学中常常存在对实际收益率（近似）服从正态分布的隐含假定，但是在有限责任（投资者顶多赔偿全部的投资，不会损失更多）原则下，百分比收益率只在－1和＋∞之间变化，不符合正态分布假定。对数收益率（－∞，＋∞）：更适合于建立正态分布的金融资产行为模型。多期收益率问题：即使假设单期的百分比收益率服从正态分布，多期的百分比收益率是单期百分比收益率的乘积，n个正态分布变量的乘积并非正态分布变量。从而产生悖论。多期的对数收益率是单期的对数收益率之和，仍然服从正态分布。百分比收益率与连续复利收益率如果用百分比表示，例如美元对日元汇率变化收益率、日元对美元汇率变化收益率，两者绝对值不会相等；而且其中一个服从正态分布，另一个就无法服从正态分布；交叉汇率的收益率难以直接计算。如果用对数收益率表示，两个相互的汇率收益率绝对值正好相等而符号相反；可以满足同时服从正态分布的假设；交叉汇率收益率可以直接相加计算。连续复利收益率的问题：尽管时间序列的收益率加总可以很容易的实现；但是横截面的收益率加总则不是单个资产收益率的加权平均值，因为对数之和不是和的对数。但是在很短时间内几乎可以认为是近似。JP摩根银行的RiskMetrics方法就假定组合的收益率是单个资产连续复利收益率的加权平均。实际实现的收益率：课本(13.6)收益率分布：课本(13.7)Dr.Fan1613.3股票价格波动率及其估计σ：是证券价格的年波动率，又是股票价格对数收益率的年标准差波动率的计算方法1：从历史数据进行估计可以从历史的价格数据中计算出样本对数收益率的标准差，再对时间标准化，得到年标准差，即为波动率的估计值。一般来说，时间越近越好；时间窗口太长也不好；采用交易天数而不采用日历天数。波动率的计算方法2：隐含波动率，伸引波幅估计标的资产价格的历史波动率历史波动率就是从标的资产价格的历史数据中计算出价格收益率的标准差。计算波动率的方法：计算样本均值和标准差的简单方法。步骤:(1)从市场上获得标的资产（如股票）在固定时间间隔（如每天、每周或每月等）的价格；(2)对于每个时间段，求出该时间段末的股价与该时间段初的股价之比的自然对数；(3)求出这些对数的标准差，再乘以一年中包含的时段数的平方根具体计算过程：标准差s的通常估计为：还需要换算成年波动率：注：所有参数的定义见课本关于n的选择一般来说，数据越多，计算精度越高。但同时，波动率本身也会随着时间改变而变化，因此过老的历史数据对于预测未来的价格变化，可能不起任何作用。如何解决？一种做法是选择90-180天的收盘价数据或者是将n设定为将应用波动率的期限。例如，预测两年期的期权估值，就用过去两年的历史数据。【例】以烟台万华为例介绍历史波动率的确定表13-6烟台万华股票历史波动率计算数据日期收盘价Pt(元)收益率ui2005-2-2415.602005-2-2515.57-0.00190.00012005-2-2815.35-0.01420.00042005-3-115.350.00000.00002005-3-215.29-0.00390.00012005-3-315.470.01170.00002005-3-415.570.00640.00002005-3-716.370.05010.00192005-3-816.460.00550.00002005-3-916.960.02990.00052005-3-1016.71-0.01490.0005合计0.06870.0036均值0.0069方差0.0004标准差(日)0.0200标准差(年)0.3175隐含波动率即根据B/S期权定价公式，将公式中除了波动率以外的参数和市场上的期权报价代入，计算得到的波动率可以看作是市场对未来波动率的预期。隐含波动率的计算一般需要通过计算机完成。13.4BSM模型与风险中性定价原理从BS微分方程中我们可以发现：衍生证券的价值决定公式中出现的变量为标的证券当前市价（S）、时间（t）、证券价格的波动率（σ）和无风险利率r，它们全都是客观变量，独立于主观变量——风险收益偏好。而受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。由此我们可以利用BS公式得到的结论，作出一个可以大大简化我们的工作的风险中性假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。Dr.Fan24风险中性定价原理所谓风险中性，即无论实际风险如何，投资者都只要求无风险利率回报。风险中性假设的结果：我们进入了一个风险中性世界所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。尽管风险中性假定仅仅是为了求解布莱克——舒尔斯微分方程而作出的人为假定，但BS发现，通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。也就是说，我们在风险中性世界中得到的期权结论，适合于现实世界。Dr.Fan25AnExample假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于3个月后股票的市价。若3个月后该股票价格等于11元，则该期权价值为0.5元；若3个月后该股票价格等于9元，则该期权价值为0。为了找出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看涨期权空头和Δ单位的标的股票多头组成的组合。若3个月后该股票价格等于11元时，该组合价值等于（11Δ－0.5）元；若3个月后该股票价格等于9元时，该组合价值等于9元。为了使该组合价值处于无风险状态，我们应选择适当的值，使3个月后该组合的价值不变，这意味着：11Δ－0.5=9Δ=0.25因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和0.25股标的股票。无论3个月后股票价格等于11元还是9元，该组合价值都将等于2.25元。Dr.Fan26在没有套利机会情况下，无风险组合只能获得无风险利率。假设现在的无风险年利率等于10%，则该组合的现值应为：2.25e-0.1×0.25=2.19由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市场价格为10元，因此：10×0.25-f＝2.19;f＝0.31这就是说，该看涨期权的价值应为0.31元，否则就会存在无风险套利机会。Dr.Fan27从该例子可以看出，在确定期权价值时，我们并不需要知道股票价格上涨到11元的概率和下降到9元的概率。但这并不意味着概率可以随心所欲地给定。事实上，只要股票的预期收益率给定，股票上升和下降的概率也就确定了。例如，在风险中性世界中，无风险利率为10%，则股票上升的概率P可以通过下式来求：10=e-0.1×0.25×[11p+9(1-p)]P=62.66%。又如，如果在现实世界中股票的预期收益率为15%，则股票的上升概率可以通过下式来求：10=e-0.15×0.25×[11p+9(1-p)]P=69.11%。可见，投资者厌恶风险程度决定了股票的预期收益率，而股票的预期收益率决定了股票升跌的概率。然而，无论投资者厌恶风险程度如何，从而无论该股票上升或下降的概率如何，该期权的价值都等于0.31元。Dr.Fan28前文的两个重要结论股票价格服从对数正态分布风险中性定价原理Dr.Fan2913.5BS微分方程的应用：1.期货估值期货可以用来做套期保值，也即组建无风险资产组合。因此理论上期货合约的价值与现货价值也应该满足BlackScholesDifferentialEquation。

期货合约价值公式：从而：BSDE右半部：BSDE左半部：Dr.Fan30BS微分方程应用2：Black-Scholes模型看涨期权的价格（为欧式期权到期时期望值在风险中性世界中的现值）股票价格的概率分布期权价格的解Dr.Fan31说明：

Black-Scholes公式存在五个投入：S，当前的股票价格；

K，期权的行权价格；

s，股票的波动率；

r，连续复合无风险利率；

T，生命期

如果需要考虑红利，则引入d，股票上的股利收益。

在Black-Scholes公式中，N(x)是累积正态分布函数，它是从一个标准正态分布（即，一个均值为0和方差为1的正态分布）中随机抽取的一个将小于x的数字的概率。

任何x有1–N(x)=N(–x)。图18-2顶部面版：正态曲线下0.3左边的面积。底部面版：累积正态分布。在x=0.3处的高度，由N(0,3)给出，是0.6179。

C(S,K,s,r,T,d)

=Se–dT

–Ke–rT例12.1令S=$41，K=$40，s=0.30，r=8%，T=0.25（3个月）和d=0。计算Black-Scholes看涨期权价格，我们得到

$41×

–$40×=$3.399

Black-Scholes模型看跌期权的价格（为欧式期权到期时期望值的现值）股票价格的概率分布期权价格的解Dr.Fan37对B-S公式理解（1）N(d2)是在风险中性世界中ST大于X的概率，即是欧式看涨期权被执行的概率；Xe-r(T-t)N(d2)是X的风险中性期望值的现值。

SN(d1)＝e-r(T-t)STN(d1)是ST的风险中性期望值的现值。它代表这么一个变量，ST大于X时，该变量等于ST，其余时候取值为0。Dr.Fan38（2）Δ＝N(d1)是复制交易策略中股票的数量，SN(d1)就是股票的市值。-e-r(T-t)XN(d2)则是复制交易策略中负债的价值。（3）从金融工程的角度来看，欧式看涨期权可以分拆成资产或无价值看涨期权(Asset—or—notingcalloption)多头和现金或无价值看涨期权(cash—or—nothingoption)空头。Dr.Fan39在标的资产无收益情况下，由于C＝c，因此上式也给出了无收益资产美式看涨期权的价值。根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系，可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式：p＝Xe-r(T-t)N(-d2)—SN(-d1)Dr.Fan40Black-Scholes模型看跌期权的价格（为欧式期权到期时期望值的现值）股票价格的概率分布期权价格的解Dr.Fan41由于美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的平价关系，因此美式看跌期权的定价还没有得到一个精确的解析公式。美式看跌期权可以用蒙特卡罗模拟、二叉树和有限差分三种数值方法以及解析近似方法求出。Dr.Fan4213.6期权方程的性质－S的大小当S很大时d1和d2都很大，从而N(d1)和N(d2)都接近1则c＝S－Xe-r(T-t)d1和d2都很大，从而N(-d1)和N(-d2)都接近0则p＝0－0＝0当S很小时d1和d2都很小，从而N(d1)和N(d2)都接近0则c＝0－0＝0d1和d2都很小，从而N(-d1)和N(-d2)都接近1则p＝Xe-r(T-t)－SDr.Fan43期权方程的性质－S的方差σ接近0Ser(T-t)－X>0则ln(S/X)+r(T-t)>0，d1和d2均趋于无穷大看涨期权的价格c＝S－Xe-r(T-t)看跌期权的价格

p＝0含义：当股票价格没有波动风险，并且在将来肯定大于施权价时，看涨期权等于价差的折现值，看跌期权没有价值。Ser(T-t)－X<0则ln(S/X)+r(T-t)<0，d1和d2均趋于负无穷大看涨期权的价格c＝0看跌期权的价格

p＝Xe-r(T-t)－S含义：当股票价格没有波动风险，并且在将来肯定小于施权价时，看跌期权等于价差的折现值，看涨期权没有价值。Dr.Fan44Dr.Fan4513.7 股票价格的波动性Black-Scholes模型股票价格，期权价格，施权价，无风险利率，期限可以逆推出股票价格的方差。通常采用同一股票的不同期权计算而出的方差并不相同。如何解释？股票价格波动性变化的原因关于股票的新消息的公布股票交易FamaandFrench的研究股票波动性假设对期权方程的影响13.8B/S期权定价模型的计算可见，利用布莱克—舒尔斯模型对期权进行估价需要以下数据：期权的执行价格K；

距期权到期日的时间T，以年为单位；期权有效期内的无风险复合年利率r；在发达的金融市场上，可选择国债利率作为无风险利率的估计值。注意：将其转化为按连续复利方式表达的利率。如果利率期限结构曲线倾斜严重，必须选择距离期权到期日最近的那个国债利率作为无风险利率。以连续复利计算的标的资产收益率的方差σ2；标的资产的当前价格S。Dr.Fan46小结：欧式期权的BS定价公式利用布莱克—舒尔斯模型对期权进行定价的步骤为：利用所需数据求解d1和d2；利用标准正态分布函数的参变量，求出正态分布积分函数N(d1)和N(d2)的值；计算买权或卖权的价值。Dr.Fan47B/S模型的计算应用【例13-4】假设200４年10月4日，PEC公司股票市场价格为50元，与欧式买权有关的资料如下：行权价格为49元，期权到期日为2005年4月21日，期权有效期为199天，无风险年利率为0.07，股票收益率的方差(年率)为0.09。解析：（1）计算d1与d2

（2）计算N(d1)和N(d2)N(d)可根据标准正态分布的累积概率分布函数表，查表计算得出。表中给出的是正态分布对称轴一侧的面积，▲如果d>0，则查表所得概率应加上0.5；▲如果d<0，则查表所得概率应从0.5中减除。

注意

本例中N(d)数值计算如下：

（3）计算买权价格C

该买权的理论价格为5.82元，其中:内涵价值为1元(50－49)，时间价值4.82元。

根据买权平价关系，计算不发放股利的欧式卖权价值。

由于此卖权处于无价状态，2.99元均为时间价值。

★B—S模型的卖权价值(P)的公式承【例13-4】卖权价值(P)的计算：

B-S模型适用条件用于计算在无派息条件下的欧式股票期权的理论价值。B-S模型进行必要的修正之后，也可用于估算其他类型的期权价值的理论值。13.9BS模型的拓展：考虑红利的影响红利收益率股票的红利：一次性股票指数的红利：连续支付价格：红利（无风险）＋实际价格（有风险）红利收益率在期权估值中的应用应用Black-Scholes模型时，S应采用扣除红利之后的实际价格。Dr.Fan54(一)有收益资产欧式期权的定价公式

在收益己知情况下，我们可以把标的证券价格分解成两部分：期权有效期内已知现金收益的现值部分和一个有风险部分。当期权到期时，这部分现值将由于标的资产支付现金收益而消失，因此，我们只要用S表示有风险部分的证券价格。σ表示风险部分遵循随机过程的波动率。直接套用看涨期权和看跌期权的BS定价公式分别计算出有收益资产的欧式看涨期权和看跌期权的价值。Dr.Fan55当标的证券己知收益的现值为I时，我们只要用(s—I)代替BS期权定价公式中的S即可求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权的价格。当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率q(单位为年)时，将Se-q(T-t)

代替公式中的S就可求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格。从而使布莱克——舒尔斯的欧式期权定价公式适用欧式货币期权和股价指数期权的定价。Dr.Fan56对于欧式期货期权，布莱克教授也给出了定价公式：

Dr.Fan57示例某股票欧式看涨期权将在6个月后到期，该股票将在2个月和5个月后分别发放0.5元的红利。股票现价40元，施权价40元，无风险利率为9%，股票价格年度标准差为30%，问该期权的价值为多少？

红利的现值＝0.5e-0.09×(2/12)+0.5e-0.09×(5/12)＝0.9741

用来计算期权价格的S＝40－0.9741＝39.0259 d1＝[ln(S/X)+(r+σ2/2)×(T)]/[σ×sqrt(T)]＝0.2017 d2＝d1－[σ×sqrt(T)]＝0.0104

查表，N(d1)=0.5800,N(d2)=0.4959 c＝S－e-rT＝39.0259×0.5800－40e-0.09×0.5×0.4959＝3.67Dr.Fan58(二)有收益资产美式期权的定价

1．美式看涨朔权当标的资产有收益时，美式看涨期权就有提前执行的可能，因此有收益资产美式期权的定价较为复杂。布莱克提出了一种近似处理方法。Dr.Fan59方法：先确定提前执行美式看涨期权是否合理。若不合理，则按欧式期权处理；若在tn提前执行有可能是合理的，则要分别计算在T时刻和tn时刻到期的欧式看涨期权的价格，然后将二者之中的较大者作为美式期权的价格。在大多数情况下，这种近似效果都不错。Dr.Fan60红利对美式看涨期权的影响tn时如果期权没有被执行，则股票价格降为S(tn)－Dn考虑到期权价值的下限，C>S(tn)－Dn－Xe-r(T-tn)如果S(tn)－Dn－Xe-r(T-tn)>S(tn)－X期权就不会被执行，此时Dn<X[1-e-r(T-tn)]ti时如果S(ti)－Di－Xe-r(ti+1－ti)>S(ti)－X则期权不会被执行，此时Di<X[1-e-r(ti+1－ti)]≈Xr(ti+1－ti)0t1t1…tn期权到期D1D2…DnDr.Fan61示例：美式期权某股票美式看涨期权将在6个月后到期，该股票将在2个月和5个月后分别发放0.5元的红利。股票现价40元，施权价40元，无风险利率为9%，股票价格年度标准差为30%，问该期权的价值为多少？ 首先计算 X[1-e-r(t2－t1)]＝40(1－e-0.09×(5-2)/12]＝0.89 X[1-e-r(T－t2)]＝40(1－e-0.09×(6-5)/12]＝0.30<0.50＝D2

所以，期权会在第二次发红利时（5个月后）被执行。

假设存在一个欧式看涨期权，期限还有5个月，2个月后发放一次红利，其他条件与本题相同。这个期权在价值上应该等同于5个月以后执行的美式期权。经计算得出此欧式期权价值为3.52。

Dr.Fan62例2假设一种1年期的美式股票看涨期权，标的股票在5个月和11个月后各有一个除权日，每个除权日的红利期望值为1.0元，标的股票当前的市价为50元，期权协议价格为50元，标的股票波动率为每年30％，无风险连续复利年利率为10％，求该期权的价值。Dr.Fan63首先我们要看看该期权是否应提前执行。根据前面的结论，美式看涨期权不能提前执行的条件是：Dr.Fan64在本例中，D1=D2＝1.0元。第一次除权日前不等式右边为X[1-e-r(t1-t2)]＝50×(1—e—0.1×0.5)＝2.4385由于2.4385＞1.0元，因此在第一个除权日前期权不应当执行.第二次除权日前不等右边为：X[1-e-r(T-t2)]＝50×(1—e—0.1×0.0833)＝0.4148由于0.4148＜1.0元，因此在第二个除权日前有可能提前执行然后，要比较1年期和11个月期欧式看涨期权价格。Dr.Fan65对于1年期欧式看涨期权来说，由于红利的现值为：1.0×e-0.1×0.4167十1.0×6—0.1×0.9167＝1.8716元因此S=48.1284，代入式(10)得：c12＝48.1284N(d1)一50e—0.1×1N(d2)＝48.1284N(d1)一45.2419N(d2)其中d1=[1n(48.1284／50)十(0.1十0.09／2)×1]/[0.3×√1]=0.3562d2=0.3526-0.3×√1＝0.0562由于N(0.3562)＝0.6392N(0.0562)＝0.5224c12＝48.1284×0.6392—45.2419×0.5224＝7.1293元Dr.Fan66对于11个月期的欧式看涨期权来说，由于红利的现值为：1.0×e-0.1×0.4167=0.9592元因此S=49.0408元，代入式(10)得c11＝49.0408N(d1)一50e—0.1×0.9167N(d2)＝49.0408N(d1)一45.6203N(d2)其中：d1=[1n(49.0408／50)十(0.1十0.09／2)×0.9167]/[0.3×√0.9167]=0.3952d2=0.3952-0.3×√0.9167＝7.2824c11＝49.0404×0.6536—45.6203×0.543＝7.2824由于C11＞C12，因此该美式看涨期权价值近似为7.2824元Dr.Fan672、美式看跌期权由于收益虽然使美式看跌期权提前执行的可能性减小，但仍不排除提前执行的可能性，因此有收益美式看跌期权的价值仍不同于欧式看跌期权，它也只能通过较复杂的数值方法来求出。Dr.Fan6813.10 BS模型存在的主要问题中心思想:在已知股票价格未来分布的假设下，可以用股票和一个无风险债券组合动态复制期权的收益进行避险，而期权的价格就等于动态复制所需的成本。BS模型在实践应用方面被广泛采用。但理论本身涉及一些与实际环境不相吻合的假设，导致BS模型价格与实际期权的市场价格经常有很大的差距，因此该模型价格只能作为参考价格。Dr.Fan69B-S模型理论价格与实际价格不符合的两个因素：

1、交易成本与交易的不连续性。

BS模型中假设不存在交易成本且证券交易是连续的,因此人们可以不断调整delta来执行避险策略（即构造无风险组合）。

实务中，这种做法将导致累积交易成本很高，因此只能采取间断性交易——降低了交易成本，但误差也随之而来。

2、股价分布与波动率。

BS模型所假设的股票价格的分布和实际分布不同，根据模型得到的delta也就不准确，这也造成动态复制的成本偏离期权价格。

Dr.Fan70B-S模型针对BS模型的这些与实际不符的假设条件，修正与推广主要地可分为两类：

(1)不完美市场，包括引入交易成本及非连续避险；

(2)股价收益率及波动率分布过程，采用与BS模型不同的假设。也存在其它一些修正，如针对BS模型中利率固定的假设，引入随机利率模型等（默顿）。Dr.Fan71不完美市场 Leland(1985)开创性地提出对BS模型采用一种修正的波动率，来解决交易成本带来的避险误差问题。其基本思想是：在连续时间的BS模型框架下，假设在给定的时间间隔进行避险调整，通过在波动率中加入包含交易成本的因素，使得期权价格的增加恰好能抵消交易成本，从而对BS公式做出修正，使之仍可应用于避险操作。Dr.Fan72股价收益率及波动率分布BS模型假设：S服从几何布朗运动，波动率为常数。然而，实证研究表明，BS模型并不能很好的刻划股价波动率的以下几方面的特征：（1）波动率微笑（2）厚尾（fattail）分布（3）群聚现象（4）均值回复（5）杠杆作用（6）其他经验特征，如隐含波动率期限结构、隔夜与周末效应、分红效应、溢出效应、信息到达效应等。

（7）在我国还需考虑：卖空、涨跌幅限制、买卖价差Dr.Fan73注：波动率微笑：根据BS模型假设，波动率应该与执行价无关且是常数，而实际上隐含波动率作为执行价格的函数曲线呈现两头上翘的形态。见CH18(7th)或CH16(6th)。群聚现象:即波动率一个时期高而另一个时期低，且在不同时期间的变换是不可预测的.均值回复:波动率围绕一个常数值震荡，意味着波动率倾向于回到长期均值的水平.杠杆作用:波动率与股价运动之间存在负相关关系.Dr.Fan74股价收益率及波动率分布Merton（1976）提出股价路径应是一个跳跃扩散过程。如果资产价格变化过程中的跳跃成分与整个市场无关的话，就属于可分散风险，可分散风险不应该获得期望收益。利用几何布朗运动描述只有系统风险的资产价格运动，用Poisson随机过程描述产生非系统风险的偶然的资产价格的跳跃，并且假设跳跃幅度服从正态分布，通过求解随机方程可得出期权定价公式。Dr.Fan75股价收益率及波动率分布对于BS模型中波动率为常数的修正，大致上可根据所指定的波动率函数的特点分为两类：（1）确定性波动率模型：这类模型是将波动率作为标的股票价格水平的函数，主要包括方差弹性为常数的CEV（不变方差弹性）模型；（2）随机波动率模型：它们假设波动率服从一个随机过程。这两类模型均需要利用期权市场的数据来估计模型的参数。Dr.Fan7613.11 权证的估值权证的种类认购权证认售权证1.按权利行使方向2.按行使期间欧式权证美式权证3.按发行人股本权证备兑权证由上市公司发行，行权后增加股份公司的股本由标的资产发行人以外的第三方(如券商等金融机构)发行，认兑的股票是已经上市流通的股票，不会造成总股本的增加。Dr.Fan78认股权证的价值认购权证与看涨期权的一个不同点：看涨期权执行时，公司股票数量不会发生变化；而权证（以及雇员股票期权）行权时，公司必须发行更多股票，再以执行价格售予权证/期权持有者。由于执行价格低于股票市场价格（注意是看涨期权），因此它们的行权将导致现有股票持有者的利益被稀释——稀释效应。Dr.Fan79认股权证的价值

假设某公司当前流通股总数为N，公司总价值为V。同时该公司还存在M份流通的认股权证，每份认股权证能够以X元的价格认购1份新股。问每份认股权证立即执行的价值是多少？ 分析 施权之后公司总市值＝V＋MX

施权之后公司总股份＝N＋M

施权之后公司每股价格＝(V+MX)/(N+M)

每份认股权证施权成本＝X

每份认股权证立即执行的价值＝(V+MX)/(N+M)－X权证价值内在价值时间价值权证定价模式：B/S模型1.内在价值◎权证行权价与标的股票市价之间的价格差额◎美式权证价值主要取决于内在价值◎内含价值计算方式认购权证：认售权证：Cw：认购权证内含价值Pw：认售权证内含价值N：转换比率，即每份认购（售）权证能购买（出售）的普通股股数S：普通股每股市价K：行权价格◎当公司发行股票或股票分割，权证的执行价格将会自动调整【例】1995年4月，BJ服务公司(B.J.Services)为一次兼并活动发行了480万份认购权证，用以支付兼并所需要的部分款项。每份认购权证允许其持有者在2000年4月之前以每股30美元的价格购买一份BJ服务公司的股票。这些认购权证发行时，股票价格为19美元。因此，当1998年BJ服务公司将股票1股分割为2股时，每份认购权证的持有者就获得了认购2股股票的权利，而其认购价格则降为15美元。2000年4月，即该认购权证最终到期时，股票价格已升至70美元，因此，可认购2股股票的一份认购权证的内含价值为110美元(2×（70－15）)。◎权证的内含价值构成了出售认购权证的最低极限价格2.时间价值◎权证存续期内由于标的股票市价波动可能带来的收益◎欧式权证价值主要取决于时间价值◎时间价值主要与权证剩余时间和标的资产波动率等因素有关◆距离到期日时间越长，标的资产价格波动的可能性就越大，因而时间价值也越大。◆随着时间的消逝，权证时间价值逐渐下降。◆无论是认购还是认售权证，标的资产波动率的增加都会增加权证持有人获利的机会，因此标的资产波动率越大，认购和认售权证的价值越高。3.影响权证价值的其他因素◎股利等因素（三）权证价值稀释或增值效应S：普通股当前每股价值

N：认购权证行使前公司发行在外的普通股股数

n：每张认购权证可以购买普通股票的数量

W：发行认购权证的数量

K：认购价格1.认购权证稀释效应（1）根据认购权证被执行后的预期稀释效应对股票价格进行调整，稀释后普通股的每股价值为：（2）根据B－S模型计算普通股买权价值，B－S模型中所用的方差是公司股票价值的方差。

（3）根据认购权证与普通股买权价值的关系计算认购权证价值，每份认购权证的内含价值为：普通股买权价值公司认购权证价值等于公司股票普通股买权价值的倍2.认售权证价值增值效应

对于认售权证来说，行权后流通在外的普通股股数会减少，在其他因素不变的情况下，股票的预期价格变为：

根据认售权证与普通股卖权价值关系，每份认售权证的内含价值为：普通股卖权价值公司认售权证价值等于公司股票普通股卖权价值的倍【例】]2006年4月27日烟台万华认购权证和认售权证在上海证券交易所挂牌上市，万华蝶式权证价值评估有关的资料如表13-1所示：表13-1万华蝶式权证基本要素权证要素认股权证认售权证1.行权方式欧式，仅可在权证存续期间最后5个可上市交易日行权欧式，仅可在权证存续期间最后5个可上市交易日行权2.行权价9.00元13.00元3.行权比例1，即1份认购权证可按行权价向公司购买1股烟台万华A股股票1，即1份认售权证可按行权价向公司出售1股烟台万华A股股票4.结算方式证券给付方式结算，即认购权证持有人行权时，应支付依行权价格及行权比例计算的价款，并获得相应数量的烟台万华A股股票证券给付方式结算，即认售权证持有人行权时，将向公司支付根据行权比例计算的烟台万华A股股票，并获得依行权价格计算的价款5.权证存续期间2006年4月27日至2007年4月26日，共计12个月2006年4月27日至2007年4月26日，共计12个月6.权证行权日2007年4月20日至2007年4月26日，共计5天2007年4月20日至2007年4月26日，共计5天7.权证上市总数5657.6万份8486.4万份万华权证的各种参数值

（1）股票价格限权证上市前一天（2006年4月26日）烟台万华收盘价16.74元；（2）波动率取2005年2月24日至2006年2月24日烟台万华股票收益率的历史波动率45.53%；（3）无风险利率取一年期存款利率2.25%，按连续复利计算为2.2755%，即：（4）存续期为1年；（5）认购权证行权价为9.00元；认售权证行权价为13.00元。

万华蝶式权证价值（1）认购权证价值☆

第一步，计算认购权证被执行后，普通股预期每股价值。2006年4月26日万华流通股股数为84864万股，每股市场价格为16.74元，如果一年后认购权证（5657.6万份）按每股9元行权，普通股每股价值为：☆第二步，计算万华股票买权价值。根据B/S模型计算万华股票买权价值为7.682元。见表13-2表13-10万华股票买权价值（B/S模型）金额单位：元

第三步，计算认购权证价值。

公司认购权证价值为公司股票买权价值的倍

按稀释后股价计算，认购权证价值为7.20元，低于权证的内含价值7.26元（16.26-9），则会引起市场套利行为。如果市场是有效的，这种套利活动最终导致权证价格超过7.26元。假设不考虑权证稀释效应，以市场价格S=16.74元代替表中S=16.26元，根据B/S模型计算的认购权证理论价值为8.136元。（2）认售权证价值

第一步，计算认售权证被执行后的股票价值。2006年4月26日万华流通股股数为84864万股，每股市场价格为16.74元，如果一年后认售权证（8486.4万份）按每股13元行权，行权后每股价值为：☆第二步，计算万华股票卖权价值根据B/S模型计算万华股票卖权价值为1.013元。见下表表万华股票卖权价值（B/S模型）金额单位：元

第三步，计算认售权证价值。

公司认售权证价值为公司股票卖权价值的倍

假设不考虑行权后对股票价格的预期影响，根据B/S模型，万华股票认售权证理论价值为1.095元。万华蝶式权证价值比较2006年4月27日，万华认购权证收盘价10.251元，万华认售权证收盘价3.260元。将上述估计的权证价值与市场价值进行比较分析，见表13-3。表13-3万华蝶式权证价值比较单位：元权证股票市价权证价格执行价格内含价值时间价值认购权证市场价格传统B/S模型（买权价值）权证价值稀释效应16.7416.7416.2610.2518.1367.2009997.747.747.262.5110.3960.000认售权证市场价格传统B/S模型（卖权价值）权证价值增值效应16.7416.7417.163.2601.0951.1251313130003.2601.0951.125

万华蝶式权证投资分析（1）如果投资者预期未来股价落在9～13元/股之间，此时两种权证都同时具备内含价值和时间价值，投资者既可以选择同时保留两种权证,继续观察股价走势；也可以选择在权证交易市场同时抛出两种权证，以实现即期收益。

图13-9万华蝶式权证价值

（2）万华的蝶式权证类似于“宽跨式”(strangle)权证组合，但在一般的“宽跨式”权证组合里，认购权证的行权价高于认售权证的行权价，收益曲线呈现“\_/”形状。如果权证到期时，股票市价落在两个行权价之间，则两种权证都将丧失价值，此时权证组合持有者的损失最大，其净损失为两种权证的购入成本。

万华股份蝶式权证的特点:

如果权证到期行权时标的股票的市价落在两个行权价之间，则权证组合存在4元的固定回报，优于一般的“宽跨式”权证组合，投资者可以通过权证的组合投资回避掉方向性风险，即无论未来股价大幅上涨或大幅下跌，投资者都有获利的可能。如果投资者认为标的股票市价未来会出现暴涨或暴跌，但方向不明确，则可以构建权证组合，以获取尽可能大的收益；如果投资者对标的股票的未来股价走势有着明确的单边预期，则不应进行组合投资，只需购买其看好方向的权证即可。Black-Scholes公式得以推导的前提性假设解释这些前提性假设可以分类成为两组：有关股票价格是如何分布的假设和有关经济环境的假设。关于股票价格分布的假设包括下列内容：股票的连续复合回报是正态分布的并在时间上是独立的。（如在第十一章中所讨论的，我们假定股票价格不存在“跳跃”。）连续复合回报的波动率是已知的和常数。未来的股利是已知的，无论是以一个美元金额还是以一个固定的收益率。关于经济环境的假设包括：无风险利率是已知的和常数。没有交易成本和税收。无成本地卖空和以无风险利率借款是可能的。年度工作总结汇报ANNUALWORKREPORTSUMMARY信托业务发展与创新研究上海国际信托投资有限公司王信举目录信托业务发展现状研究01信托业务创新研究——两项导致信托业务突破性发展的重大革新02信托业务创新案例分析03信托业务发展现状研究一般理解政策与法律环境发展现状一般特点发展桎梏信托的一般理解以信为本以诚治业诚即真诚、诚实，信即守承诺、讲信用，讲诚信就是要守诺、践约、无欺。如果有人要问英国人在法学领域取得的最伟大、最独特的成就是什么，那就是历经数百年发展起来的信托理念…这不是因为信托体现了基本的道德原则，而是因为它的灵活性，它是一种具有极大弹性和普遍性的制度。——英国法学家梅特兰信托的应用范围可与人类的想像力相媲美。——美国信托法权威斯科特信托的一般理解贯通货币市场、资本市场和产业投资的独特优势最好的非IPO投资银行业务平台信托制度框架下突出的财产管理功能和资金融通功能政策与法律环境法律框架逐步完善《信托法》（2001.10）——信托法律制度体系的基本法《信托投资公司管理办法》（2002.6）——信托投资公司的经营管理规范《信托投资公司资金信托业务管理暂行办法》（2002.7）——信托主体业务的规范分类监管办法即将出台，诸多单项条例即将出台——信托证券专用帐户、信托公司及业务信息披露、房地产信托、信托公司治理指引、内控指引和信托核算等政策与法律环境监管思路逐步明晰信托公司分类监管原则、属地监管原则协调规划，统一监管尚需加强发展现状目前重新登记后的信托公司共59家，截至6月底，信托从业人员4600人近三年来，集合资金信托计划1053个，大部分获得了成功，信托公司接受管理的信托财产总额已近2000亿元人民币。84%的信托财产为资金信托，财产信托业务开始呈现良好的发展态势。——银监会非银部主任高传捷，中国长沙信托论坛(2004.10）一般特点由单一信托到集合信托由资金信托向财产信托过渡运用范围由单一领域到多领域运用工具由单一向多种工具相结合发展桎梏信托登记信托税收信托会计信托业务创新研究两项导致信托业务突破性发展的重大革新信托内部信用增级信托制度框架下的所有权解析内部信用增级外部信用增级由第三方提供信用担保，提供者包括政府、专业保险公司、金融机构、大型企业的财务公司等，增级工具主要有：政府承诺函、保险、企业担保、现金抵押帐户和信用证等。信托内部信用增级利用基础资产产生的部分现金流来实现,可避免利用外部信用增级工具较容易受信用增级提供者信用等级下降风险