《柱、锥、台的体积》教学课件【高中数学必修2（北师大版）】

第一章·立体几何初步柱、锥、台的体积北师大版·统编教材高中数学必修2新课学习

埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580年,其形状为正四棱锥。金字塔高约146.6m,底面边长约230.4m。问:这座金字塔的侧面积和体积各是多少?新课学习解：如图,AC为高,BC为底面的边心距,

则AC=146.6m,BC=115.2m,底面周长c=4×230.4m,新课学习柱、锥、台体的体积公式名称体积公式柱体V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)，V圆柱＝πr2h(r为底面半径)锥体台体随堂练习根据几何体的三视图，得该几何体是下部为直三棱柱，上部为三棱锥的组合体，如图所示。某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为(

)A.B.C.D．3则该几何体的体积是V几何体＝V三棱柱＋V三棱锥＝

×2×1×1＋

×

×2×1×1＝A新课学习思考1：如何求锥体的体积？解：求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式V＝

Sh进行计算即可，常用方法为割补法和等积变换法。(1)割补法：求一个组合体的体积可以将这个组合体分割成几个柱体、锥体(或补成一个柱体或锥体)，求出柱体和锥体的体积，从而得出几何体的体积。(2)等积变换法：三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面。求体积时，可选择容易计算的方式来计算。新课学习思考2：如何求台体的体积？解：(1)求台体的体积，其关键在于求高，一般地，把高放在直角梯形中求解。(2)“还台为锥”是一种求解台体的重要思想。借助相似等手段以及相关知识求解。随堂练习例1如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°。(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C＝

，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积。随堂练习解:(1)证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B。因为CA＝CB，所以OC⊥AB。由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB。因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C。又A1C不在平面OA1C内，故AB⊥A1C。随堂练习(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC＝OA1＝又A1C＝

，则A1C2＝OC2＋OA，故OA1⊥OC。因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高。又△ABC的面积S△ABC＝

，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×OA1＝3。随堂练习例2已知一个正三棱台的两底面分别为边长为20cm和30cm，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高和体积。解：如图所示，随堂练习正三棱台ABC－A′B′C′中，O、O′为两底面的中心，D、D′是BC、B′C′的中点，则DD′是梯形BCC′B′的高，所以S侧＝(20＋30)·DD′·3＝75DD′。又A′B′＝20，AB＝30，则上、下底面面积之和为S上＋S下＝(202＋302)＝325由S侧＝S上＋S下得，75DD′＝325，所以DD′＝

。在直角梯形O′ODD′中，OD＝5，O′D′＝即棱台的高h＝cm。由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V＝(S上＋S下＋)＝1900(cm3)。随堂练习（1）已知圆柱的侧面展开图的面积为S，底面周长为c，它的体积是(

)

A.B.C.D.解析：由题意知2πr＝c，所以r＝

。又因为ch＝S，所以h＝

。

所以V＝πr2h＝π

2。

＝

，故选D。D随堂练习解：由三视图知，该几何体是如图所示的三棱锥（2）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为(

)A.B.C.D.D且VO⊥底面ABC，VO＝

，OA＝OB＝OC＝2，V＝

S底·h

＝

×

＝随堂练习(3)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水。天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸。若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸。(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)3解析：圆台的下底面半径为6寸，上底面半径