数学分析第八章课件微分的进一步应用

第八章微积分的进一步应用1优秀课件，精彩无限！前面：微分中值定理微商与微分研究函数（用二阶微商判断凹凸性）1、能否用高阶微商研究函数？前面微分的应用2、复杂的函数用简单的函数来近似表示多项式一次多项式两个不足1、精确度不高2、不能给出误差估计§1泰勒公式2优秀课件，精彩无限！能否用二次，三次，n次多项式近似？为了简单。先计（前面，

问题：给定一个函数要找一个在零点附近与近似的多项式要求与之前是比更高阶的无穷小。怎样找？3优秀课件，精彩无限！前面：这时

若用近似代替自然要求：------（2）

用次多项式-------（1），自然要求满足：近似代替的具体形状（系数）由于这些条件可以确定4优秀课件，精彩无限！定理8.1公式。在Taylor系数。的在称为Taylor带佩亚诺余项的泰勒公式有的为5优秀课件，精彩无限！于是----代入（1）得由（2）得这就是我们要找的多项式

？问与相差多少即误差是多少？是否是比更高阶的无穷小？求各阶导数,取得-----对6优秀课件，精彩无限！例1，泰勤公式的一个应用定理8.2定理8.3（唯一性）2.余项为其它形式的型余项：定性的描述误差不能作误差估计的定量描述能进行误差估计？能否给出误差7优秀课件，精彩无限！（三种类型的余项）

定理8.4拉格朗日余项

.佩亚诺(Peano)余项

.麦克劳林（Maclaurin

）余项8优秀课件，精彩无限！3、初等函数的麦克劳林公式其中9优秀课件，精彩无限！其中10优秀课件，精彩无限！类似可得其中11优秀课件，精彩无限！其中12优秀课件，精彩无限！已知其中类似可得13优秀课件，精彩无限！§2

微积分在几何物理中的应用

1.直角坐标下平面图形的面积由其中（）围成的图形的面积A用微元法和几何意义来说明由轴和所围成的面积A例1例214优秀课件，精彩无限！

所围图形的面积例1（两种方法和公式）例2（重要变量替换）例3由例2例3引出公式由参数方程表示曲线的情形例3则若15优秀课件，精彩无限！2．极坐标下平面图形的面积用定义推导公式：或用微分法与向径所围成的面积A为由曲线（扇形面积）rl例4求心脏线，所围的面积解：16优秀课件，精彩无限！3.已知截面面积的立体体积已知某立体介于平面和之间，其过点垂直于轴的平面所截的图形面积为,则该立体的体积微元为从而体积为特别：旋转体的体积：绕轴旋转一周，故由连续曲线所产生的旋转体的体积，这时17优秀课件，精彩无限！4、曲线的弧长：曲线：由方程

决定的构成的平面点集1、。称为平面曲线2、曲线的方向3、曲线是可求长的。弧长。4、光滑曲线光滑曲线是可求长的，且弧长为定理3.118优秀课件，精彩无限！注：在上述推导过程，遇到了必须处理和式的极限问题。但是和式不是和，通常把它改写为一个和加上一个尾项再利用一致连续性证明此尾项为无穷小量，在定积分应用中，证明见P258这是常用的一种典型方法。19优秀课件，精彩无限！下面考虑曲线段不是直接由参数方程给出的情形1、曲线由

给出2、曲线由极坐标方程

则20优秀课件，精彩无限！例、椭圆

解：其参数方程：于是其中于是椭圆弧长为这个被积函数的原函数不是初等函数。的弧长称为椭圆离心率我们把这种类型的积分称为“椭圆积分”21优秀课件，精彩无限！5.弧微分几何解释：P259：22优秀课件，精彩无限！1）z曲线段的平均曲率：2）曲线在一点的曲率：3）曲率半径4）曲率的计算公式：6.曲线的曲率（平面曲线）参数方程直角坐标23优秀课件，精彩无限！6.旋转体的侧面积：圆台的侧面积参数方程直角坐标

7、平面曲线弧现平面图形的质心。8、转动惯量24优秀课件，精彩无限！小结泰勒公式麦克劳林公式微积分在几何物理中的应用25优秀课件，精彩无限！习题1、求函数解:的三阶泰勒公式在点26优秀课件，精彩无限！其中27优秀课件，精彩无限！已知2、

计算无理数e

的近似值,使误差不超过解:令x=1,得由于欲使由计算可知当n=9

时上式成立

,因此的麦克劳林公式为28优秀课件，精彩无限！3、利用泰勒公式求极限求：解:由于用洛必塔法则不方便

!用泰勒公式将分子展到项,29优秀课件，精彩无限！4、

用近似公式计算cos

x

的近似值,使其精确到0.005,试确定x

的适用范围.解:近似公式的误差令解得即当时,由给定的近似公式计算的结果能准确到0.005.30优秀课件，精彩无限！两边同乘n!=整数+假设e

为有理数(p,q

为正整数),则当

时,等式左边为整数;矛盾!5、

证明

e

为无理数

.

证:时,当故e

为无理数.等式右边不可能为整数.31优秀课件，精彩无限！附加题

1、余项估计令(称为余项),则有32优秀课件，精彩无限！33优秀课件，精彩无限！2、利用泰勒公式证明不等式例4.

证明证:34优秀课件，精彩无限！计算解:原式3、