部分第六章4节万有引力理论成就

应用创新演练第4节万有引力理论的成就理解教材新知把握热点考向考向一考向二随堂基础巩固第六章万有引力与航天课时跟踪训练知识点一知识点二考向三若不考虑地球自转的影响，地面上物体所 受重力等于地球对物体的引力，即mg＝Mm

gR2G

R2

，可得地球质量

M＝

G

。根据万有引力提供行星做圆周运动的向4π2r3心力，可得太阳的质量为M＝

GT2

。3．除了可以应用万有引力定律计算天体的质量外，还可以应用万有引力定律发现未知天体，海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位。1．地球质量的计算利用地球表面的物体：若不考虑地球自转，质量为m

的物体的重力等于地球对物体的万有引力

，即

mg＝

，gR2则

M＝

G

，只要知道

g、R

的值，就可计算出地球的质量。MmG

R2[自学教材]2．太阳质量的计算利用某一行星：质量为m

的行星绕太阳做匀速圆周运动，行星与太阳间的 充当向心力，即

G

r2

＝Mm

4π2mrT2，由此可得太阳质量M＝，由此式可知只要测出行星绕太阳运动的周期T

和半径r

就可以计算出太阳的质量。万有引力4π2r3GT23．其他行星的质量计算利用绕行星运转的卫星：若测出该卫星与行星间的距Mm质量M＝2π

2m( )

r离

r

和转动周期

T，同样据

G

r2

＝

T

可得出行星的4π2r3GT2

。[重点诠释]1．求天体质量的思路绕中心天体运动的其他天体或卫星做匀速圆周运动，做圆周运动的天体(或卫星)的向心力等于它与中心天体的万有引力，利用此关系建立方程求中心天体的质量。2．天体密度的计算M

M 根据密度公式

ρ＝

V

＝4

，只要求出天体的质量代入此式3πR3就可计算天体的密度。(1)由天体表面的重力加速度g

和半径R

求此天体的密度：3πR34

4πGRMm

M

3g由

mg＝G

R2

和

ρ＝ 得

ρ＝

。(2)若天体的某个卫星的轨道半径为r，周期为T，天体半径2为

R，则由

G

r2

＝m

rMm

4π2

43和

M＝ρ·

πR

得

ρ＝3πr3T

3

GT

R2

3。(3)当天体的卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r

等于天体半径R，则由G2R

T2Mm

4π2

433＝m R

和

M＝ρ·

πR

得

ρ＝3πGT2。[特别提醒]在用万有引力等于向心力列式求天体的质量时，只能求出中心天体的质量，而不能求出环绕天体的质量。要掌握日常知识中地球的公转周期、地球的自转周期、月球的周期等，在估算天体质量时，往往作为隐含条件加以利用。要注意R、r的区分。R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径。若绕近地轨道运行，则有R＝r。1．已知万有引力常量G，现给出下列各组数据，可以计算出地球质量的有

(A．已知地球的半径R和地面的重力加速度g)B．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和线速度vC．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和周期TD．地球公转的周期T′及运转半径r′Mm

gR2解析：由

G

R2

＝mg，得

M＝

G

，故

A

正确。又由万有引力v2rv2Mm

4π2

4π2r3提供向心力

G

r2

＝m

r

＝m

T2

r，得

M＝

G

＝

GT2

，故

B、C正确。若已知地球公转的周期T′及运转半径r′，只能求出地球所围绕的中心天体——太阳的质量，不能求出地球的质量，故D

错误。答案：ABC[自学教材]已发现天体的轨道推算18世纪，人们观测到太阳系第七个行星——天王星的轨道和用

万有引力定律计算出来的轨道有一些偏差。未知天体的发现根据已发现的天体的运行轨道结合万有引力定律推算出未知天体的轨道，如海王星

、冥王星

就是这样发现的。[重点诠释]1．解决天体问题的两条思路(1)所有做圆周运动的天体，所需要的向心力都来自万有引力。因此，向心力等于万有引力，是我们研究天体运动建立方程的基本关系式，即

Mm＝ma，式中的

a

是向心加速度，根G

r2v24π2据问题的条件可分别选用：a＝

r

，a＝ω2r，a＝

T2

r。(2)物体在地球(天体)表面时受到的引力等于物体的重力，Mm即G

R2

＝mg，式中的R

为地球(天体)的半径，g

为地球(天体)表面物体的重力加速度。2．解决天体问题时应注意的问题(1)在用万有引力等于向心力列式求天体的质量时，只能测出中心天体的质量，而环绕天体的质量在方程式中被消掉了。Mm(2)由

G

＝mg

可以得到：GM＝gR2。由于

G

和

M(地球R2质量)这两个参数往往不易记住，而g和R容易记住，所以粗略计算时，一般都采用上式代换。3．常用的几个关系式设质量为m

的天体绕另一质量为M

的中心天体做半径为r

的匀速圆周运动。v2(1)由

G

r2

＝m

r

得

v＝Mm

GMr，r

越大，天体的v

越小。Mm(2)由

G

＝mω2r

得

ω＝r2

r3GM，r

越大，天体的ω

越小。r3GM，r

越大，天体的T(3)由

Mm

2π

2G

r2

＝m(T

)r

得T＝2π越大。nr2

r2n

nMm

GM(4)由

G

＝ma

得

a

＝ ，r

越大，天体的

a

越小。2.如图6－4－1

所示，a、b

是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的)高度分别是R

和2R(R

为地球半径)。下列说法中正确的是

(a、b

的线速度大小之比是2∶1a、b

的周期之比是

1∶2

2C．a、b

的角速度大小之比是

3

6∶4D．a、b

的向心加速度大小之比是9∶4图6－4－1解析：两卫星均做匀速圆周运动，F

万＝F

向，向心力选不同的表达形式分别分析。由GMm

r2v2v121＝m

r

得v

＝

r

＝r2

3R2R＝

2，A

错误；由3

GMmr22π

2

T12＝mr(T

)

得T

＝r1

3r22

23＝3

3，B

错误；由GMm

r22ω12＝mrω

得ω

＝r2

3r13＝3

64，C

正确；由GMm

r22r2

21a1

9＝ma

得a

＝r

2＝4，D

正确。答案：CD[例1]

为了实现登月计划，先要测算地、月之间的距离。已知地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，在地球附近物体受到地球的万有引力近似等于物体在地面上的重力，又知月球绕地球运动的周期为T，万有引力常量为G，则：地球的质量为多少？地、月之间的距离约为多少？[思路点拨]

地球表面物体的重力近似等于地球对它的万有引力大小；月球绕地球运动所需的向心力由地球对它的万有引力提供。[解析]

(1)设地球表面有一质量为

m1

的物体。1依题意有

m

g＝G

R2Mm1，gR2解得M＝

G

。(2)设月球质量为m2，地、月之间的距离为r。Mm2＝

2π

2

，解得r＝由牛顿第二定律得

G

r2

m2(

T

)

r3GMT24π2，gR2将M＝

G

代入上式得r＝3gR2T24π2。gR2[答案]

(1)

G

(2)3gR2T24π2[借题发挥]计算天体质量和密度的公式，既可以计算地球质量，也可以计算太阳等其他星体的质量，需明确计算的是中心天体的质量。要注意理解并区分公式中的R、r，R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径，只有在近“地”轨道运行时才有r＝R。1．在某行星上，宇航员用弹簧秤称得质量为m的砝码重力为F，乘宇宙飞船在靠近该星球表面空间飞行，测得其环绕周期为T。根据这些数据求该星球的质量和密度。解析：设行星的质量为M，半径为R，表面的重力加速度为g，由万有引力定律得F＝mg＝G

R2Mm。飞船沿星球表面做匀速圆周运动由牛顿第二定律得GMm′R24π2R＝m′T2

。F3T4联立解得M＝16Gπ4m3。3πR34

GT2将

M

代入

ρ＝

M

，得

ρ＝

3π

。F3T43π答案：16Gπ4m3

GT2[例2]

宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因万有引力的作用吸引到一起。设二者的质量分别为m1和m2，二者相距为L，求：(1)双星的轨道半径之比；

(2)双星的线速度之比。[思路点拨]

解决该问题应注意：(1)万有引力表达式中的距离不等于圆周运动的轨道半径。

(2)两星的向心力相等都等于万有引力。(3)两星的角速度相同。[解析]

这两颗星必须各以一定速率绕某一中心转动才不至于因万有引力作用而吸引在一起，所以两天体间距离L应保持不变，二者做圆周运动的角速度ω必须相同。如图所示，设

二者轨迹圆的圆心为O，圆半径分别为R1和R2。由万有引力提供向心力有m1m22G

L2

＝m1ω

R1，①m1m22G

L2

＝m2ω

R2。②(1)①②两式相除，得R

＝m2

1R1

m2。v1(2)因为v＝ωR，所以v

＝R

＝mR1

m2。2

2

1[答案]

(1)m2∶m1

(2)m2∶m1[借题发挥]有关求双星系统的问题的思路是相互的万有引力提供各自做圆周运动的向心力，且二者有共同的角速度和周期，二者的轨道半径之和是二者之间的距离。解题时一定要注

意，双星各自的轨道半径与它们之间的距离不同。在上例条件下，试确定该“双星”系统运行的角速度。解析：两星的角速度相同，则121G

L2

＝m

ω

R

，Gm1m2

m1m2L22＝m2ω

R2，故R2＝R1

m2m1。又因为1R1＋R2＝L，所以R

＝m2Lm1＋2m

，m1m21所以

G

L2

＝m

ω2m2L1m

＋m2，解得ω＝G(m1＋m2)L3。答案：G(m1＋m2)

L3[例3]

已知地球半径R＝6.4×106

m，地面附近重力加速度g＝9.8

m/s2，计算在距离地面高为h＝2.0×106

m的圆形轨道上的卫星做匀速圆周运动的线速度v和周期T。[思路点拨][解析]根据万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，即G

Mm

v2(R＋h)

R＋h2＝m

。知v＝R＋h

GM

。①由地球表面附近的物体受到的万有引力近似等于重力，即GMm′R22＝m′g，得

GM＝gR

。

②由①②两式可得v＝gR2R＋

＝h6．4×10