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文档简介

重点对数平均不等式专题一

函数与导数在高考压轴题中，经常考查与导数有关的不等式问题，这些问题可以用常规方法求解，也可以转变成对数平均不等式、切线不等式进行求解，起到事半功倍的效果.考点一对数平均不等式专题强化练内容索引对数平均不等式

考点一例1不妨设a＞b＞0，所以f(t)在(1，＋∞)上单调递减，∴φ(t)在(1，＋∞)上单调递减，该类问题的特征是双变量，将双变量问题转变为单变量问题处理，即将

看成一个新对象(整体)，从而进行降维打击.规律方法(1)讨论f(x)的单调性；跟踪演练1①若a≤2，则f′(x)≤0，当且仅当a＝2，x＝1时，f′(x)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减.②若a＞2，令f′(x)＝0，得由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a＞2.由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2－ax＋1＝0，所以x1x2＝1，不妨设x2>x1>0，则x2＞1.又x2>x1>0，∴x1－x2<0，lnx1－lnx2<0，即证原不等式成立.专题强化练

1.(2022·葫芦岛模拟)已知函数f(x)＝x＋b(1＋lnx)(b∈R).(1)求f(x)的单调区间；1212若b≥0，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；若b<0，令f′(x)＝0，得x＝－b，当x∈(0，－b)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－b，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，综上，若b≥0，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；若b<0，f(x)的单调递减区间为(0，－b)，单调递增区间为(－b，＋∞).(2)设g(x)＝f(x)－

sinx，若存在0<x1<x2，使得g(x1)＝g(x2)，求证：①b<0；12g′(x)>0，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，故不存在0<x1<x2，使得g(x1)＝g(x2)，所以b<0.12②x1x2<4b2.12令m(x)＝x－sinx(x>0)，m′(x)＝1－cosx≥0，当x→0时，m(x)→0，故m(x)>0，即x>sinx，因为g(x1)＝g(x2)，12122.(2022·抚州模拟)已知函数f(x)＝x(lnx＋a)，a∈R.(1)求f(x)的单调区间；12因为f(x)＝x(lnx＋a)，故可得f′(x)＝lnx＋a＋1，x>0，又y＝lnx＋a＋1为增函数，令f′(x)＝0，解得x＝e－a－1，故当0<x<e－a－1时，f′(x)<0；当x>e－a－1时，f′(x)>0，故f(x)的单调递减区间为(0，e－a－1)，单调递增区间为(e－a－1，＋∞).12(2)当a＝1时，求证：ef(x)≤xex在(0，＋∞)上恒成立.当a＝1时，f(x)＝x(lnx＋1)，要证ef(x)≤xex，即证ex(lnx＋1)≤xex，又x>0，则只需证lnx＋1≤ex－1，又lnx＋1≤x，ex－1≥x，且等号都在x＝

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