第4章系统可靠性分析=系统安全工程=东北大学分析

4系统可靠性分析4.1可靠性的基本概念图中的曲线俗称浴盆(Bathtub)曲线。人类的死亡率也具有类似的情况。图表4.1不同类型故障产生原因及防止对策故故障类型现象原因初期故障·新产品投产初·设计错误期的故障·制造不良后故障减少(制造责任的可起重大事故统的典型故障应力的作用·增加投资养无效数分布养有效排除会产生这种现象对策备注FTA养无效磨损故障·机械零部件磨损、疲劳造成的材料4.2故障发生规律1故障时间分布为F(t),可靠度记为R(t)，则故障发生概率为r(4.1)r(4.1)上述公式又称为故障时间分布函数。可靠度为0f(t)dt表示在时间间隔(t,t+dt)内发生故障的概率。定义入(t)=dF(t)=dR(t)dt.F(t)R(t)dt00R(t)=e0t概率为经经过时间tN(t)N(t1)N(t)0－000162349527602经经过时间tF(t)经过时间tF(t)经验分布函数。当元件总数(数据数)无限增加，趋近无穷大时，经验分布函指数分布的数学期望E(x)为000Failure，MTTF)。在系统、设备、元件故障后经修理被重复使用的场合，它F0tmtmnnm解：平均故障间隔时间为解：因入t==0.025<<1，利用级数展开式进行计算：2!3!2!3!F(t)=1-e-n--12126)0内故障发生次数N(t)服从泊松(Poisson)分布。nrnPt=(入t)ne入tnn!rk!rk!k=0故障次数N(t)的数学期望E[N(t)]和方差V[N(t)]分别为E[N(t)]=nP(t)=n(入t)ne入t=入tnn!V[N(t)]=EV[N(t)]=E[N2(t)]{E[N(t)]}2nn=0过对收集的故障数据进行统计处理而弄清故障发生规来确定其分布函数就是一个十分重要的问题。数据估算出表征故障发生性质的特征量－平均故障时间或平均故障间隔时间法和矩法最常用，这里仅介绍最大似然法。123n似然函数，通过求解该函数极值来得到分布参数的估计值。4.3.1指数分布的参数估计123n123ni式中，f(t,入)－故障时间密度函数，在指数分布的场合，ifteti(4.25)i123ni123ni得到参数入的估计值为=ni相应地，可以得到平均故障时间9的估计值为xt=1=123rr12rf(t;入)dtf(t;入)dt…f(t;入)dt{1-F(t)}n-r=nrf(t;入)dt{1-F(t)}n-r1122rriir次故障发生在试验结果那样的r个试件上的概率为 n!nrf(t;入)dt{1-F(t)}n-r(n-r)!iiL(t,t,…,t;入)=n!nrf(t;入){1-F(t)}n-r12n(n-r)!i求满足下式的参数入的估计值=rxrt(n-r)ti平均故障时间9的估计值为xrt+(n-r)tr设显著性水平为a，则置信度为1-a。在置信度1-a一定时，截尾试验「]aa(4.34)L22」22irn对于完整试验，将公式(4.35)中的r用n代替即可。i由式(4.33)可算得平均故障时间9的估计值为的参数估计=r=r(1+1)mtm将该式两端取倒数，然后再取两欢对数，得到直线方程为线在纵轴(lnt=0)上的截距为lnn。这样，利用专门的威布尔概率纸(对数nm表4.4试件的故障时间及R(t)和F(t)F(t)，%试件总数m4.6威布尔概率纸求解分布参数「]L22」ii=1用n个试件进行试验，到T时刻共有r个试件发生故障，则可靠度的点估相应地，故障发生概率F(t)的点估计值为n定数截尾试验的场合，可靠度的置信上限R和置信下限R分别为ul1式中，F2r(1-a)和F2r(a)为F分布，其数值可以查表得到。2(n-r+1)22(n-r+1)24.4简单系统可靠性相互依存的若干元素组成的具有特定功能的有机整故障的方的方法(元素冗余)，也可以付加系统 致系统故障，并且系统故障时间t与元素故障时间t，t，…，t之间有如下s12ntmintt…,t]s12n当串联系统的各元素的故障时间相互统计独立时，系统可靠度R(t)与元Rt：iR(t)=nnR(t)sis相应地，系统发生故障概率F(t)与元素发生故障概率F(t)之间具有如下关siF(t)=1nn[1F(t)]sisisitii间9与元素平均故障时间9之间具有如下关系：si9=1=1(4.50)s(1+1+…+1)n1999912ni=1i的全部元素都故障时系统才故障，并且系统的故障时间t与元素故障时间s12ns12niR(t)与元素sR(t)=1nn[1R(t)](4.52)sisiF(t)=nnF(t)(4.53)sisit221212(4.54)t221212(4.54)1212ss1)系统故障率小于其中元素故障率较大者，即s12s12t时间服从指数分布，则系统平均故障时间9与各元素平均故障时间9之间有ss02n0靠性系统是组成系统的n个元素中至少有k个元素正常时系统才能正常s000相应地，系统故障概率为s00入00s入(t)2入。在运行时间较短的场合，系统故障率小于单一元素的故障率。s0系统平均故障时与元素平均故障时之间有如下关系：s059=9统的故障率统和并联系统故障概率曲线之间(见图4.9)。当元素故障概率较高时系统故4.4.4备用系统可靠性情况。1)冷备用系统。设冷备用系统由相同的一个主要元素和n个备用元素组成。若各元素的故障时间分布为指数分布，则系统可靠度R(t)为sk=00冷备用系统的平均故障时间9等于元素平均故障时间9之和：s09=(n+1)9(4.61)s02)温备用系统02sR=e入t+入1[e入te(入+入)t](4.62)102系统平均故障时间9为s9=+112104.5可维修系统可靠性.1维修的基本概念工作称作维修。由于故障发生的原因、。1)维修度与用可靠度定量地描述可靠性一样，我们用维修度(Maintainability)来定维修度概率密度函数用m(t)表示2)维修率(t)=。这时，系统维修度函数可以写为mtet(4.67)3)平均维修时间1MTTR(4.68)4)可用度可用度(Availability)是一个衡量系统被利用情况的指标。按定义，可用A(t)=+A(w)=A(w)==(4.70)FSF处于F状态的系统经过维修恢复到S状态。这里由一种状态向另一种状态的概率与有限次转移以前的状态完全无关的过程称为马尔可夫(Markov)过程。12rijijS1SP=2SS1PP…PS2PP…P…SrPP2r…Prr1r2rri12r且PPP(4.72)i1i2ir系统处于状态S的概率用x表示，则固有向量(或称特征向量)为iiX=(x,x,…,x)12rx+x+…+x=112r根据下式可以求得系统处于某一状态的概率x：iFSF入01解方程组x)0入=(xx)0(x+x=1x)x0=x0AA=x=1+入2S素都故障的状态S。这时的转移矩阵为1SP=SSS200S1S00入0热备用系统状态转移图211100(x2x1x)000入=(xx1x)0(||x+x+x=1212101100A=x+xA=x+x=相关结构理论1相关系统用二值变量x来表示第i个元素的状态，则i(0当元素故障时xi=〈|i=1,2,…,n(4.76)|1当元素正常时(0当系统故障时|1当系统正常时数为X(4.78)12nnn数。i12n为i12niii(1)元素与系统相关如果某元素i不论x的取值如何总有固定的0，则称元素i与系统不相关，i即对于所有的(•,X)都有0(1,X)=0(0,X)，否则元素i与系统相关。这iiii(•,X)=(x,x,…,x,•,x,…,x)i12i1i+1n(0,X)=(x,x,…,x,0,x,…,x)i12i1i+1n(1,X)=(x,x,…,x,1,x,…,x)i12i1i+1n对于任意n阶系统，对于所有的元素i都有下式成立：0(X)=x0(1,X)+(1x)0(0,X)(4.81)iiiixyiyiiiii121122112211221122=xx1000y21010y1100设有结构0(X)，则它的对偶结构为(2)相关系统及其性质。设0(X)为n阶相关系统的结构函数，则1)该系统的性能，其上限相当于一个并联系统，其下限相当于一个串联nnx0(X)nx(4.84)iiii=12)元素的冗余较系统的冗余效果更好，即0(XUY)0(X)U0(Y)(4.85)(3)相关系统可靠度假设系统的元素是统计独立的，并且各元素的状态是随机的。元素i处于正常状态的概率(可靠度)等于状态变量x的数学期望：iR=P[x=1]=E[x]i=1,2,…,n(4.86)irii类似地，系统处于正常状态的概率(可靠度)等于系统结构函数的数学期望：R=h(R)=P[0(X)=1]=E[0(X)](4.87)sir分解法计算系统可靠度的系统变得复杂了，不能按简单系统来处理。概率分解法(Partialpivotal对式(4.81)等号两端取数学期望，得到概率分解法计算系统可靠度的公RhRsiiiiLLx2x3x4x52s2s2222iss23452134s9为：ss0s入4.6.3最小径集合与最小割集合集合是径集合(Pathset)。当Y<X时能使0(Y)=0的径矢量是最小径矢量，与最小径矢量相对应的元素的集合是最小径集合(Minimalpathset)。1314134(x,x)，(x,x)，(x,x)，(x,x,x)，(x,x,x,x)，(x,x,x,x,x)是252324234234512345该径集合为最小径集合。显然，在上述的径集合中，集合(x,x)，(x,x)，314xxxx)，(x,x)是最小径集合。252324是由最小径集合并联构成的。当构成系统的不同最小径集合中没有相同元素sij的序号；p—序号为j的最小径集合包含的元素数；jR=pnpjRnR+…+(1)p1nnR(4.90)siiijljljljljj集合是割集合(Cutset)。的元素的集合是最小割集合(Minimalcutset)。12345234(x,x,x,x)，(x,x,x,x)，(x,x,x,x,x)是割集合。134523451234512345234sik—序号为j的最小割集合包含的元素数；jsiiijljljlj