高中数学-平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计学情分析教材分析课后反思

平面向量数量积的物理背景及其含义课标分析1.知识与技能目标：（1）理解平面向量数量积的几何意义及其物理意义；（2）掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；（3）理解平面向量的数量积与向量投影的关系；（4）了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。2.过程与方法目标：这节课主要采用类比法，数形结合法和探究式教学法。通过按照“物理模型→概念→性质→运算律→应用”这种研究思路来研究了向量的数量积运算。先有物理模型引入数量积的概念，接着了解了数量积的几何意义，进一步总结出数量积的性质，再通过类比实数乘法运算律，用数形结合的思想证明验证，得到了数量积的三条运算律。最后我们将数量积的性质和运算律来解决了一些问题，3.情感态度与价值目标：（1）通过用向量数量积解决问题的思想的学习，使学生加深认识数学知识之间的联系，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，培养起学生学习数学的兴趣，形成学数学、用数学的思维和意识；（2）通过对向量数量积及所产生的思想方法的学习及探索，不断培养自主学习、主动探索、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，并提高参与意识和合作精神。平面向量数量积的物理背景及其含义学情分析：学生作为初学者不清楚向量数量积是数量还是向量，寻找两向量的夹角又容易想当然，以及对运算律的理解和平面向量的数量积的灵活应用。利用向量数量积运算讨论一些几何元素的位置关系、距离和角，这些刻画几何元素（点、线、面）之间度量关系的基本量学生容易混淆。由向量的线性运算迁移、引申到向量的乘法运算这是个很自然的过渡，深入浅出、符合学生的认知规律，也有利于明确本节课的教学任务，激发学生的学习兴趣和求知欲望。A组1．若a·b<0，则a与b的夹角θ的取值范围是()．A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))2．已知|a|＝|b|＝2，a·b＝2，则|a－b|＝()．A．1B.eq\r(3)C．2D.eq\r(3)或23．已知|a|＝3，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，如果(3a＋5b)⊥(ma－b)，则m的值为()．A.eq\f(32,23)B.eq\f(23,42)C.eq\f(29,42)D.eq\f(42,23)4．已知|a|＝3，|b|＝4，则(a＋b)·(a－b)＝________.5．已知|a|＝4，a与b的夹角为30°，则a在b方向上的投影为________．6．已知|a|＝4，|b|＝3，当(1)a∥b；(2)a⊥b时，求a·b.B组7．若|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，则a与b夹角为()．A．150°B．120°C．60°D．30°8．若向量a与b的夹角为eq\f(π,3)，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为()．A．2B．4C．6D．129．已知a＋b＝2i－8j，a－b＝－8i＋16j，i，j为相互垂直的单位向量，那么a·b＝________.10．若向量|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，则|a＋b|＝________.11．在△ABC中，AB＝8，BC＝7，∠ABC＝150°，求AC的长．12．(创新拓展)设向量a，b满足|a|＝1，|b|＝1，且a与b具有关系|ka＋b|＝eq\r(3)|a－kb|(k>0)．(1)a与b能垂直吗？(2)若a与b夹角为60°，求k的值．平面向量数量积的物理背景及其含义观评记录在课堂教学中，可以多为学生提供一些数学式、数学故事或其他有趣的知识，改变学生学习数学的刻板观念，从而能够引起学生对平面向量数量积知识的重视。从课堂练习和学生回答问题和主动发言的情况看学生对本节知识和方法的掌握情况。学生主动发言，学生回答问题较准确，绝大多数同学能顺利地进行课堂练习，课堂效果不错。平面向量数量积的物理背景及其含义教材分析：1、地位与作用：本节课选自人教版高中数学必修4第二章、第4节第1课时。以物体受力做功为背景引入数量积的概念，使向量数量积运算与物理知识联系起来；向量数量积与向量的长度及夹角的关系；进一步探究两个向量的夹角对数量积符号的影响及有关的性质、几何意义和运算律。它是平面向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具。

2、教学重点与难点：重点是平面向量的数量积的概念和性质；用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角；平面向量数量积的运算律的探究及应用。难点是平面向量的数量积的定义及对运算律的探究、理解；平面向量数量积的灵活应用。

3、本节的知识结构：平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计教学过程：教学环节教学内容师生互动设计意图

创设情景，引出新课用问题方式引导学生用类比的方法学习新的向量运算。向量有加法、减法和数乘运算，线性运算的结果仍是一个向量.这节课我们再来学习向量的另一种运算向量的数量积。学习之前先来回顾一下夹角的概念1.向量的夹角的定义：2.向量夹角的取值范围________.导入课题：平面向量数量积的物理背景及其含义．若一个物体在力的作用下产生的位移为，那么力所做的功，其中是和的夹角。功是力在位移方向上的分量与位移大小的乘积，和在物理中叫矢量，W叫标量，在数学中，我们把和叫做向量，W其实就是一个数量.从中我们得到一个启发：能否将功看成是两个“向量相乘”的一种运算的结果？从而得出平面向量的“数量积”的概念．前面我们学习了向量的线性运算，那么向量的线性运算包含了那些运算？这些运算的结果是什么？生：向量的加法、减法及数乘运算。这些运算的结果都是向量。

学生复习回答夹角的两个问题，并指出当夹角分别等于时，两向量的位置关系.以告知的方式给学生，引入课题，激起学生的求知欲和学习兴趣.以物理问题为背景，初步认识向量的数量积，为引入向量的数量积的概念做铺垫.

师生探究,构建新知定义向量数量积。弄清定义中涉及哪些量？它们有怎样的关系？运算结果是向量还是数量？已知两个非零向量与，把数量叫做与的数量积（或内积），记作：，即（其中是与的夹角）．定义说明：①规定：零向量与任何向量的数量积为零．②记法“·”中间的“·”不可以省略，也不可以用“”代替．③如何确定两个非零向量的数量积的符号，什么情况下值为零？数量积运算结果的符号取决于与的夹角（）的大小．仿照物理问题建构“数学模型”．引入“向量数量积”的概念.线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数量，这个数量的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关.

认识向量的数量积的实际背景.使学生在形式上认识数量积定义.引导学生通过自主研究，明确两个向量的夹角决定它们的数量积的符号，进一步从细节上理解向量数量积的定义。向量投影的概念：我们把叫做向量在方向上（在方向上）的投影．数量积的几何意义：数量积·等于的长度与在的方向上的投影的乘积．数量积的几何意义是什么？数量积·等于的长度与在的方向上的投影的乘积．老师板书解答过程，给学生一个师范．这里将数量积的几何意义提前，使学生从代数和几何两个方面对数量积的特征有了更加充分的认识数量积的性质：设和都是非零向量，则1、⊥·=0

2、当与同向时，；当与反向时，特别地，或

3、练习：判断下列说法是否正确尝试将例1中的①②③的结论推广到一般向量，你能得到哪些结论？得到数量积的性质1、2

比较与的大小，你有什么结论？得到数量积的性质3

学生尝试练习，师根据学生解答情况点评：1.正确；2.错误；3.错误；4.错误.将例1的结论推广得到数量积的运算性质，使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。通过尝试练习，巩固对数量积的性质的理解。回顾实数运算中有关乘法的运算律．类比数量积的运算律，体会不同运算的运算律不尽相同，需要研究．已知向量、、和实数，则

学生活动：证明运算律小组活动，讨论学生上台展示证明过程师生活动：共同完成运算律3的证明，补充学生展示中的不足.通过讨论纠错来理解不同运算的运算律不尽相同.学生讨论,后根据学生的情况加以指导或共同完成

例题剖析，巩固新知例2对任意向量，是否有以下结论：（1）(+)2=2+2·+2（2）(+)·(-)=2—2例3已知=6，=4,与的夹角为600，求已知变式：（1）求当堂检测：3.已知为单位向量，当它们的夹角为时，则在方向上的投影为______课后思考：例4.已知=3，=4,且与不共线，k为何值时，向量+k与-k互相垂直？例2学生独立完成分南北两大组比较竞争.例3学生自主完成，找一个学生爬黑板完成，达到对所学知识的巩固.变式练习分南北两大组分别完成第一和第二小题，然后比较两组的做题时间.例4学生借助于与之间的关系课下完成.通过计算巩固对定义的理解。让学生体会解题中运算律的作用.比较向量运算与数运算的异同。学会利用数量积来解决垂直问题，体会用数量积将几何问题代数化的解题思想，体现向量的工具性归纳总结，升华提高小结：1、本节课我们学习的主要内容是什么？2、平面向量的数量积有哪些应用？让学生回顾总结本节课的学习内容及探究、解决问题的方法．师生共同归纳总结．通过师生共同总结，加强了学生对概念法则的理解和掌握．作业布置，任务后延布置作业：题案

通过设计作业既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，从而激发兴趣．平面向量数量积的物理背景及其含义效果分析本节课教学效果还可以，主要是把学习的主动权交还给学生，注意学生的主动探索、思考及师生互动。使学生懂得对已有的知识进行迁移、采用类比的方法让学生主动学习合作交流，体验数学的发现和创造过程，培养学生数学表达和交流的能力。在课堂中会体现自我，学会自己寻找解题的突破口，在探究中学会思考，在合作中学会推进，在观察中学会比较，进而推进整个教学程序的展开。但自我感觉“讲”的还是偏多了一点，对于学生解题中出现的错误这一资源展开、分析得不够，以后应该更加注意引导。平面向量数量积的物理背景及其含义课后反思本节课从总体上说是一节概念教学