河南省开封市马庄寨中学2021年高二数学理模拟试卷含解析

河南省开封市马庄寨中学2021年高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.利用数学归纳法证明“”时，从“”变到“””时，左边应増乘的因式是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D2.设a，b∈R，则“a+b>2”是“a>1且b>1”的(

)

A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充分必要条件

D．既非充分又非必要条件参考答案：B3.“”是“”（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A略4.用系统抽样的方法从160人中抽取容量为20的一个样本，将160名学生随机地编为1，2，3，…160，并按序号顺次平分成20组．若从第13组抽得的是101号．则从第3组中抽得的号码是（）A．17 B．21 C．23 D．29参考答案：B【考点】系统抽样方法．【分析】根据题意设出在第1组中随机抽到的号码，写出在第16组中应抽出的号码，根据第13组抽得的是101号，使得101与用x表示的代数式相等，得到x的值，即可求出从第3组中抽得的号码．【解答】解：不妨设在第1组中随机抽到的号码为x，则在第12组中应抽出的号码为8×12+x=101，∴x=5．∴第3组中抽得的号码是8×2+5=21．故选B．5.如图，已知函数f(x)的图象关于坐标原点对称，则函数f(x)的解析式可能是（

）A. B.C. D.参考答案：C【分析】根据函数图像的对称性，单调性，利用排除法求解.【详解】由图象知，函数是奇函数，排除，；当时，显然大于0，与图象不符，排除D，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的图象及函数的奇偶性，属于中档题.6.抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是（）A． B．5 C． D．10参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的标准方程，可求得p，再根据抛物线焦点到准线的距离是p，进而得到答案．【解答】解：2p=10，p=5，而焦点到准线的距离是p．故抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是5故选B7.函数在一个周期内的图象如右图，此函数的解析式为（

） A．

B． C．

D．参考答案：A8.曲线y=在点（1，）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：C略9.已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题意求得双曲线的右焦点F（2，0），由PF与x轴垂直，代入即可求得P点坐标，根据三角形的面积公式，即可求得△APF的面积．【解答】解：由双曲线C：x2﹣=1的右焦点F（2，0），PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，则P（2，3），∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=，同理当y＜0时，则△APF的面积S=，故选D．10.如图21－4所示的程序框图输出的结果是()图21－4A．6

B．－6

C．5

D．－5参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若p：x2－1＞0，q：(x＋1)(x－2)＞0，则﹁p是﹁q的___________条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”其中一个）．参考答案：充分不必要略12.对于,将表示为+…,当i=0时，为0或1.记I(n)为上述表示中为0的个数（例如：1=1+0故I(1)=0,I(4)=2，则=______.参考答案：109313.已知等式成立，则的值等于

.

参考答案：014.如图，将全体正奇数排成一个三角形数阵，根据以上排列规律，数阵中第8行（从上向下数）第3个数（从左向右数）是

．参考答案：95【考点】归纳推理．【分析】斜着看，根据数阵的排列规律确定第10行（n≥3）从左向右的第3个数为第+3=48个奇数即可．【解答】解：根据三角形数阵可知，斜着看，第n斜行奇数的个数为n个，则前n﹣1斜行奇数的总个数为1+2+3+…+（n﹣1）=，则斜着看，第10行（n≥3）从左向右的第3个数为第+3=48个奇数，所以数阵中第8行（从上向下数）第3个数（从左向右数）是2×48﹣1=95．故答案为95．【点评】本题主要考查归纳推理的应用，利用等差数列的通项公式是解决本题的关键．15.椭圆的离心率为，则的值为______________.参考答案：略16.设函数，则使得成立的的取值范围是

参考答案：17.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则角C=

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设x1，x2，x3，y1，y2，y3是实数，且满足x+x+x≤1。证明不等式：(x1y1+x2y2+x3y3–1)2≥(x+x+x–1)(y+y+y–1)参考答案：证明：当x+x+x=1时，原不等式显然成立。当x+x+x<1时，可设f(t)=(x+x+x–1)t2–2(x1y1+x2y2+x3y3–1)t+(y+y+y–1)，=(x1t–y1)2+(x2t–y2)2+(x3t–y3)2–(t–1)2，∴f(1)=(x1–y1)2+(x2–y2)2+(x3–y3)2>0，又是开口向下的抛物线，从而△=4(x1y1+x2y2+x3y3–1)2–4(x+x+x–1)(y+y+y–1)≥0，即(x1y1+x2y2+x3y3–1)2≥(x+x+x–1)(y+y+y–1)19.如图，正方形ADMN与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=6．（Ⅰ）若点E是AB的中点，求证：BM∥平面NDE；（Ⅱ）在线段AB上找一点E，使二面角D﹣CE﹣M的大小为时，求出AE的长．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）如图所示，连接AM交ND于点F，连接EF．利用正方形的性质可得AF=FM，利用三角形的中位线定理可得：EF∥BM．利用线面平行的判定定理可得：BM∥平面NDE．（II）由DM⊥AD，利用面面垂直的性质定理可得：DM⊥平面ABCD，DM⊥DC．以DA，DC，DM所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设E（3，b，0），设平面MCE的法向量为=（x，y，z），则，解得．取平面ABCD的法向量=（0，0，1）．根据二面角D﹣CE﹣M的大小为时，可得=，解出b即可．【解答】（I）证明：如图所示，连接AM交ND于点F，连接EF．∵四边形ADMN是正方形，∴AF=FM，又AE=EB，∴EF∥BM．∵BM?平面NDE，EF?平面NDE，∴BM∥平面NDE．（II）解：由DM⊥AD，平面ADMN⊥平面ABCD，平面ADMN∩平面ABCD=AD，∴DM⊥平面ABCD，∴DM⊥DC，又AD⊥DC．以DA，DC，DM所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设E（3，b，0），D（0，0，0），C（0，6，0），M（0，0，3）．=（3，b﹣6，0），=（0，﹣6，3）．设平面MCE的法向量为=（x，y，z），则，取y=1，则z=2，x=．∴=．取平面ABCD的法向量=（0，0，1）．∵二面角D﹣CE﹣M的大小为时，∴==，解得b=（0≤b≤6）．∴二面角D﹣CE﹣M的大小为时，AE=．20.（本小题满分12分）现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽查了50人，他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表．月收入（单位百元）[15,25[25，35[35，45[45，55[55，65[65,75频数510151055赞成人数4812521（Ⅰ）由以上统计数据填下面2乘2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异；

月收入不低于55百元的人数月收入低于55百元的人数合计赞成

不赞成

合计

（Ⅱ)若对月收入在[15，25），[25，35）的被调查人中各随机选取1人进行追踪调查，求选中的2人中不赞成“楼市限购令”人数至多1人的概率。参考数据：参考答案：（Ⅰ）2乘2列联表

月收入不低于55百元人数月收入低于55百元人数合计赞成32不赞成18合计104050………2分.所以没有99%的把握认为月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异.

…………6分（Ⅱ）从月收入在[15，25），[25，35）的被调查人中各随机选取1人，共有50种取法……8分其中恰有两人都不赞成“楼市限购令”共有2种取法，……10分所以至多1人不赞成“楼市限购令”共有48种方法，所以…………12分21.（13分）如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出PA⊥BC，BC⊥AB，从而AM⊥BC，再求出AM⊥PB，由此能证明AM⊥平面PBC．（Ⅱ）在平面ABC内，作Az∥BC，则AP，AB，Az两两互相垂直，建立空间直角坐标系A﹣xyz．利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣B的余弦值．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC．因为BC⊥AB，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB．…（2分）所以AM⊥BC．…（3分）因为PA=AB，M为PB的中点，所以AM⊥PB．…（4分）所以AM⊥平面PBC．…解：（Ⅱ）如图，在平面ABC内，作Az∥BC，则AP，AB，Az两两互相垂直，建立空间直角坐标系A﹣xyz．则A（0，0，0），P（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，1），M（1，1，0）．=（2，0，0），=（0，2，1），=（1，1，0）．…（8分）设平面APC的法向量为=（x，y，z），则，令y=1，得=（0，1，﹣2）．…（10分）由（Ⅰ）可知=（1，1，0）为平面BPC的法向量，设二面角A﹣PC﹣B的平面角为α，则cosα===．…（12分）所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．…（13分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．22.电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图，将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料判断你是否有95%以上的把握认为“体育迷”与性别有关？

非体育迷体育迷合计男

女

合计

参考公式：K2=P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828（2）将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．参考答案：【考点】BL：独立性检验．【分析】（1）根据频率分布直方图计算出“体育迷”和非体育迷，填入列联表；计算观测值K2，对照临界值得出结论；（2）由频率分布直方图知“超级体育迷”5人，其中女2人，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值．【解答】解：（1）根据频率分布直方图计算出“体育迷”共计：100×（0.02+0.005）×10=25（名），其中女生：10名；非体育迷：100﹣25=75（名），其中女生为55﹣10=45（名），男生：35名；填入列联表如下；

非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525