2022年天津瀛海学校高三数学理下学期期末试卷含解析

2022年天津瀛海学校高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合A.{l} B.{l，2} C.{0,1,2,3} D.{－1,0,1,2,3}参考答案：B【分析】先求集合B，再求两个集合交集.【详解】因为，所以，因为，所以,所以,故选B.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，侧重考查数学运算的核心素养.2.在等差数列{an}中，Sn为前n项和，，则（

）A.55

B.11

C.50

D.60参考答案：A3.下列四个图中,函数的图象可能是（

）

参考答案：【知识点】函数的图象．L4

【答案解析】C解析：当x＞0时，y＜0，排除A、B两项；当﹣2＜x＜﹣1时，y＞0，排除D项．故选：C．【思路点拨】根据四个选择项判断函数值的符号即可选择正确选项．4.如图，某校一文化墙上的一幅圆形图案的半径为6分米，其内有一边长为1分米的正六边形的小孔，现向该圆形图案内随机地投入一飞镖(飞镖的大小忽略不计)，则该飞镖落在圆形图案的正六边形小孔内的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：B因为圆形图案的面积为，正六边形的面积为，所以该飞镖落在圆形图案的正六边形小孔内的概率为.试题立意：本小题考查几何概型等基础知识；考查数学文化，数据处理，数形结合.5.在等差数列{an}中，前四项之和为20，最后四项之和为60，前n项之和是100，则项数n为（）A．9 B．10 C．11 D．12参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【分析】由题意及等差数列的性质可得4（a1+an）=20+60=80，解得a1+an的值，再利用等差数列的前n项和公式求出项数n的值．【解答】解：由题意及等差数列的性质可得4（a1+an）=20+60=80，∴a1+an=20．∵前n项之和是100=，解得n=10，故选B．6.设变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣y的最大值为（）A．﹣2 B． C．6 D．14参考答案：C【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，6），化目标函数z=3x﹣y为y=3x﹣z，由图可知，当直线y=3x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为6．故选：C．7.设，若，且，则的取值范围是

（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：A略8.已知集合,,则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D因为，．所以，故答案选D．9.定义在R上的函数满足，，且时，则

（

）A． B．1 C．2 D．-2参考答案：A10.现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】分别计算奖票的所有排列情况和第四次活动结束的抽取方法即可．【解答】解：将5张奖票不放回地依次取出共有A=120种不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票．共有3AA=36种取法，∴P==．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若(a＋1)＜(3－2a)，则a的取值范围是__________．参考答案：（，）略12.如图，PB为△ABC外接圆O的切线，BD平分∠PBC，交圆O于D，C，D，P共线．若AB⊥BD，PC⊥PB，PD=1，则圆O的半径是

．参考答案：2【考点】与圆有关的比例线段．【分析】连结AD，由PB为圆O的切线，得∠PBD=∠BCP=∠BAD，结合BD为∠PBC的平分线，可得∠PDB=2∠PBD=60°，在Rt△BPD中，由PD=1，得BD=2，由Rt△ABD与Rt△BPD的内角关系得AD的长度，即得圆O的半径．【解答】解：如右图所示，连结AD，∵PB为圆O的切线，∴∠PBD=∠BCD=∠BAD，∵BD为∠PBC的平分线，∴∠PBD=∠CBD，∴∠PDB=∠CBD+∠BCD=∠PBD+∠PBD=2∠PBD，又∵PC⊥PB，∴∠PBD=∠BCD=∠CBD=∠BAD=30°，∠PDB=60°．由PD=1，得BD=2PD=2．在△ABD中，∵AB⊥BD，∴AD是圆O的直径，且直径AD=2BD=4，∴圆O的半径为2．故答案为：2．13.已知函数f（x）=sin（2ax+）的最小正周期为4π，则正实数a=．参考答案：考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的周期性可得=4π，由此解方程解得a的值．解答：解：∵函数f（x）=sin（2ax+）的最小正周期为4π，∴=4π，解得a=，故答案为．点评：本题主要考查三角函数的周期性和求法，属于中档题．14.函数f（x）=|x2﹣2x+|﹣x+1的零点个数为．参考答案：2考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：构造函数设g（x）=|x2﹣2x+|，k（x）=x﹣1，画出图象，运用图象的交点得出有关函数的零点个数．解答：解：设g（x）=|x2﹣2x+|，k（x）=x﹣1，根据图象得出g（x）与k（x）有2个交点，∴f（x）=|x2﹣2x+|﹣x+1的零点个数为2故答案为：2；点评：本题考查了函数交点问题与函数的零点的问题的关系，数学结合的思想的运用，属于中档题，关键是构造函数，画出图象．15.函数的定义域为

参考答案：答案：16.一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（

）（A）

（B）（C）

（D）参考答案：B17.已知定义在R上的函数，若存在实数a，使得对任意实数x都有成立，则实数k的最小值为

▲

．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知sin（α+）=，α∈（，π）．求：（1）cosα的值；（2）sin（2α﹣）的值．参考答案：【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）利用两角和差公式打开，根据同角三角函数关系式可求cosα的值；（2）根据二倍角公式求出cos2α，sin2α，利用两角和差公式打开，可得sin（2α﹣）的值．【解答】解：（1）sin（α+）=，即sinαcos+cosαsin=，化简：sinα+cosα=…①sin2α+cos2α=1…②．由①②解得cosα=﹣或cosα=∵α∈（，π）．∴cosα=﹣（2）∵α∈（，π）．cosα=﹣∴sinα=，那么：cos2α=1﹣2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=∴sin（2α﹣）=sin2αcos﹣cos2αsin=．19.（本小题满分10分）已知函数．（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围．参考答案：（1）；（2）.20.某校高三文科500名学生参加了3月份的高考模拟考试，学校为了了解高三文科学生的历史、地理学习情况，从500名学生中抽取100名学生的成绩进行统计分析，抽出的100名学生的地理、历史成绩如下表：历史

地理

[80,100][60,80）[40,60）[80,100]8m9[60,80）9n9[40,60）8157若历史成绩在[80,100]区间的占30%，（1）求m,n的值；（2）请根据上面抽出的100名学生地理、历史成绩，填写下面地理、历史成绩的频数分布表：

[80,100][60,80）[40,60）地理

历史

根据频数分布表中的数据估计历史和地理的平均成绩及方差（同一组数据用该组区间的中点值作代表），并估计哪个学科成绩更稳定.参考答案：（1）∵由历史成绩在[80,100]区间的占30%，∴，得，∴.

3分可得

[80,100][60,80）[40,60）地理255025历史304030

从以上计算数据来看，地理学科的成绩更稳定。………………12分21.（本小题满分13分）设函数（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若函数f(x)在x∈[－1，1]内没有极值点，求a的取值范围；

（Ⅲ）若对任意的a∈[3,6]，不等式在x∈[－2,2]上恒成立，求m的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）∵f′(x)=3x2+2ax－a2=3(x－)(x+a),又a>0，∴当x<－a或x>时f′(x)>0；当－a<x<时，f′(x)<0.∴函数f(x)的单调递增区间为（－∞，－a），(，+∞)，单调递减区间为(－a，).(4分）（Ⅱ）由题设可知，方程f′(x)=3x2+2ax－a2=0在[－1，1]上没有实根∴，解得a>3.

（8分）（Ⅲ）∵a∈[3,6]，∴由（Ⅰ）知∈[1，2]，－a≤－3又x∈[－2,2]∴f(x)max=max{f(－2),f(2)}而f(2)－f(－2)=16－4a2<0f(x)max=f(-2)=－8+4a+2a2+m（10分）

又∵f(x)≤1在[－2，2]上恒成立∴f(x)max≤1即－8+4a+2a2+m≤1即m≤9－4a－2a2,在a∈[3，6]上恒成立∵9－4a－2a2的最小值为－87∴m≤－87.

（13分）22.对某交通要道以往的日车流量（单位：万辆）进行统计，得到如下记录：日车流量x0≤x＜55≤x＜1010≤x＜1515≤x＜2020≤x＜25x≥25频率0.050.250.350.250.100将日车流量落入各组的频率视为概率，并假设每天的车流量相互独立．（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日车流量都不低于10万辆且另1天的日车流量低于5万辆的概率；（Ⅱ）用X表示在未来3天时间里日车流量不低于10万辆的天数，求X的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）设A1表示事件“日车流量不低于10万辆”，A2表示事件“日车流量低于5万辆”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日车流量不低于10万辆且另1天车流量低于5万辆”．直接求出概率即可．（Ⅱ）X可能取的值为0，1，2，3，求出相应的概率，写出X的分布列，即可求出E（X）．【解答】解：（Ⅰ