高考数学一轮复习第十三篇推理证明算法复数第1讲 合情推理与演绎

1与演绎推理【2021年高考会这样考】1．从近年来的高考来看，高考对本局部的考察多以选择或者填空题的形式出现，主要考察利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论，试题的难度以低、中档题为主．2．演绎推理主要与立体几何、解析几何、函数与导数等知识结合在一起命制综合题．【复习指导】本讲复习时，要注意做好以下两点：一要联络详细实例，体会和领悟归纳推理、类比推理、演绎推理的原理、内涵及特点，并会用这些方法分析、解决详细问题．二由于归纳、类比、演绎推理思维方式贯穿于高中数学的整个知识体系，所以复习时要有意识地培养逻辑分析等方面的训练．根底梳理合情推理者者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由局部到整体、由个别到一般的推理．的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．演绎推理(1演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论〞是演绎推理的一般形式，包括：①大前提——的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．一条规律在进展类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被外表现象迷惑，否那么，只抓住一点外表现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．两个防范合情推理是从的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．标准性．双基自测1．(A2,5,11,20，x,47，…中的xA．28B．32C．33D．2723B36白色C

黑色D536÷5＝71361A给出以下三个类比结论：①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，那么有(a＋b)n＝an＋bn；②logxy)＝logx＋logy)类比，那么有a a a③(＋)22＋a2)2).其中结论正确的个数是()．A．0B．1C．2D．3解析③正确．答案B＝xxx上面推理的错误在于()．A．大前提错误导致结论错B．小前提错误导致结论错C．推理形式错误导致结论错Da导致结论是错误的．答案A5．(2021·)设函数f(x)＝(x>0)观察：f1f(x))＝，2 1f(x))＝，3 2f(x))＝，……4 3根据以上事实，由归纳推理可得：当N*且≥2时，f()＝f()) .n n－1解析根据题意知，分子都是，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…可知f2n，分母nx2n－1，故f(x)＝.n答案.考向一归纳推理【例1】观察以下等式：可以推测13＋2333＋…＝ (N*，用含有n的代数式表示)．123262102152，与第一列比较可得．1×1,3×3,6×6,10×10,15×15，∵1,3,6,10,15，…第n项an－1na(n≥2)的差为：a－a

＝n，∴a－a＝2，a－a＝3，a－a＝4，…，a－a

＝n，各式相加得，n－1

n

2 1 3 2 4 3

n n－1aa2＋3，其中a＝1，∴a1＋23＋…＋，即a＝，∴(1).n 1 1 n n2＋1)2所谓归纳，就是由特殊到一般，因此在归纳时就要分析所给条件之间的变化规律，从而得到一般结论．【训练1】经过计算和验证有以下正确的不等式：＋＜2，＋＜2，＋＜2，根据以上不等式的规律，请写一个对正实数m，n都成立的条件不等．202，n都成立的条件不等式是：假设，R＋，那么当＋202.，R＋，那么当＋＝20＋＜2考向二类比推理2在平面几何里，有“假设△ABC，内切圆半径为，那么三角形面积为S〞，拓展到空间，类比上述结论，“假设四面体ABCD的四个面的面积分别为S，S，S，△ABC 1 2 3S，内切球的半径为那么四面体的体积〞．4[审题视点]注意发现其中的规律总结出一共性加以推广，或者将结论类比到其他方面，得出结论．解析三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中类比为三维图形中的，得V ＝(S＋S＋S＋S四面体ABCD 1 2 3 4答案V ＝(S＋S＋S＋S四面体ABCD 1 2 3 4类比出新的结果；(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；(3)类比的结果是猜想性的，不一定可靠，但它却有发现的功能．2】aa，a＜，Na＝b}(b＞0N)n m n n n为等比数列，且b＝b＜，N)，假设类比上述结论，那么可得到b＝ .m n 答案a·考向三演绎推理3】数列{a}的前n项和记为S，a＝1，a＝S(n∈N)．证明：n n 1 n ＋(1)数列是等比数列；(2)S＝4a.n[审题视点]在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．大前提通常略不写，或者者写在结论后面的括号内，小前提有时也可以略，而采取某种简明的推理形式．证明(1)∵a

＝S－S，a

＝S，n＋1

n n∴(n＋2)S－S)，即nS＝2(n＋1)S.n n n＋1 n∴＝2·，(小前提)21(大前提是等比数列的定义，这里略了)(1)可知＝4·(n≥2)，∴S＝4(n＋1)·＝4··Sn＋1 ＝4a(n≥2)，(小前提)na＝3S＝3，S＝a＋a＝1＋3＝4＝4a，(小前提)2 1 2 1 2 1S＝4an＋1 n(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的条件)演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，假设前提是显然的，那么可以略．【训练3】函数f(x)＝(x∈R)．断定函数断定函数R上的单调性，并证明．解(1)对有－x∈R，并且f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，所以)法一R上单调递增，证明如下：x，x∈R，并且x＞x，1 2 1 2f(x)＝－1 2＝＝.∵x＞x，∴2x＞2x＞0，1 2 1 22x－2x＞0，又∵2x＋1＞0,2x＋1＞0.1 2 1 2∴＞0.∴f(x)．1 2RR上为单调递增函数．难点打破25——高考中归纳推理与类比推理问题的求解策略从近两年高考试题可以看出高考对归纳推理与类比推理的考察主要以填空题的形式出现，难度为中等，常常以不等式、立体几何、解析几何、函数、数列等为载体来考察归纳推理与类比推理．一、归纳推理【例如】(2021·