四年级计算等差数列教师版

第3项、……、第n项、…… 数列的一般形式可以写成：a1、a2、a3、……、an、……；其中an是数列的第n项；这数列可以简记作{an（n为正整数 如果一个数列{an}，从第2项起的每一项an与它的前一项an1的差等于同一个常数，这个 等差数列的通 ：等差数列{an}中，第n项首项（项数1）公差，ana1n1ddna1d（n为正整数 ：项数（末项首项）公差1，即n(ana1)d1（n为正整数：等差数列{an中，和（首项末项）项数2S(a1annannn1ddn2adn（n为正整数n212212 a1a2……anSna1an，Snn2 2十一、123n1nnn1)（n为正整数2十二、1352n32n1n2（n为正整数十三、123321n2（n为正整数【例16、10、14、1822、……；数列二：12、12、34、5、……、99、100数列三：124、8、16、32、649、8、7、6、54、32、12010201020102010201020102010数列六：1、0、1、0、1、0、1、0、1数列七：1124、37、……、179、1922054因为2112a2a1a3a2；所以数列二不是等差数列；2142a2a1a3a2；所以数列三不是等差数列；数列四是等差数列，公差为1；数列五是等差数列，公差为0因为0110a2a1a3a2；所以数列六不是等差数列；假设数列七是等差数列，则公差为241113，【例2 2k 命题一：如果数列{a}为等差数列，那么数列{a }为等差数列（n,kZ）命题二：如果数列{a}为等差数列，那么数列{a}为等差数列（n, 2k 2k 命题三：如果数列{a}中 }、{a}均为等差数列，那么数列{a}为等差数列（ 2k mk命题四：如果数列{a}为等差数列，那么数列{a }为等差数列（n,k,m,lZ，m、l为常数，且m mk【分析】命题一为真命题。若等差数列{an的公差为d，则数列{a2k1是公差为2d命题二为真命题。若等差数列{an的公差为d，则数列{a2k是公差为2d等差数列。命题三为假命题。数列2、14、3、6、5，奇数项为24、6是等差数列，偶数项为1、3、5是等差数列，但原数列不是等差数列。命题四为真命题。若等差数列{an的公差为d，则数列{a2k}是公差为md等差数列。【例3】（2008年第六届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学 级初赛）(123 200720082007 321)2008。【分析】原式5.5515.1520.565【例5】计算

2 31990 1990【考点】等差数列计算 【难度】3 【解析】原式123 (11990)199029952【例6】计算：200920082007 200920082007200900……01【例7】计算：1000999998997 。【分析】（方法一）100099999822103300 （方法二）1000999998(998995……104101)2（方法三）1000999998100019971 2【例8（1995年吉林省“金翅杯”竞赛）5个连续自然数的和是35，求这5【分析】（方法一）设这5n（nN这5个连续自然数的和为n(n1)(n2)(n3) 所以这5个连续自然数中最小的数n(3510)55；所以这5个连续自然数从小到大依次为5、6、7、8、9（方法二）中间数（从小到大第3个数）为3557所以这5个连续自然数从小到大依次为5、6、7、8、9【分析】中间数（从小到大第9个数）为200617所以这17个连续偶数中最小的是118912102【例10】（1）72个数与第6个数的和是36（【分析】（1）中间数（从小到大第4个数）为36218；所以最小的偶数为18412（2）226162【例11】在1~100这100个自然数中，所有能被9【分析】在1~100这100个自然数中，能被9整除的自然数依次为9、1827、……、98、9991827……9899即在1~100这100个自然数中，所有能被9整除的自然数的和为594【例12】在不大于100自然数中，所有不能被9【分析】在不大于100的自然书中，能被9整除的自然数依次为0、9、1827、……、98、99091827……980123……98所以在不大于100的自然数中，所有不能被9整除的自然数的和为50505944456【例13】在1~2002004整除或被11【分析】在1~200200个自然数中，能被4整除的自然数依次为4、8、12、……、1962004812……196200在1~200200个自然数中，能被11整除的自然数依次为1122、33、……、187、19811223……187在1~200200个自然数中，既能被4整除又能被11即能被[4,114444、88、132、1764488132176(44176)在1~200200个自然数中，所有能被4整除或能被11 8814406541【例14】求1~100这1004以后能被5【分析】（方法一）4之后能被5整除的数也就是被5除余11~100的自然数被5除余1的数依次为1、6、11、……、91、这是一个首项为1，公差为5所以1~100这1004以后能被5整除的数之和为970（方法二）5~104所有自然数能被5整除依次为5、10、15、……、95、51015……95100所以1~100这1004以后能被5整除的数之和为1050204970【例】有一数列1、 、1、2007、2006、1、2005、2004、1、……，从第3个数起， 【分析】将这个数列分组如下（1、 、 （1（1，……20093 2，最后一个数为第670组的第2每一组的第2个数构成公差为2的等差数列，末项为20096701(2)这个数列前 项的和为(6712009)

2或每一组的第1、3个数的和等于这组的第2前670组的和为(20092007这个数列前2009项的和为 1794930，，n（nZnn(nnn(n2n(n1)1300n(n1)nn(n12600n(n 因为50512550、51522652n50因为4952 2650；所以n≥50n50所以这个多加一次的数为130050501)252，，n（nZnn(nnn(n2n(n1)n≤2009n(n n(n14018n(n因为62633906、63644032n63因为62633906、63644032n63；n63。63631)200972【例18】盒子里放有3只乒乓球，一位魔术师第1次从盒子里拿出一只球，将它变成3【分析】一只球变成3只球，实际上多了2第121222只球，……，第10次多了210最后盒子里有32122……210312……1023(1101021132【例19】（2008年第七届“小机灵杯”数学竞赛三年级初赛）有若干根长度相等的火柴棒，把这些火柴摆成如图所示的图形。照这样摆下去，到第10行为止一共用了 【分析】从上往下看看，分别数一下每次用了多少根火柴棒，来找出规律：到第1行为止需要112根竖放的火柴；到第2行为止需要12223到第3行为止需要1233234到第10行为止需要123 91010(110)101065根横放的火柴223 1011(21110652所以到第10行为止一共用了6565130到第n行为止需要123 (n1)nn(1n)nnn(n3)根横放的火柴 23 nn1[2n1)]nn(n3 nn(n3)n(n3)n(n3根火柴（nZ 【例20】（2008年“数学解题能力展示”读者评选活动中年级组复赛）将一些同样大小的正方十次，那么它用了正方形纸片个。 图 【分析】从上往下看或从左往右看，分别数一下每次用的正方形纸片的个数，来找出规律：第1次用了正方形纸片1个，第2次用了正方形纸片131个，第3次用了正方形纸片13531个，……，第103151719171513119753第n次用了正方形纸片135 (2n1) 5312n22n1个（nZ共有8层，请问最大三角形的面积是多少平方厘米？整个图形由多少根火柴棍摆成？【分析】从上往下看看，分别数一下前几层有多少个三角形，用了多少根火柴棒，来找出规律：最上面1层有1个三角形，用了21根火柴棒；最上面2层有13个三角形，用了(2412最上面3层有135个三角形，用了(246123最上面8层有13579111315[(15121]28264用了(246810121416123567(12356783(18831082最上面n层有13 (2n1)n2个三角形用最大三角形的面积是6412768平方厘米；整个图形由108【例22】（2008年第七届“小机灵杯”数学竞赛四年级初赛）有若干根长度相等的火柴棒，把这些火柴棒摆成下面的图形，照这样摆下去，摆到第10个图，一共用了 【分析】从上往下看看，分别数一下每次用了多少根火柴棒，来找出规律：摆到第1个图需要121个小线段；摆到第2个图需要12343摆到第3个图需要1234565摆到第10个图需要123 2019摆到第n个图需要123 (2n1)2n 个小线段（nZ角阵：第1列为1；第2列为2、3、4；第3列为5、6、7、8、9；……。每一列比前一列多“ …526137489…【分析】第1列的最后一个数为1122列的最后一个数为422、第3列的最后一个数为932、……、第nn2；第1列有11212列有3221个数、第3列有5321个数、……第n列有n21个数；所以在以1nn2[(n2112n2n1在以1开头的行中，第2008个数是20082 4030057【例24】正整数数列按图中排成一个数阵，自上至下第1行有12335个（1少？（2）2009排在第几行第几列？123567810 1415【分析】前9行一共有135 (921)9281个数，它们的和为(181)8133212前10行一共有135 (1021)102100个数，它们的和为(1100)10050502自上至下第10行中所有数的和为505033211729前n行一共有135 (n21)n2个数（nZ因为4421936，4522025，2009193673；所以200945行第73第1第2第3第4第5第1125第2436第3987第4第5m为数表中的一个数（mZmn2mn行、第1列（nZmn1)21m在第1n列（nZmn2mn（mnZ当(n1)2mn2mnn列（mnZnn

[(n1)21]2

（nZ当(n

m

[(n1)21]2

mn当[(n1)212

mn2mn行（mnZ当(n

m

[(n1)21]2

mnmn1)2当[(n1)212

mn2mnn2m1列（mnZ2 2 ，(4421)

∵1981≤2009≤2025∴2009在45行、第2009117列与第80列交错位置上的数是 1→2↓9↑→↓4↓←38↑↓5→6→7↓↓←←←→→→2行、第1224，第4行、第1列上的数为4216第80行、第1列上的数为802所以，第80行、第80列交错位置上的数为 08016321。当n2k1时（kN，第1行、第n列上的数为n2；nnn2n1；n2k时（kNn行、第1列上的数为n2nnn2n1 2468 100 【分析】（方法一）2468……100(2100[(100221]2（方法二）2468……1001234……50(150)[(501)11]22 （2005年第三届小学“希望杯 12 891098 21 12……891098……21102 （1）5个连续自然数的和是280，求这5自然数的中间及最小自然数（2）172295（3）6个连续偶数的和为54，求这6【分析】（1）中间数（第3个数）为2805最小自然数为56311（2（方法一）设这17n（nN这17nn2n4……n3217n2722295；所以这17个连续自然数中最大的数为n(2295272)17151。（方法二）中间数（从小到大第9个数）为229517135所以这17个连续自然数中最大的数1351792151（3（方法一）设这6n（nN这6nn2n4n6n8n106n3054；所以这6n543064；所以这64、6、8、10、12、14（方法二）2个数（从小到大第34个数）的和为5462182个数分别为8、10所以这64、6、8、10、12、14 所以7个盒子中至少有1234567(17728227【练习5 （1（1997年市数学竞赛）6个连续自然数的和是63，求这6个数（2（2006年第四届小学“希望杯”数学邀请赛）4个连续奇数之和是2008，（3（市第四届“迎春杯”决赛）把1988表示成28个连续偶数的和，那么其中最大的【分析】（1（方法一）设这6n（nN这6nn1n2n3n4n56n1563；所以这6n(6315)68；所以这6个连续自然数从小到大依次为8、9、10、11、12、13（方法二）中间两个数的和为6362212个数分别为10、所以这6个连续自然数从小到大依次为8、9、10、11、12、13（2（方法一）设这4n（nZ4nn2n4n64n1220084n2008124499（方法二）2个数（2、3个数）的和为20084210042个数分别为501、503；所以这4个连续奇数中最小的数499（3（方法一）28n（nZ28nn2n4……n52n5428n7561988；（方法二）2个数的和为19882821422个数（从小到大第14、15个数）分别为70、7228个连续偶数中最大的数702814298或722815298 （1（第七届“杯”邀请赛）3个连续奇数的和比其中最小的数多28，这3个数中最（，3个数与第742，这7【分析】（1）328，即相邻228所以这3个数中最大的是(282215（2（方法一）第7个数比第3个数大(7328第3个数为(428217，第7个数为4217或第7个数为(428225，第3个数为422517所以这7个连续的奇数分别为13、15、17、19212325（方法二）第542221所以这7个连续的奇数分别为13、15、17、19212325 8个人的各不相同，之和是109岁，其中最大的人是18岁，请问最小的人【分析】只要是其他人的尽可能大，就能使最小数尽可能小因为最大是18岁，所以余下的6个人的依次取17、16、15、14、13、所以，最小的人至少为109(18171615 岁 求1~100这100个自然数中，所有加4以后能被5整除的数之和【分析】（方法一）4之后能被5整除的数也就是被5除余1~100的自然数被5除余1的数依次为1、6、11、……、91、这是一个首项为1，公差为566所以1~100这1004以后能被5整除的数之和为970（方法二）5~104所有自然数能被5整除依次为5、10、15、……、95、51015……95100所以1~100这1004以后能被5整除的数之和为1050204970【练习9】（2004年第二届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学趣味数学解题技能展示大赛四年级）25个同样大小的等边三角形拼成了大等边三角形，在图中每个结点处都标置的数分别是100200、300。求所有结点上数的总和。

从100到300200200所以这12345621200所有结点上数的总和为200214200 （1999年江苏省南通市小学数学竞赛试题）312，1、2是连续的自然数。10以内的9个【分析】第1类：将奇数拆成相邻2312、523、734、945第2类：将3的倍数拆成相邻36123、9234因为123410，所以不可能将1~9这9个自然数拆成4个或43 8567892

，有3【补充2】设沿路每隔3米立一根桩共立2009根桩全部桩都放在桩位要把它们搬到各个桩位，但每次只能搬运一根请问总共要走多少路（最初自桩出发最后又返回原来位置的距离）？从桩开始，把所有桩搬到各个桩位，再返回到桩，一共走了{616263米【补充3】（1996年第一届汉城国际数学竞赛小学组第一试）有奇数块石头，沿直线每隔1一块。人用这样的办法搬石头，除了中间的石头以外，把其余的石头向中间集中，走了300米。问：一【分析】设一共放了2n1块石头（nNnk块石头（1knkN，需要走2k从中间石头开始把所有石头集中在当中一共走了(212223… 从最右边的石头开始，把所有石头集中在当中一共走了2n(n1)nn(2n1)米；因为300223521225n122n12525 （第七届“杯”邀请赛）7个连续的自然数，最大的2个数的和比最小的数大1997，【分析】最大的数比最小的数大(7116，所以第2大的数（从小到大第6数）为19976所以中间数（4数）为199164119892大的数比最小的数大(6115，所以最大的数（从小到大第7数）为199751992所以中间数（4数）为1992741 个数的积的差是114，那么这322最大的数与最小的数的差为21142573个数中最小的数为57156 （2004年第十三届“杯”邀请赛/《小学生数学报》邀请赛）有3个连续的两位自然数，它们的和也是两位自然数，并且和是23的倍数，这3个自然数分别是多少？3个连续的两位自然数的和为中间数的3倍，即为3又因为这323的倍数；[32369这3个连续的两位自然数的和为两位自然数；所以这3个连续的两位自