《全称量词和存在量词》同步

全程量词和存在量词1含有量词的命题2含量词命题的否定目录CONTENTS3习题1.24数学文化5小结与复习一

含有量词的命题一含有量词的命题前面看到，像x>0这样带有不确定变量的语句不是命题．但如果加上一个约束，例如“对每一个实数x有x>0”或者“有一个实数x使x>0”，它们就是命题了．前者假而后者真，有了真假就是命题．这里的“每一个”和“有一个”叫作量词，两者分别叫作全称量词和存在量词．涉及量词的命题必须指出量词的作用范围，说明“每一个”是哪个集合中的每一个，“有一个”是在哪个集合中有一个．一含有量词的命题

一含有量词的命题全称量词和存在量词不但在数学里经常被使用，在日常生活中也经常被使用．例如，市场上卖鸡蛋的老太太说：“我篮子里的每一个鸡蛋都是好的．”老太太表述了一个含有全称量词的命题．“每一个”是全称量词，并且指出了全称量词“每一个”的作用范围是“我篮子里的鸡蛋”，不是市场上的所有鸡蛋．一含有量词的命题

例6一含有量词的命题一含有量词的命题

例7一含有量词的命题

一含有量词的命题一含有量词的命题

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含量词命题的否定二含量词命题的否定如何对含有量词的命题进行否定呢？先看下面两个例子：

(1)这个篮子里的鸡蛋都是好的；

(2)存在实数x，使得x2－3x－5=0.命题(1)的否定为“这个篮子里的鸡蛋并非都是好的”，换言之，“这个篮子里有鸡蛋是坏的”．命题否定后，全称量词变为存在量词，“肯定”变为“否定”．命题(2)的否定为“不存在实数x，使得x2－3x－5=0”，即“对所有的实数x，x2－3x－5≠0”．命题否定后，存在量词变为全称量词，“肯定”变为“否定”．二含量词命题的否定

二含量词命题的否定要注意的是，在很多情形下，全称量词习惯上常常被省略．例如“三角形的任意两边之和大于第三边”“平行四边形对角线互相平分”“直角三角形斜边的平方等于两直角边平方之和”等，这里分别指的是任意三角形、任意平行四边形和任意直角三角形.平方差公式a2－b2=(a+b)(a－b)中，a和b指的是任意两个实数．存在量词则不能省略，它常常用一个“有”字来表达，例如“一元二次方程的判别式非负时必有实根”“三角形必有外接圆”等等．二含量词命题的否定

例8二含量词命题的否定

例9二含量词命题的否定

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习题1.2三习题1.2学而时习之

1.判断下列命题的真假，并说明理由：

(1)菱形的两条对角线相等；

(2)末位是5的整数可以被5整除；

(3)x=5是方程x2－4x－5=0的根；

(4)设a是整数，若a是2的倍数，则a3是16的倍数；

(5)设a，b，c为任意实数，若a=b，则ac=bc；

(6)到圆心的距离等于该圆半径的直线是圆的切线．三习题1.2

2.写出下列命题的否定，并判断其真假．

(1)p：若△ABC三条边的长分别为5，12，13，则△ABC是直角三角形；

(2)q：面积相等的三角形都是全等三角形；

(3)r：一元二次方程至多有两个解；

(4)s：若xy=0，则x=0或y=0．

3.判断下列命题的真假，并说明理由：

(1)“a>b”是“ac2>bc2”的充分条件；

(2)“x2≠1”是“x≠1”的必要条件；

(3)“四边形为正方形”是“四边形为矩形”的充分而不必要条件；

(4)“a>b”是“a+c＞b+c”的充要条件；

(5)“x=1”是“(x－1)(x－2)=0”的充要条件；

(6)“x∈A∩B”的充要条件是“x∈A”．三习题1.2

4.从“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”与“既不充分又不必要条件”中选出适当的一种填空：

(1)“a－1>0”是“a>1”的

；

(2)“a>0，b>0”是“a+b>1”的

；

(3)“两个角是对顶角”是“两个角相等”的

；

(4)设a，b，c都是实数，“a+b+c=0”是“x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根”的

．

5.设a，b∈R，下面式子中哪个是哪个的充分条件，哪个是哪个的必要条件？

(1)ab=0；(2)a2+b2=0；

(3)a2+b2>0；(4)a=0；

(5)ab<0；

(6)b≠0．三习题1.2

三习题1.2

三习题1.2上下而求索

10.参考1.2.2节的例3，梳理初中学过的数学知识中有哪些可以用充分必要条件来表述．返回目录四

数学文化四数学文化从德·摩根到康托尔：逻辑与集合德•摩根(1806—1871)是英国数学家和逻辑学家.他在微积分、代数、数学史及逻辑学等方面有重要的贡献．在代数学方面，他认为：“代数学实际上是一系列‘运算’，这种‘运算’能在任何符号(不一定是数字)的集合上，根据一定的公式来进行．”这样看问题，实际上是把代数放在集合的基础之上了．德·摩根在逻辑学方面，他发展了一套适合推理的符号，提出了论域概念，并以代数的方法研究逻辑的演算．他认为，研究逻辑推理，先要有所讨论的一些基本对象，这些对象组成了“论域”．论域本质上也就是集合．这样，实际上是把逻辑学也放到集合的基础之上了．四数学文化

四数学文化

四数学文化集合论的创立者，是德国数学家康托尔(1845—1918)．康托尔的集合理论中最精彩的部分，是比较两个无穷集合元素多少的理论与方法．长期以来，哲学家和科学家们都认为无穷多和无穷多无法比较多少．物理学家伽利略还具体思考过自然数多还是完全平方数多的问题．

康托尔直观地看，自然数多．但是每个自然数的右肩膀上标注一个小小的“2”，就成了完全平方数，这不是表明它们一样多吗？伽利略由此认为，无穷和无穷确实无法比较．四数学文化康托尔29岁(1874)时发表了关于集合论的第一篇论文，提出了比较无穷集合大小的基本概念和方法，引起了数学界的极大关注．康托尔通过深入思考，抓住了问题的要害．问题是要比较无穷之间的大小，要比较就要有个标准：什么叫大，什么叫小，什么叫一样多？标准由人来制定，但不能随心所欲，要订得合理，订得符合实际，订得能够自圆其说，道理讲得通．这就要参考我们的实际经验．比较无穷集大小，我们没有经验．而对于有穷集的比较，是有办法的．大厅里有许多人，还有许多椅子，人多还是椅子多，可以数一数．更痛快的办法，是请大家就座．

一个人只能坐一把椅子，一把椅子也只能坐一个人．如果没有椅子空着，又没有人站着，就可以肯定椅子和人一样多．这叫作建立两个集合之间的“一一对应”．四数学文化其实所谓的“数一数”，也是一一对应的办法．数椅子时，指着一把椅子说1，再指着另一把说2，就是把椅子编了号码，也就是把椅子的集合和前若干个正整数组成的集合建立了一一对应．因此，比较两个有穷集合的大小，我们只有一种办法，就是看能不能建立一一对应，能建立一一对应，就是一样多．这是人类认识数量关系的最基本的办法，也是最古老的办法．于是，比较无穷集的元素多少，也只有用这种办法．不管是有穷还是无穷，只要能够在A和B两个集合的元素之间建立某种一一对应的关系，就应当承认A和B两个集合的元素一样多．如果A和B的某个子集能建立一一对应，但B不能和A的任何子集建立一一对应，就应当承认B比A的元素多．这就是康托尔提出的观点，也是现代数学界公认的观点．四数学文化按照这样的观点，自然数就和完全平方数一样多，因为两个集合之间可以建立一一对应．但是如何解释完全平方数仅仅是自然数的一小部分这个事实呢？这没有难倒康托尔．他主张既然有了定义，就按定义办事，不能因为出现了某些不符合习惯思维的现象而动摇．对于有穷集，整体比部分多；对于无穷集，整体完全可能和它的某些部分一样多．这正是无穷集与有穷集的不同之处．进一步思考，这可以作为无穷集的定义！什么叫无穷集？可以和自己的某个真子集建立一一对应的集合就叫无穷集．这样的定义跳出了“无穷就是取之不尽，就是非有穷，就是没完没了……”这种同语反复的圈子．这是更合理的定义．四数学文化按此定义，康托尔证明了一批令人难以置信的结论：有理数和自然数一样多，线段上的点和直线上的点一样多；直线上的点和平面上的点一样多，也和空间的点一样多．

是不是所有无穷集的元素都一样多呢？康托尔证明，区间(0，1］上的实数比自然数多，即一条线段上的点的个数要比自然数多．也就是说，不可能把一条线段上的所有点像自然数那样一个接一个地排成一条无穷的长龙！但有理数可以．这说明无理数比有理数要多．这确实是一个重大发现．四数学文化为了叙述康托尔的论证,先将区间(0，1］中每个实数x用无穷小数0.a1a2a3…表示．由于x≠0，各位数字a1，a2，…不全为0．如x=1写成1=0.99999….为了避免不同数字组成同一个无穷小数的情况，如0.50000…=0.49999…，约定将有限小数都写成有无穷多个非零数字的无穷小数，如0.105=0.104999….假定区间(0，1］中的实数能够像自然数那样一个接一个排成无穷的长龙A1，A2，…，An，…，我们证明：区间(0，1］中一定能找到实数B=0.b1b2…bn…与排进去的所有的数An都不同，这就能说明区间(0，1］中的实数不可能全部装进一条无穷的长龙．

四数学文化怎样找到这样的B与所有的A1，A2，…，An，…都不同?我们选B的小数部分所有数字bn都不为0，并且B与每个An至少有一位数字不同．比如，选B的小数第1位b1与A1=0.a11a12…的小数第1位a11不同，B的小数第2位b2与A2=0.a21a22…的小数第2位a22不同．一般地，选B的小数第n位bn与An=0.an1…ann…的小数第n位ann不同．比如，当ann=2时取bn=3，当ann≠2时取bn=2．这就得到一个B与排进长龙A1，A2，…，An，…中的所有的实数都不同，从而证明了无论哪一条长龙都不能将区间(0，1］中的实数全部容纳进去．四数学文化康托尔的工作给数学发展带来了一场革命．由于他的理论超越直观，所以曾受到当时一些大数学家的反对，著名数学家庞加莱和康托尔的老师克罗内克都对康托尔进行非难和指责．双方争辩持续了十年之久．康托尔由于经常处于精神压抑之中，1884年患了精神分裂症，1918年在精神病院逝世．更多卓越的数学家支持康托尔．1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认．大数学家希尔伯特大声疾呼，“没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶走”；著名哲学家和数学家罗素称康托尔的工作为“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”．四数学文化现代数学的发展表明，康托尔的集合论在人类认识史上第一次从本质上揭示了无穷的特性，使无穷的概念发生了革命性的变化，并渗透到所有的数学分支，也给逻辑学和哲学带来了深远的影响．返回目录五

小结与复习五小结与复习一、知识结构图集合常用逻辑用语集合与元素集合的表示法集合之间的关系集合的基本运算交集、并集、补集真命题、假命题命题的否定命题充分条件、必要条件、充要条件全称量词和存在量词（含否定）表达五小结与复习二、回顾与思考

1.集合是现代数学的基本概念．用集合的语言和符号表述数学事实，比起自然语言来更为严谨和简洁，而且世界通用．试结合生活中、数学中以及其他学科中的集合实例，用集合语言来描述它们，并交流用集合语言来表达的优势．

2.集合的基本概念，可以浓缩为一个符号“∈”，有关集合的其他概念和符号都可以用符号∈来刻画．试结合集合的包含关系和集合的交、并、补运算，体会如何用∈来刻画这些关系与运算．

3.集合是数学的基本概念．数学概念之间的关系，需要用逻辑用语来表达．学习常用逻辑用语可以更深刻地理解数学内容，更严密地进行数学推理以及更正确地表达数学思想．五小结与复习

4.举例说明什么叫作命题，如何对一个命题作否定？

5.数学中的大量命题具有“若p，则q”的形式，试通过对这些命题的梳理，说明充分条件、必要条件以及充要条件的意义．

6.当陈述语句中涉及不确定的对象时，其真假往往难以确定．使用全称量词和存在量词可以对不确定的对象进行约束，从而使语句具有确定的真假．试结合实例讨论，如何对含有量词的命题判断其真假，如何对含有一个量词的命题进行否定？五小结与复习复习题一学而时习之

1.记E为平面上所有点组成的集合并且A∈E，B∈E，说明下列集合的几何意义：

(1){P∈E|PA<5}；(2){P∈E|PA=PB}．

2.用描述法写出下面这些区间的含义：［－2，7］；［a，b)；(123，+∞)；(－∞，－9］．

3.设集合A={2，3，a2+4a+2}，集合B={0，7，a2+4a－2，2－a}，这里a是某个正数，且7∈A，求集合B．五小结与复习

4.已知集合A={x|x是平行四边形}，B={x|x是矩形}，C={x|x是正方形}，D={x|x是菱形}，求集合A，B，C，D之间的关系．

5.已知全集为U，集合A，B，C都是U的子集，用集合U，A，B，C表示图中的阴影部分．（第5题）五小结与复习

6.判断下列命题的真假：

(1)a=b是|a|=|b|的必要条件；

(2)a>b是a2>b2的充分条件；

(3)两个三角形的两组对应角分别相等是两个三角形相似的充要条件；

(4)(2x－1)x=0是x=0的充分而不必要条件．

7.下列命题中，哪些命题是“四边形是正方形”的充分条件？

(1)对角线相等的菱形；(2)对角线互相垂直的矩形；

(3)对角线相等的平行四边形；(4)有一个角是直角的菱形．五小结与复习

8.