湖南省长沙市湖南大学附属中学 2022年高一数学理期末试题含解析

湖南省长沙市湖南大学附属中学2022年高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设全集U=｛1，2，3，4，5｝，集合A=｛1，2｝，B=｛2，3｝，则A∩(CUB)

（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C2.若sin2α<0，且tanα·cosα<0，则角α在

（

）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：D3.已知，则

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略4.设，，，则a，b，c的大小关系为（

）A.c＜a＜b

（B）c＜b＜a

（C）a＜b＜c(D)a＜c＜b参考答案：A5.二次函数（）的值域为（

）A．[－2,6]

B．[－3,+∞)

C．[－3,6]

D．[－3,－2]参考答案：A二次函数的对称轴为，开口向上，所以函数在[3,5]单调递增，所以当时取得函数最小值－2，当时取得函数最大值6，所以值域为[－2,6],故选A.

6.已知两点M（－2，0），N（2，0），点P满足=12，则点P的轨迹方程为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B7.下列各组函数中表示同一函数的是

（

）①与；②与；③与；④与.A．①②

B．②③

C．③④

D．①④参考答案：C8.如果实数x、y满足x2+（y﹣3）2=1，那么的取值范围是（）A．[2，+∞） B．（﹣∞，﹣2] C．[﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）参考答案：C【考点】简单线性规划的应用．【分析】由题意可得表示以（0，3）为圆心1为半径的圆上的点和原点连线的斜率k，由直线和圆的位置关系数形结合可得．【解答】解：∵实数x、y满足x2+（y﹣3）2=1，∴表示以（0，3）为圆心1为半径的圆上的点和原点连线的斜率k，当直线与圆相切时，联立x2+（y﹣3）2=1和y=kx消去y并整理可得（1+k2）x2﹣6kx+8=0，由△=36k2﹣32（1+k2）=0可解得k=±2，故的取值范围是[﹣2，2]，故选：C．9.若等差数列满足，则当的前n项和最大时n的值为（

）A.7

B.8

C.9

D.10参考答案：B10.已知数列{an}满足an+1+an=n，若a1=1，则a8﹣a4=(

) A．﹣1 B．1 C．2 D．4参考答案：C考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由数列递推式得到an+an﹣1=n﹣1（n≥2），和原递推式作差后得到an+1﹣an﹣1=1，由已知求出a2，则依次可求得a4，a6，a8，则答案可求．解答： 解：由an+1+an=n，得an+an﹣1=n﹣1（n≥2），两式作差得：an+1﹣an﹣1=1（n≥2），由a1=1，且an+1+an=n，得a2=﹣a1+1=0．则a4=a2+1=1，a6=a4+1=2，a8=a6+1=1+2=3，∴a8﹣a4=3﹣1=2．故选：C．点评：本题考查了数列递推式，解答的关键是由已知递推式得到n取n﹣1时的递推式，作差后得到数列的项之间的关系，属中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数的部分图像如下图所示：则函数的解析式为

.

参考答案：略12.如图，在△

ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=a，作斜边AB边中线CD，得到第一个三角形ACD；DE⊥BC于点E，作Rt△BDE斜边DB上中线EF，得到第二个三角形DEF；依此作下去-----则第4个三角形的面积等于______．参考答案：或

13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则_______．参考答案：9【分析】先由题意，得到，求出，再由等差数列的性质，即可得出结果.【详解】因为等差数列的前项和为，若，则，所以，因此.故答案为：9【点睛】本题主要考查等差数列的性质的应用，熟记等差数列的求和公式，以及等差数列的性质即可，属于常考题型.14.若函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|的最小值为5，则实数a=．参考答案：4或﹣6【考点】绝对值三角不等式．【分析】函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|的几何意义是点x与点﹣1的距离及点x与点a的距离之和，从而解得．【解答】解：∵函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|的几何意义是：点x与点﹣1的距离及点x与点a的距离之和，故函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|的最小值为|1+a|=5，故a=4或﹣6，故答案为：4或﹣6．【点评】本题考查了学生对于绝对值的理解掌握情况，同时考查了数形结合的思想应用．15.设函数f（x）=，则f（2）=

．参考答案：19【考点】函数的值．【分析】根据定义域范围代值计算即可．【解答】解：函数f（x）=，∵2＜6，∴f（2）=f（2+3）=f（5）；又5＜6，∴f（5）=f（5+3）=f（8）；8＞6，∴f（8）=3×8﹣5=19．所以得f（2）=19．故答案为：19．16.如图：函数与函数y=2的图像围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是__________。参考答案：略17.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′=3，B′C′=2，则AB边上的中线的实际长度为．参考答案：【考点】斜二测法画直观图．【分析】由已知中直观图中线段的长，可分析出△ABC实际为一个直角边长分别为3，4的直角三角形，进而根据勾股定理求出斜边，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．【解答】解：∵直观图中A′C′=3，B′C′=2，∴Rt△ABC中，AC=3，BC=4由勾股定理可得AB=5则AB边上的中线的实际长度为故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0时，有（Ⅰ）证明f（x）在[﹣1，1]上是增函数；（Ⅱ）解不等式f（x2﹣1）+f（3﹣3x）＜0（Ⅲ）若f（x）≤t2﹣2at+1对?x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）任取﹣1≤x1＜x2≤1，则，∵﹣1≤x1＜x2≤1，∴x1+（﹣x2）≠0，由已知，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在[﹣1，1]上是增函数；（Ⅱ）∵f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且在[﹣1，1]上是增函数，∴不等式化为f（x2﹣1）＜f（3x﹣3），∴，解得；（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）在[﹣1，1]上是增函数，∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值为f（1）=1，要使f（x）≤t2﹣2at+1对?x∈[﹣1，1]恒成立，只要t2﹣2at+1≥1?t2﹣2at≥0，设g（a）=t2﹣2at，对?a∈[﹣1，1]，g（a）≥0恒成立，∴，∴t≥2或t≤﹣2或t=0考点：奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）任取﹣1≤x1＜x2≤1，则，由已知，可比较f（x1）与f（x2）的大小，由单调性的定义可作出判断；（Ⅱ）利用函数的奇偶性可把不等式化为f（x2﹣1）＜f（3x﹣3），在由单调性得x2﹣1＜3x﹣3，还要考虑定义域；（Ⅲ）要使f（x）≤t2﹣2at+1对?x∈[﹣1，1]恒成立，只要f（x）max≤t2﹣2at+1，由f（x）在[﹣1，1]上是增函数易求f（x）max，再利用关于a的一次函数性质可得不等式组，保证对a∈[﹣1，1]恒成立；解答：解：（Ⅰ）任取﹣1≤x1＜x2≤1，则，∵﹣1≤x1＜x2≤1，∴x1+（﹣x2）≠0，由已知，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在[﹣1，1]上是增函数；（Ⅱ）∵f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且在[﹣1，1]上是增函数，∴不等式化为f（x2﹣1）＜f（3x﹣3），∴，解得；（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）在[﹣1，1]上是增函数，∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值为f（1）=1，要使f（x）≤t2﹣2at+1对?x∈[﹣1，1]恒成立，只要t2﹣2at+1≥1?t2﹣2at≥0，设g（a）=t2﹣2at，对?a∈[﹣1，1]，g（a）≥0恒成立，∴，∴t≥2或t≤﹣2或t=0．点评：本题考查抽象函数的单调性、奇偶性，考查抽象不等式的求解，可从恒成立问题，考查转化思想，考查学生灵活运用知识解决问题的能力19.已知，且，，且，.(1)化简；(2)是否存在x，使得与相等？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由.参考答案：(1)（，且，）(2)存在，【分析】（1）利用二倍角公式对式子进行整理化简可得；（2）令，解方程可求得，从而可得的取值.【详解】(1)同理得：（，且，）(2)若，则，即：，即为存在的值.【点睛】本题考查利用二倍角公式进行化简、求值的问题，关键是能够利用已知关系建立等式，结合二倍角公式得到三角函数值，从而根据三角函数值确定角.20.（12分）已知函数f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．（1）求f（x）在区间上的最大值和最小值及此时的x的值；（2）若f（α）=，求sin（﹣4α）．参考答案：考点： 三角函数的最值．专题： 三角函数的求值．分析： （1）化简可得f（x）=2sin（2x+），由x∈结合三角函数的最值可得；（2）由题意可得sin（2α+）=，由诱导公式和二倍角公式可得sin（﹣4α）=1﹣2sin2（2α+），代值计算可得．解答： （1）化简可得f（x）=4cosxsin（x+）﹣1=4cosx（sinx+cosx）﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），∵x∈，∴当x=﹣时，f（x）取最小值