广东省江门市学业中学2022年高二数学理联考试卷含解析

广东省江门市学业中学2022年高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.命题：若，则与的夹角为钝角.命题：定义域为R的函数在及上都是增函数，则在上是增函数.下列说法正确的是（

）A.是真命题

B.是假命题

C.为假命题

D.为假命题参考答案：B略2.已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A． B．1 C． D．参考答案：C【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到y轴的距离．【解答】解：∵F是抛物线y2=x的焦点，F（）准线方程x=，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离|AF|=，|BF|=，∴|AF|+|BF|==3解得，∴线段AB的中点横坐标为，∴线段AB的中点到y轴的距离为．故选C．3.若直线l与平面??所成角为，直线a在平面?内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成的角的取值范围是（）．A．

B．

C．

D．参考答案：C因为直线l是平面的斜线，斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角，故a与l所成的角大于或等于又因为异面直线所成的角不大于，故选C．4.若长方体的三个面的对角线长分别是，则长方体体对角线长为（

）A

B

C

D

参考答案：C略5.若双曲线M上存在四个点A，B，C，D，使得四边形ABCD是正方形，则双曲线M的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由正方形的对称性得，其对称中心在原点，且在第一象限的顶点坐标为（x，x），从而得到双曲线渐近线的斜率k=＞1，由此能求出双曲线离心率的取值范围．【解答】解：∵双曲线M上存在四个点A，B，C，D，使得四边形ABCD是正方形，∴由正方形的对称性得，其对称中心在原点，且在第一象限的顶点坐标为（x，x），∴双曲线渐近线的斜率k=＞1，∴双曲线离心率e=＞．∴双曲线M的离心率的取值范围是（，+∞）．故选：A．【点评】本题考查双曲线的离心率的取值的范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．6.要得到函数y=sin()的图象，需将函数的图象(A)向左平单位

(B)向右平移单位(C)向左平移单位

(D)向右平移单位

参考答案：B7.推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是(

)A．①

B．②

C．③

D．①和②参考答案：B

8.凸边形有条对角线，则凸边形的对角线的条数为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C9.命题，则为

（

）A． B．C． D．参考答案：C10.若是函数的零点，则属于区间（

）A.

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的导函数的图像如右图所示，则_______.参考答案：12.如图，直线是曲线在处的切线，则的值是_________参考答案：613.如图，已知某探照灯反光镜的纵切面是抛物线的一部分，光源安装在焦点上，且灯的深度等于灯口直径，且为64，则光源安装的位置到灯的顶端的距离为____________．参考答案：

14.若,且,则__________________；参考答案：115.四边形ABCD为矩形,AB=3,BC=1,E、F在线段AB、CD上，EF∥BC且AE=2EB,沿EF将矩形折成一个120°的二面角A-EF-B,则此时BD的长是

参考答案：16.若P为椭圆上任意一点,EF为圆的任意一条直径,则的取值范围是

▲

.参考答案：[5,21]因为.又因为椭圆的，N(1,0)为椭圆的右焦点，∴∴.故答案为：[5,21].

17.如图是一个样本的频率分布直方图，由图形中的数据可以估计众数是

.中位数是

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设点F1是椭圆+=1的左焦点，弦AB过该椭圆的右焦点F2，试求△F1AB的面积的最大值。参考答案：

19.在平面直角坐标系xoy中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．参考答案：（Ⅰ）方法一：曲线与y轴的交点为（0,1），与x轴的交点为（3+2,0），（3-2,0），

………1分由圆的对称性可知圆心在直线x=3上，设该圆的圆心C为（3，t），则有32+（t-1）2=（2）2+t2，解得t=1

………4分故圆C的半径为r==3所以圆C的方程为（x-3）2+（y-1）2=9

………5分方法二：设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,………1分则当时有1+E+F=0;当y=0时，x2-6x+1=0与x2+Dx+F=0是同一方程所以有D=-6，F=1，E=-2

………4分故圆C的方程为x2+y2-6x-2y+1=0

………5分（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）其坐标满足方程组消去y得到方程2x2+（2a-8）x+a2-2a+1=0

………7分∴=56-16a-4a2>0在此条件下有韦达定理得：①，………9分由于可得=x1x2+y1y2=0又∵y1=x1+a，y2=x2+a∴2x1x2+a（x1+x2）+a2=0②由①②可得a=-1，

………11分当a=-1时，=56-16a-4a2>0故a=-1

………12分20.（本题8分）设函数（1）当时，求在区间上的值域；（2）若，使，求实数的取值范围.参考答案：

21.已知函数f（x）=blnx．（1）当b=1时，求函数G（x）=x2﹣x﹣f（x）在区间上的最大值与最小值；（2）若在[1，e]上存在x0，使得x0﹣f（x0）＜﹣成立，求b的取值范围．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数G（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数在闭区间的最大值和最小值即可；（2）设．若在[1，e]上存在x0，使得，即成立，则只需要函数在[1，e]上的最小值小于零，通过讨论b的范围，求出h（x）的单调区间，从而进一步确定b的范围即可．【解答】解：（1）当b=1时，G（x）=x2﹣x﹣f（x）=x2﹣x﹣lnx（x＞0），，令G'（x）=0，得x=1，当x变化时，G（x），G'（x）的变化情况如下表：x（0，1）1（1，+∞）g'（x）﹣0+G（x）

极小值

因为，G（1）=0，G（e）=e2﹣e﹣1=e（e﹣1）﹣1＞1，所以G（x）=x2﹣x﹣f（x）在区间上的最大值与最小值分别为：，G（x）min=G（1）=0．（2）设．若在[1，e]上存在x0，使得，即成立，则只需要函数在[1，e]上的最小值小于零．又=，令h'（x）=0，得x=﹣1（舍去）或x=1+b．①当1+b≥e，即b≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，故h（x）在[1，e]上的最小值为h（e），由，可得．因为，所以．②当1+b≤1，即b≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，故h（x）在[1，e]上的最小值为h（1），由h（1）=1+1+b＜0，可得b＜﹣2（满足b≤0）．③当1＜1+b＜e，即0＜b＜e﹣1时，h（x）在（1，1+b）上单调递减，在（1+b，e）上单调递增，故h（x）在[1，e]上的最小值为h（1+b）=2+b﹣bln（1+b）．因为0＜ln（1+b）＜1，所以0＜bln（1+b）＜b，所以2+b﹣bln（1+b）＞2，即h（1+b）＞2，不满足题意，舍去．综上可得b＜﹣2或，所以实数b的取值范围为．22.（本题12分）如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．参考答案：（1）如图所示，取AB中点E，连PE、CE．则PE是等腰△PAB的底边上的中线，所以PE⊥AB．PE=1，CE=，PC=2，即．Ks5u由勾股定理可得，PE⊥CE．又因为ABì平面ABCD，CEì平面ABCD，且AB∩CE=E，所以PE⊥平面ABCD．Ks5u而PEì平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABCD．（2）（方法1）如图1，在Rt△PEC中，过点E作EF⊥PC于点F，连AF．过A作平面PCD的垂线，垂足为H，连FH．因为AE⊥EC，AE⊥PE，所以AE⊥平面PEC，于是AE⊥PC．又EF⊥PC，所以PC⊥平面AEF，故PC⊥AF．已有PC⊥AH，可得PC⊥平面AFH，所以PC⊥FH．故∠AFH是二面角A-PC-D的平面角．由AB⊥平面PEC知EF⊥AB，又AB∥CD，所以EF⊥CD．而已有EF⊥PC，所以EF⊥平面PCD．又因为AH⊥平面PCD，所以AH∥EF．由于AB∥平面PCD，所以A、E两点到平面PCD的距离相等，故AH=EF．所以AEFH是矩形，∠AFH=∠EAF．在Rt△AEF中，AE=1，EF=，AF