多元统计复习题及答案

填空题：1、费希尔（Fisher）判别法是1936年提出来的，该方法的主要思想是通过将多维数据投影到某个方向上。2、因子分析的内容非常丰富，常用的因子分析类型是R型因子分析和Q型因子分析。3、K均值聚类分析的基本思想是将每一个样品分配给最接近中心/均值的类中。4、_对应分析___是将R型因子分析Q型因子分析结合起来进行的统计分析方法。

5、总体方差未知的情况下，采用样本方差代替总体方差的方法进行计算。6、主成分分析数学模型中的正交变换，在几何上就是作一个坐标旋转7、设X~8、判别分析是判别样品

所属类型

的一种统计方法，常用的判别方法有__距离判别法_、Fisher判别法、Bayes判别法、逐步判别法多元正态分布的任何边缘分布为正态分布10、应用多元统计分析方法用于解决多指标问题，聚类分析就是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问题。通常聚类分析分为Q型聚类和R型聚类。11、总离差平方和可以分解为回归离差平方和和剩余离差平方和两个部分，各自的自由度为（p

）和（n-p-1），其中回归离差平方和在总离差平方和中所占比重越大，则线性回归效果越显著。12、系统聚类分析方法有最短距离法、最长距离法、中间距离法、重心法、类平均法和可变类平均法。13、典型相关分析是研究两组变量之间相关关系的一种多元统计方法14、因子分析中因子载荷系数aij15、相应分析的特点是研究的变量是定性的16、公共因子方差与特殊因子方差之和为＿1

。17、设是总体的协方差阵，的特征根与对应的单位正交化特征向量，则第一主成分的表达式，方差为18、相应分析的主要目的是寻求列联表行因素A和列因素B的基本分析特征和它们的最优联立表示19_聚类分析__是分析如何对样品或变量进行量化分类的问题。20、因子分析把每个原始变量分解为两部分因素：一部分为

（公共因子），另一部分为

（特殊因子）

21主成分分析数学模型中的正交变换，在几何上就是作一个（坐标旋转）。22、对任何的随机向量X=(X1,

X2,……,Xp)’来说，其协差阵∑都是_对称阵_简答题：1、比较主成分分析与因子分析的异同点。相同点：①两种分析方法都是一种降维、简化数据的技术。②两种分析的求解过程是类似的，都是从一个协方差阵出发，利用特征值、特征向量求解。主要区别是：主成分分析本质上是一种线性变换，将原始坐标变换到变异程度大的方向上为止，突出数据变异的方向，归纳重要信息。而因子分析是从显在变量去提炼潜在因子的过程。此外，主成分分析不需要构造分析模型而因子分析要构造因子模型。2、根据类间距定义的不同，可将系统分类分为哪8种？答案：最短距离法，最长距离法，中间距离法，重心法，类平均法，可变类平均法，可变法，离差平方和法3、试述系统聚类的基本思想。

答：系统聚类的基本思想是：距离相近的样品（或变量）先聚成类，距离相远的后聚成类，过程一直进行下去，每个样品（或变量）总能聚到合适的类中。4、试论判别分析的实质判别分析就是希望利用已经测得的变量数据，找出一种判别函数，使得这一函数具有某种最优性质，能把属于不同类别的样本点尽可能的区别开来5、试述K均值法与系统聚类法的异同。

答：相同：K—均值法和系统聚类法一样，都是以距离的远近亲疏为标准进行聚类的。

不同：系统聚类对不同的类数产生一系列的聚类结果，而K—均值法只能产生指定类数的聚类结果。6、主成分分析的作用体现在何处？

答：一般说来，在主成分分析适用的场合，用较少的主成分就可以得到较多的信息量。以各个主成分为分量，就得到一个更低维的随机向量；主成分分析的作用就是在降低数据“维数”的同时又保留了原数据的大部分信息7、试述主成分分析的基本思想：

由于多个变量之间存在着一定程度的相关性，可以通过线性组合的方式快速提取其中的信息。当第一个线性组合不能提取更多的信息时，再考虑用第二个线性组合继续这个快速提取的过程，直到所提取的信息与原指标相差不多时为止。这就是主成分分析的基本思想。8、试分析一组变量的典型变量与其主成分的联系与区别。答：一组变量的典型变量和其主成分都是经过线性变换计算矩阵特征值与特征向量得出的。主成分分析只涉及一组变量的相互依赖关系而典型相关则扩展到两组变量之间的相互依赖关系之中，度量了这两组变量之间联系的强度。9、常用的三种判别方法是什么?解:距离判别法，费希尔判别法，贝叶斯判别法10、问题:Q型聚类和R型聚类的区别。答案:Q型聚类是对样品进行分类处理，R型聚类是对变量进行分类处理。11、试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。

解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，的联合分布密度函数是一个p维的函数，而边际分布讨论是的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于p。

12、什么是相应分析？它与因子分析有何关系？答：相应分析也叫对应分析，通常意义下，是指两个定性变量的多种水平进行相应性研究。其特点是它所研究的变量可以是定性的。相应分析与因子分析的关系是：

在进行相应分析过程中，计算出过渡矩阵后，要分别对变量和样本进行因子分析。因此，因子分析是相应分析的基础。具体而言，式表明Zuj为相对于特征值的关于因素A各水平构成的协差阵的特征向量。从而建立了相应分析中R型因子分析和Q型因子分析的关系.13、因子分析主要可应用于哪些方面？答：因子分析是一种通过显在变量测评潜在变量，通过具体指标测评抽象因子的统计分析方法。目前因子分析在心理学、社会学、经济学等学科中都有重要的应用。具体来说，①因子分析可以用于分类。如用考试分数将学生的学习状况予以分类；用空气中各种成分的比例对空气的优劣予以分类等等②因子分析可以用于探索潜在因素。即是探索未能观察的或不能观测的的潜在因素是什么，起的作用如何等。对我们进一步研究与探讨指示方向。在社会调查分析中十分常用。③因子分析的另一个作用是用于时空分解。如研究几个不同地点的不同日期的气象状况，就用因子分析将时间因素引起的变化和空间因素引起的变化分离开来从而判断各自的影响和变化规律。14、fisher判别法的基本思想。

基本思想是投影。将K组M元数据投影到某一个方向，使得投影后组与组之间尽可能地分开，其中利用了一元差分的思想导出判别函数。这个函数可以是线性的，也可以是其他类型的函数15、Q:相关矩阵与相似系数的联系与区别。A：相关矩阵也叫相似系数矩阵，是由矩阵各列间的相似系数构成的。也就是说，相关矩阵第i行第j列的元素是原矩阵第i列和第j列的相似系数。相似系数根据物种的重量、数量等数量指标比较两个群落或取样的相似程度的变量。由此可见，在相关矩阵中缺少不了相似系数，相似系数是相关矩阵的基础，二者区别在于一个是矩阵，一个是变量。计算题：原始矩阵的相关系数矩阵就是标准化后矩阵的协方差矩阵。标准化方法如下：设矩阵为A

求A每列的平均值：mu0=mean(A)

mu=[mu0;mu0;mu0...]

求A每列的标准差：va0=std(A)

va=[va0;va0;va0...]

A的标准化：B=(A-mu)./va检测某类产品的重量，抽了六个样品，每个样品只测了一个指标，分别为1，2，3，6，9，11.试用最短距离法或重心法进行聚类分析。（1）用最短距离法进行聚类分析。采用绝对值距离，计算样品间距离阵DG1G2G3G4G10G2G3G4G5G6由上表易知D（0）中最小元素是D12=D23=1于是将G1计算距离阵DG7G4GG70G4G5G6D（1）中最小元素是D56=2于是将G5，G计算样本距离阵D（2）G7G4G70G4G8D（2）中最小元素是D47=D48=3于是将因此，（2）用重心法进行聚类分析计算样品间平方距离阵D2G1G2G3G4G10G2G3G4G5G6易知D2（0）中最小元素是D212=D223=1计算距离阵DG7G4GG70G4G5G6注：计算方法D247D2（1）中最小元素是D256=4于是将G计算样本距离阵DG7G4G70G4G8D2（2）中最小元素是D247=D2因此，设随机向量X=(X1,X2,X3,X4)’，已知~N4(µ,∑),其中µ=(8,3,5,0)，∑=。将划分成=，设，求。设X=（x1，x2，x3）~N3(µ,∑)，其中µ=（1,0，-2）T，=16试判断x1+2x3与x2-x3x1因子分析。设某客观现象可用X=(QUOTE)’来描述，在因子分析时，从约相关阵出发计算出特征值为QUOTE由于QUOTE,所以找前两个特征值所对应的公共因子即可，又知QUOTE对应的正则化特征向量分别为(0.707,-0.316,0.632)’及（0，0.899，0.4470）’，要求：（1）计算因子载荷矩阵A，并建立因子模型。（2）计算共同度QUOTE。（3）计算第一公因子对X的“贡献”。解：（1）根据题意，A=QUOTEQUOTE=QUOTEQUOTE建立因子模型为