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6.4平面向量的应用6.4.3.2正弦定理第六章平面向量及其应用一、呈现背景提出问题

余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式.如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？

在∆ABC中，设A的对边为a，B的对边为b，求A，B，a，b之间的定量关系.为方便，不妨假设∆ABC为直角三角形.如图：对锐角三角形和钝角三角形，以上关系是否任然成立？因为涉及三角形的边、角关系，所以任然采用向量的方法来研究.

向量的数量积中出现的是角的余弦,而我们需要的是角的正弦，如何实现转化？cos(90°-α)=sinα二、分析联想寻求方法图6.4-10锐角三角形情形因为所以得即也即所以过点C作与垂直的单位向量，可得因此，如图6.4-10，在锐角三角形ABC中，过点A作与垂直的单位向量，则与的夹角为，与的夹角为.三、猜想验证得出结论钝角三角形情形如图6.4-11，在钝角三角形ABC中，过点A作与垂直的单位向量，则与的夹角为，与的夹角为.图6.4-11仿照上述方法，同样可得综上所述，可以得到如下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.即

你能用其他方法证明正弦定理吗？三、猜想验证得出结论(1)当是锐角三角形时,D证法一：如图，作AB上的高是CD,根椐三角形的定义,得到BACabcE正弦定理：（其中：R为△ABC的外接圆半径）DABCO证法二：设△ABC内接于⊙O，三条边分别是a,b,c,三个角分别为A,B,C.显然发现：b=ADsinD=2RsinD又由∠B=∠D，所以b=2RsinB即同理可得

，过A作⊙O的直径AD，连接CD，则△ADC是直角三角形(2)当是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?BACbcaD定理结构特征:1、正弦定理的本质是三个恒等式，即在等式中，都涉及三角形两个边及这两边所对的角.根据方程思想已知其中三个量，就可求出第四量.

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.即思考：利用正弦定理可以解决三角形的哪些问题？已知两角和一边，解三角形已知两边和其中一边的对角，解三角形三、猜想验证得出结论例7在△ABC中，已知A=15°，B=45°，c=3+，解这个三角形.由正弦定理，得由三角形内角和定理得C=120°.三、猜想验证得出结论三、猜想验证得出结论例8在△ABC中，已知B=30°，b=，c=2，解这个三角形.四、运用新知巩固内化1、已知△ABC中，a＝10，A＝30°，C＝45°，求角B，边b，c.答案：答案：2、已知B＝30°，b＝，c＝2，求A，C，a.五、回顾反思拓展问题1.正弦定理：2.正弦定理可解决哪几类解三角形的问题？1、已知两角和一边，解三角形；2、已知两边和其中一边的对角，解三角形

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.即1．在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，则b等于(

) A． B． C. D．2．在△ABC中，A＝45

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