2021届北京市高考数学模拟试卷附答案解析

2021届北京市高考数学模拟试卷

一、单选题（本大题共9小题，共36.0分）

1.已知集合＜9},则为AB=()

A.(-2,-1^4,2,3)B.[-2,-1,04,2)C.(1,2^)D.(1,2)

2.设复数z满足(3+i)z=3-i,贝“z|=()

A.|B.1C.V2D.2

3.已知函数知火+2），"。是奇函数，则方程g（x）=2的根为（）

A.—：B.:C.6D.—6

22

4.如图，已知直三棱柱48。-418心，点P、Q分别在棱44］和CCi上,AP=QQ,

则平面BPQ把三棱柱分成两部分的体积比为（）

A.2：1

B.3：1

C.3：2

D.4：3

5.已知a=-/Qcosxdx,则二项式（》2+£）6的展开式中炉的系数为（）

~2

A.20B.-20C.160D.-160

6.Sinl5。等于（）

A褥斗遥R、底「、版杆后垂-第

D.nLJ.

公-----------公--------------------4---------------4

7.如图所示，在凸四边形4BCD中，对边BC,力。的延长线交于点E,对边AB,

DC的延长线交于点F,若近=4而，ED=iiDA,AB=>0）,

则错误的是（）7

A.EB=-4EF+-4EA

B.加=；

C.：+曲最大值为1

EC'AD4

—.—►N—

aEBEA9

8.设向量五=(x,l),3=(4,x)，则‘'五〃『'是'"=2”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

9.已知圆C的半径为3,AB是圆C的一条直径，M,N为圆上动点，且MN=4,点E在线段MN上，

则荏•丽的最小值为()

A.-3B.-4C.-5D.—6

二、单空题(本大题共5小题，共25.0分)

10.以下关于圆锥曲线的4个命题中：

(1)方程2/-5x+2=。的两实根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

(2)设4B为平面内两个定点，若|P川一|PB|=k(k>0),则动点P的轨迹为双曲线；

(3)若方程A-+(4-k)y2=1表示椭圆，贝必的取值范围是(0,4)；

(4)双曲线会?=1与椭圆各、2=1有相同的焦点.

其中真命题的序号为(写出所有真命题的序号).

n

11.若等比数列｛an｝的前n项和为％,且满足%=(i)-1,则1区(即+。3+…+a2n-i)=.

12.已知函数/Xx)=x,g(x)=则/'(%)-g(x)=.

13.上海世博园中的世博轴是一条1000m长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧(如图所示).现

测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120。.据此数据计算,

中国馆到世博轴其中一端的距离是m.

14.关于函数/*(%)=\sinx\+\cosx\f给出下列四个命题:

①;为/(%)的一个周期;

②/'(%)是奇函数；

③/（X）关于直线”=手对称；

④当x6[0,2用时，/（X）e[1,V2]；

⑤当xe[0,自时，/（X）单调递增.

其中正确的命题的序号是.

三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）

15.16.（本小题满分10分）在AABC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足

ccos5+icosC=4acosA.

⑴求cosH的值；（2）若△ABC的面积是任，求商.记的值.

16.四棱锥P-4BCD中，P4上平面4BCD,E为AD的中点，四边形ABCE为菱形，/.BAD=120°,

PA=AB,G,F分别是线段CE,PB上的动点，且满足宾=寡=4e（0,1）.

rDCc

（1）求证：FG〃平面PDC；

（2）求几的值，使得二面角F-CD-G的平面角的正切值为|.

17.设随机变量X的分布列为:

X012

111

P

236

求：

(l)P(X<1),P(X<1),P(X<2),P(X<2)；

(2)F(x)=P(XWt),teR.

18.选修4-1：几何证明选讲

如图，圆Oi与圆。2相交于4、B两点，是圆。2的直径，过4点作圆久的切线交圆。2于点E,并

与BO】的延长线交于点P,PB分别与圆01、圆。2交于C,。两点。

求证：(I)P4-PD=PE•PC；

(n)/W=AE.

23选修4-4：坐标系与参数方程

x=2cosa

在直线坐标系xOy中，曲线G的参数方程为〈一.c(&为参数)，M是g上的动点，P

y=2+2sina

点满足=2,P点的轨迹为曲线©2，

(1)求©2的方程；

(2)在以。为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线。=与孰的异于极点的交点为4与

C2的异于极点的交点为8,求|48|.

24选修4—5：不等式选讲

已知函数/(x)=|x-a|.

(1)若不等式/(x)<3的解集为｛Xpl<x<5),求实数a的值;

(2)在(1)的条件下，若/(x)+/(x+5)2羽对一切实数x恒成立，求实数搐的取值范围

19.椭圆E：g+l(a>b>0)的离心率为净焦距为2位.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)设G(7n,n)是椭圆E上的动点，过原点0作圆G：(x-m)2+(y—n)2=：的两条斜率存在的

4

切线分别与椭圆E交于点A,B,求|0川+|OB|的最大值.

20.若实数x,y,m满足|x-<|y-m|,则称x比y靠近m.

(1)若“+1比一》靠近一1,求实数x的取值范围；

(与①对任意乂>0,证明：ln(l+%)比x靠近0；②已知数列｛an｝的通项公式为斯=1+2一”，证明:

2a3,・・。九V2e.

参考答案及解析

1.答案：D

解析：

本题考查一元二次不等式的解法及集合交集的运算，根据题意可得8={x|—<9)="|-3<*<3卜

然后利用集合交集的运算即可得到结果.

解:B={x\x2<9)={x|-3<x<3)«

因此AcB=[1,2).

故选o.

2.答案：B

解析：

本题主要考查复数的模长的计算，结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键.

根据复数的运算法则先求出Z,结合复数的模长公式进行计算即可.

3-i_(37)(37)4-3i

解:因为Z

3+1—(3+i)(3-i)5

所以爪的丫+㈢、】，

故选：B,

3.答案：D

解析:解：设％<贝/(一%)=

0,1-loga(2-x),

是奇函数，一/(一%)=

•・•f(x)・•・/(x)=g(x)=loga(2-%)-1,

又a=2.

f(0)=0，1—loga2=0,

•g(x)

・・=log2(2-%)-1,

令g(%)=2得log2(2-%)=3,

解得％=-6.

故选D.

利用奇函数的性质求出g(x),再解方程g(x)=2即可.

本题考查了函数奇偶性的性质，对数的运算，属于中档题.

4.答案：A

解析：解：设直三棱柱4BC-4B1G的体积为心

•••连接B4,BG，点尸、Q分别在棱和CG上，AP=CrQ,

•••四棱锥的B-4PQC,B-C^QPA^的底面积相等

.••把直三棱柱4BC-4B1G分割为:B-APQC,B-C%,B-B^CX,

••・三棱锥的8-8通传1为1V,

••・四棱锥B-APQC,B-GQP①的体积之和为：展.=拳

•••四棱锥的B—APQC,B-GQPA],的底面积，高相等.

.•.四棱锥的B—4PQC,B-GQPAi，的体积相等,

即为空

.•・棱锥B-4PQC,B-GQPAi，B-当必好的体积相等，为",

••・平面BPQ把三棱柱分成两部分的体积比为2：1,

故选：A.

把直三棱柱4BC—4B1G分割为：B-APQC,B-C^QPA1,B-B.A^,运用体积公式求解，得

出结论.

本题综合考查了空间几何体的体积求解方法，分割思想，等底等高求解，属于难题.

5.答案：D

nn

解析：解：a=-osxdx=-sinx\n=-2,

~2一£

二项式(7+9)6的展开式的通项为A+i=凄•Q2)6-r(F)r,

易知炉为第3+1=4项，

所以二项式+9)6的展开式中心的系数为一160.

故选：D.

求定积分可得a=-2,在二项式(产+*6的展开式的通项公式中，令x的幕指数等于3,求得「的值,

可得展开式中含/项的系数.

本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数,

属于基础题.

6.答案：D

解析：试题分析：幽:运:=姮獭『-蟠隹晶豳就sw劈-:m懈T的卷=也拗虫一二笈垦

噩-格

=-4-

考点：两角和差的正弦公式

点评：本题考察了或救£箭,*网尊=端血1融躁好祥北5£»像媪r,壁，与之类似的有

KW*窗廿率礴=KW飙潮混藏需血n徽如.犀

7.答案：C

解析：解：选项A：由南=3乔可得：EB-EA=3(EF-EB),

整理可得：前=：乔+；丽，故A正确；

44

选项&由E,C,8三点共线可得：AC=-^-AB+^-AE=--AF+^^AD,

1+A1+A41+A1+A

同理F,C,。三点共线可得：77^7+^r=整理可得：4〃=；，故8正确，

4(1+4)1+A4

1112

得+>=4

---一

-A

〃

选项C：由4〃4回

当且仅当;1=4时；的最小值为4,无最大值，故C错误，

选项因为灰=4而，丽=〃而，则丽=(1+2)正，瓦？=(1+〃)方4,

於而_或亦_______1__]_1__4

助以德高--(1+A)(1+M)ECXD——1+A+p+Ap—一泅了--：+2屈—一片

当且仅当;1=〃时取等号，故。正确，

故选：C.

选项A,将已知化为的一瓦？=3(前-说)，由此即可求解；选项8,利用E,C,B与F,C,D三

点共线以及向量知识化简得出加=3选项C,D,利用基本不等式即可求解.

本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到利用基本不等式求解最值的问题以及三点共线的问题,

考查了学生的运算转化能力，属于中档题.

8.答案：B

解析：

当方〃石时，根据共线向量基本定理能求得x=±2,所以x=2能得到五〃石，而五〃石不一定得到x=2,

所以便得到方〃石是x=2的必要不充分条件.

考查共线向量基本定理，必要不充分条件的概念，向量的坐标运算及坐标相等.

解：若五〃b，则存在实数入使：b=Aa;

・・・{4=4x,解得久=±2；

.,.由x=2能得到但日〃3不一定得到x=2；

a〃坂是％=2的必要不充分条件.

故选:B.

9.答案：B

解析：

本题主要考查了向量数量积的性质的综合应用，考查了逻辑推理的能力.

由题意得，AC=-BC＞然后结合向量数量积的性质得，AE=(AC+CE)-(BC+CE),展开后

结合图形可求.

解：由题意得，AC=-BC，

AE-BE=(AC+CE)-(BC+CE)

=AC-BC+AC-CE+BC-CE+CE2'

22

=-AC+CF-(IC+BC)+CE>

....-»2.....->2

=-AC+CE<

当方两时，|方|取最小值，此时|屈7cM2=花.

11nlm=-ME2

故荏•丽的最小值为-9+5=-4.

故选：B.

10.答案：(1),(4)

解析：

本题考查命题的真假判断与应用，属于基础题.

根据椭圆及双曲线的定义和性质，逐一分析四个命题的真假，可得答案.

解：(1)方程2--5x+2=0的两实根分别为:和2,可作为椭圆和双曲线的离心率，正确；

(2)设4B为平面内两个定点，^\PA\-\PB\=k(k>则动点P的轨迹为双曲线的一支，故(2)

错误；

(3)若方程A:一+(4—k)y2=1表示椭圆，则k的取值范围是(0,2)U(2,4),错误；

(4)双曲线会一七=1与椭圆|^+y2=1有相同的焦点(土回,0),正确.

故答案为：(1),(4)

11.答案：号

12

解析:解：的=(I)-1=_:，a2=S2-a1=(1)-1-(-i)=-p

-71

・•・q==-

~2

a-i-|x[1-(；)"],

・•・+a2+a3H------F2n

2

,..nlim)(a1+a3+...+a2n_1)=--

故答案是：一|.

根据等比数列｛%｝的前n项和%=G)"-1推知国和q,然后根据求和公式进行计算并求极限.

本题考查了等比数列的前几项和.根据等比数列建立条件关系求出公比是解决本题的关键.

12.答案:4

解析：解：由g(x)解析式得定义域为｛x|xH0),

故/(x),g(x)=x-=4-

故答案为：4.

由g(x)解析式得定义域为芋0｝，故f(X)•g(x)=4

本题考查解析式间运算，属于简单题.

13.答案：学

解析：解：设中国馆的位置为4世博轴两端分别为8,C,依题意知41=120°B

中国馆

1800-60°

ANB=4C=-------------=30°

2

由正弦定理知：壬=壬

sinZi4sinzF

BC11000IOOOA/3

AC=sinZ-B•—-----=-x——=---------

sinz/l2V33

T

故答案为：U竺史.

3

先中国馆的位置为4世博轴两端分别为B,C,依题意知41=120。，AC=AB,进而可求得NB,

再由正弦定理可得AC.

本题主要考查正弦定理的应用.属基础题.

14.答案：①③④

解析：解：①由于/(x+])=|sin(x+)|+|cos(x+])|=|cosx|+|s讥x|=f(x),故]为/'(x)的一

个周期，即①正确；

②由于/(一x)=|sin(-x)|+|cos(-x)|=\sinx\+|cosx|=f(x),故/'(x)是偶函数，故②错；

③由于/(等一》)=|sin(y-x)|+|cos(y-x)|=|cosx|+|sinx|=/(x),故/"(x)关于直线x=4对

称，故③正确；

④当x€[0,2网时，/(x)=+2|sinxcosx|=Jl+|sin2x|，x=:取最大值且为近，x=0时，取

最小值1,故④正确；

⑤当％e[0于时，/(x)=sinx+cosx=&sin(x+；),由于:<x+J<y,不为单调区间，故⑤错.

故答案为：①③④.

应用周期函数的定义即可判断①；应用奇偶函数的定义即可判断②；验证/(拳-x)=/(x),即可

判断③；

将/(X)变形为f(x)=Jl+|sin2x|,由％的范围即可判断④；根据条件化简/(x),求出X+3的范围，

即可判断⑤.

本题以命题的真假判断为载体，考查三角函数的图象和性质，注意应用定义和性质解题.

abc

15.答案：解：(1)利用正弦定理--=--=-一，得

sinAsinRsinC

sinCcosB4-sinBcosC=4sinAcosAt

所以sin(8+C)=4sinAcosA,^sinA=4cosAsinA,所以cosd=—

4

（2）由（1）得：sinA='位，

4

由题意得8后©=~besinA=JF，

所以be=8,因此AUJccos/=2.

解析：本题向量与三角函数的综合问题，（1）利用正弦定理将边转化为角，然后利用两角和的正弦公

式进行化简即可求出cosA的值；（2）根据（1）先求出sim4的值，然后利用一ABC的面积是延，求出比

的值，然后利用数量积的定义即可求解.

16.答案：法一：（1）证明：如图以点4为原点建立空间直角坐标系4-xyz,不妨

则4(0,0,0),P(0,0,2),B(V3,-1.0)，C(V3,l,0),D(0,4,0).

由霄=^=A,得?(百尢一九2-2A).G(V3-V32,1+A,0).FG=(-2V3A+V3,1+2A,-2+24)，

设平面PCD的法向量而=(x,y,z),则由而•正=0，而•而=0，

可瞰党;二"£取而=(祗1,2)

•••丽•FG=0,1.FG

■：FG仁平面PDC,FG〃平面PCD

(2)解：FC=(V3-V32,1+A,-2+2A).CD=(-V3,3,0)

设平面PCD的法向量为元=(x',y',z')，则由元FC=0,n^-CD=0

J(V3-V3A)xz+(1+A)/+(-2+2A)z'=0

4-辰+3y，=0'可取3=(同T)，lT，2T)

23

vtanO—:.cosd=

•・・西=(0,0,1)为平面GCD的法向量

|cos0|=|三邑=^=

11।同同।V13

8A2-14A+5=0,­•.A=1或;I=|(舍去)

11

­•A=-

2

法二：(1)证明：延长BG交CD于Q,连PQ,BE,平行四边形

BEDC,则BE〃CQ,喑喑

UCUD

又•：PF：FB=CG：GE,则QG：GB=PF：FB,FG//PQ.

■■■FGU平面PCD,PQu平面PCD.

FG〃平面PCD

(2)解：作FM_L4B于M,作MN1CC于N,连FN,则FN_LCD,二NFNM为二面角F-CD-G的平

面角.

—=—=1—A,不妨设24=2,则FM=2(1—A)=BM,MN=2—2.

PAPBX

由tan"NM=—2(14),即4=也

MN32—A.

解析：法一：(1)以点4为原点建立空间直角坐标系4-xyz,不妨设PZ=2,用坐标表示点与向量,

求得平面PDC的法向量而=(V3,1,2),证明而-FG=0.即可证明FG〃平面PCD

(2)求出平面PCD的法向量五=(V3(l-A),l-A,2-4),cos。=言,利用向量的夹角公式建立方程,

即可求得结论;

法二：(1)延长BG交C。于Q,连PQ,BE,证明FG〃PQ,即可证得FG〃平面PCD；

(2)作FM14B于M,作MN1CD于N,连FN,则FN1CD,NFNM为二面角F—CD—G的平面角,

利用二面角F-CD-G的平面角的正切值为I，即可求得结论.

本题考查线面平行，考查面面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，属于中档题.

17.答案：解：(l)P(X<l)=P(X=0)=[

P(X<1)=P(x=0)+P(X=1)=i+i=I

Zoo

P(x<2)=P(X=0)+P(X=1)=533

Zoo

P(X42)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=士+乙+士=1.

236

<0,

|<0<x<1,

(2)F(x)=<

l，l<x<2,

6

ll,x>2

解析：(1)根据分布列计算;

(2)讨论x的范围得出F(x)的解析式.

本题考查了互斥事件，和事件的性质，属于基础题.

18.答案：22、证明略;

x=4cosa

23、⑴((a为参数)；

y=4+4sina

(2)243.

24、(l)a=2；

(2)m的取值范围为(-8,5].

解析：22、解：(I)卜PE、PB分别是。仄的割线•••|R1.PE=PDPB①,又卜R4、PB分别

是O瓦的切线和割线，"上『=尸。.尸5②，由①，②得[PAPD=PEPC；

(II)连结^区方，设屋与[1万相交于点庐'，•.•瓯7是。瓦"的直径，•••|NCL5=90°，

是O仄的切线.

由(I)知，=—,•••[jCr//|£D---|781|DE-kULO=UDE，又,•・瓦7是。口的切线，

PEPD

・•・=£AED，又Jc且D=NADE，：・\ZAED=ADE，・・・|<Z)=AE・

-=2cosa

2x=4cosa

23、(1)设P(x,y),则由条件知M(J,Z).由千M点在Ci上，所以即，，.，

22卜2+2sma^=4+4sina

从而C2的参数方程为：

x=4cosa

(a为参数):

y=4+4sina

(2)曲线J的根坐标方程为p=4sin8,曲线C2的根坐标方程为P=8sin8，

射线8音与Ci的交点A的极径为P产4sin*射线8音与C2的交点B的极径为p2=8sinj.

所以IAB|=|p2-P11=23

24、

(1)当Q=2时,/(x)=|x-2|.

由/(%)<3得-a|<3,解得Q-3WxWa+3.又已知不等式/(%)<3的解集为{x|-14工工5},

。-3=-1

所以《解得a=2；

a+3=5

-2x-1,x<-3

5-3<x<2，所以当％<—3时，

{2x+1z>2

g(x)>5；

当一3WXW2时，g(x)=5；

当x>2时，g(%)>5.

综上可得,g(x)的最小值为5.从而，若/(%)+f(x+5)之m

即g(x)2m对一切实数%恒成立，则m的取值范围为(-8,5].

C_>/6

19.答案：解：(1)a3,所以a=V5，c=V2,b=1,

2c=2V2

所以椭圆E的标准方程为9+必=1.

(2)设圆(x-m)2+(y-n)2=：的切线04(0B)的方程为y=kx,