2021年1月“八省联考”考前猜题卷数学（全解全析）

2021年1月“八省联考”考前猜题卷

数学

1.D【解析】因为A={x|_5<x<l},3={巾244}=k|—2Wx<2},所以AB={x|-2<x<l}.

/、1l(l-i)111

2.C【解析】由(l+i)z=l得z=；—i=.、=77-ji，所以z的虚部为一一.故选C.

'67B.1+z(l+i)(l-i)222

3.A【解析】因为1一sin(6+1)=cos(5—e],所以l-gsin®—^coseMsine,所以[sine+

—cos6>=l>所以sin[e+X,所以cos2(e+m[=l-sin2(e+f]=l-：='1,故选A.

2I6J3I6JI6133

4.C【解析】两组至少都是3人，则分组中两组的人数分别为3、5或4、4,又因为3名女干部不能单

(p4\

独成一组，则不同的派遣方案种数为c^+-f-lA；=180.故选C.

IAi)

5.D【解析】对于选项A,当x=0时，Yni不成立，故A错误；

bahci

对于选项B,命题“三见beR,—+—>2”的否定是“Va,bwR,—+—42”，当a=3匕土不成立，

abah

故B错误；

对于选项C,当一直线斜率为0,另一直线斜率不存在时，“它们的斜率之积一定等于-1”不成立，故C错

误；

对于选项D,由方程一三-----匚=1表示双曲线等价于(2+加)(加+1)>0,即加<-2或相>—1,所

2+mm4-1

以“m>—1”是“方程一匚-----匚=1表示双曲线”的充分不必要条件，故D正确.故选D.

2+mm+1

6.B【解析】73的定义域为卜忖70},关于原点对称，且/(_幻=处上宜=_叱=_“*),，/(幻

-xX

为奇函数，图象关于原点对称，故A,C错误；当龙>0时，r(x)=2(；：nx),故当xe(o,e)时，

_f(x)>0,单调递增，当xe(e,M)时，/'(x)<0,/(x)单调递减，故D错误，B正确.故选

B.

7.D【解析】如图所示，AE//BF//CD,四边形ACZ5E为梯形.

AD

对选项A,由题知：“羡除”有且仅有两个面为三角形，故A正确；

对选项B,因为AEHBF//CD,所以“羡除”一定不是台体，故B正确;

对选项C,假设四边形ABEE和四边形38尸为平行四边形，

则AE〃即〃CD，AE=BF=CD，则四边形ACDE为平行四边形,

与已知四边形AC0E为梯形矛盾，故不存在，C正确.

对选项D,若AEHBFHCD，则"羡除”有三个面为梯形，故D错误.

故选D.

8.C【解析】E(x)=(/(x)—l)(/(x)-a)=0,/(x)=l或/(x)=a,

x<0时，f(x)=xex+1<1,/'(x)=(x+l)e",

%<-1时，/'(x)<0,f(x)递减，—l<x<0时，f'(x)>0,f(x)递增，

的极小值为〃-1)=1二，又因此/(x)=l无解.

e

此时/(x)=a要有两解，yiijl--<a<l,

e

又，(X)是奇函数，.•.x>0时，/(X)=l仍然无解，/(x)=a要有两解，则—-

e

综上，

故选C.

9.CD【解析】〉优，A错误；时<网出错误；2>i,c正确；(1

aba(2,

D正确.故选CD.

22

10.ACD【解析】由双曲线方程匕一工=1知。=2力=四，焦点在>轴，渐近线方程为y^±-=+y/2x,

42b

x2+y2=6x=,^2

A正确；。=次万="，以夕名为直径的圆的方程是r+y2=6,B错；由yS得‘

>=2

"=一应，由对称性知M点横坐标是±0,C正确；S△除居=口片用%|==x2#x8=2后,

或，

y=—21-22

D正确.故选ACD.

11.ABD【解析】因为4=1,。5=27%，所以有qd=27qpnd=27=>q=3,因此选项A正确；因为

vS+24（3”"+3）2

^=Ji^=2（3，，-lb所以S,,+2=F^+2=：（3"+3）’因为^7=彳-------=1+*常

1-323〃+2_l（3〃+3）I+'3

数，所以数列｛s“+2｝不是等比数列，故选项B正确；因为Ss=g（35—1）=121,所以选项C不正确；

4,=40'」=3"」>0，因为当“23时，Iga,5+lga“+2=lg（%-2q+2）=lga『=21ga“，所以选项D正

确.故选ABD.

12.ACD【解析】设40,1）,5（2,1）,/（力=J（x—0）2+（0—1）2+J（x—2）2+（0—1）2表示x轴上点

P（x,0）到A8两点的距离之和，设Q（l,0）,以A3为焦点，。为短轴上一个端点，作椭圆，x轴与

此椭圆相切于点。，当尸从。向右移动时，|/科+|P8］逐渐增大，即函数/（x）在区间［1,+8）上单调

递增，A正确；当尸与。重合时，|尸山+归目最小，最小值为2近，因此/（x）的值域是［2JI+8）,

C正确；函数图象关于直线x=l对称，不是中心对称是，B错误：当x=0或x=2时，/（x）=l+J?,

由于/（X）22、历，因此/（幻=0和/（幻=2都无解，D正确.故选ACD.

A

X

13.8【解析】因为a=（—l,加），h=（2,—3）,所以&+28=（3,加一6）.因为（。+2匕），/?,所以

(a+2b).b=6—3(m—6)=0,解得m=8.

14.is【解析】因为(«—工)6的展开式的通项是c;(6y-Qiyd)'=q(-iy『w,当3—七=0时，〃

xx2

=2,所以展开式中的常数项是C；(T)2=15.

15.【解析】函数/(x)=sin2x+6cos2x=2sin(2x+1),将函数/(X)的图象沿X轴向左平移9个单位

后，得到函数y=2sin(2x+2夕+会的图象，因为g(x)为偶函数，所以2*+。=&乃+引eZ),则

(p=^-+.当人=0时，8=

16.叵【解析】过M做出_L3D于点P,连接PN,因为平面A3DJ_平面BCO,所以MPJ.PN河

2

求得MP=更,3尸=：,所以。尸=[,在三角形。PN中，NPDN=36、DN=百，所以PN=叵

2222

所以MN=Y!Q,由题意可知，四面体A8CO的外接为3。中点，设为O,过。做OH_LMN于，，连

2

接ON,可求得ON=1,从而得HN=®，所以0P=、QU=45,因为球的半径为2,故所截得的

4V164

线段长为2/2_(^y=亭

C

17.(10分)

【解析】解法L由正弦定理，得3smecos8=3sin阮(B+C)]+2sinB,

2

整理得3sin8cosC+2sin8=0.因为sinBWO,所以cosC=---.(5分)

3

解法2：由3ccos8=3〃+2A得3accosB=3a2+2ab,

由余弦定理，得3(相+打余2)=6〃2+4加;，整理得3-+搐加)=4曲,

2

EP3ahcosC+2ah=0.所以cosC=---.(5分)

3

选①a=3.由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos=>21=9+Z?2-6x/?x

所以"+4b-12=0,解得6=2或人=-6(舍去)，

所以问题中的三角形存在.(10分)

选②3,“=侦.SABc='absmC=Labx或~=迈,故必=9,(7分)

ABC22232

♦4

由余弦定理可得c2+a2+b2-2abcosC^>2l=a2+h2+—ab,又a2-\-b2>2ab,

3

4in

所以21=a?+加+—"2—abab<6.3,与ab=9矛盾，

33

所以问题中的三角形不存在.(10分)

选③3sinB=2sinA.由正弦定理得，3sinB=2sinA=>3Z>=2a,(7分)

2]

由余弦定理可得c2=a2+&2-2tz/?cosC=>21=—h2,

4

所以6=2或6=-2(舍去)，

所以问题中的三角形存在.(10分)

18.(12分)

【解析】(1)由S“=2a“一1得：£=2%-1,即％=1,

由S“=2a“-1得：S“+i=2。“+|-1,两式相减得：a„+l=2an+i-2an,

即a.+i=2a“，即数列｛4｝是以1为首项，2为公比的等比数列，(4分)

则4=2'"1,

则S“=±2=2"—l.(6分)

“1-2

„,16-2"(1<H<4)

(2)由(1)知：2=2"-16|,则a=《,

2"-16(n>4)

则当时，7；=(16-2')+(16-22)++(16-2")

=16n-(2'+22++2")=]6〃-2(；一：)

=16〃-2”“+2；(9分)

当〃〉4时、

,24567

7；:=(16-2)+(16-2)++(16-2)+(2-16)+(2-16)+(2-16)++(2〃-16)

2

=2T4+（2'+2++2”）-16〃

=2x34+2（1-2）-16〃=-16〃+66,

1-2

16〃-2叫2（l<n<4）

则T=<.（12分）

n21一16〃+66（〃>4）

19.（12分）

【解析】（1）由题,不超过6小时的频率为坦号器=0.4,则100辆车中有40辆不超过6小时,60

辆超过6小时，（2分）

则2x2列联表如下:

男女合计

不超过6小时103040

6小时以上204060

合计3070100

根据上表数据代入公式可得犬=¥怒6铲嚼的皿.

所以没有超过90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关.（5分）

（2）（i）由题意知：X的可取值为5,8,11,15,19,30,则

P（X=5）=《,P（X=8）=《,P（X=11）K，P（X=15）W，

71

p（X=19）=—,P（X=30）=—.（7分）

[，20'720

所以X的分布列为:

X5811151930

1171

P（x）

1010552020

（8分）

E（X）=5x-+8x—+llx-+15x-+19x—+30x—=14.65.（9分）

v71010552020

1713

（ii）由题意得尸（X>14.65）=g+、+方=所以8,（10分）

23

所以N2）=P（g=2）+P（43x—x—+-----=-----

55255125125

20.（12分）

【解析】（1）•••四边形ABCD是菱形，；.0是AC的中点，BD1AC,

,:BDLPA，PAAC=A,平面PAC,（2分）

,；POu平面PAC,；.BDLPO.

•:PA=PC，。是AC的中点，POLAC.

：ACu平面ABCD,BOu平面ABC。，ACBD=O,

：.PO_L平面A6CZX（5分）

（2）由（1）知，P。，平面ABC。，BD±AC.

以。为坐标原点，以04,OB,OP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

设四边形ABCD的边长为4,PO=a.

•.•四边形ABC。是菱形，N&4Q=60。，...AABO与BCD都是等边三角形.

OA=OC=26

P（0,0,a）,A（2^,0,0）,C（-2^,0,0）,E,-,0,

（22）

的=（26,0,—a）,PE=,EC=--,--,0.（7分）

''22I22

,?PALPE，；.PA.=（2后0,-a）.-=0,

即—3+/=0,得Q=y/3.

na、

PA=(2y/3,Q,-j3),PE7.(9分)

22J

设平面PAE的法向量为m=（玉，x,zj,

m-PA=2&x「V>Z\=0/

厂，取得加=

由，Ji3Z1=2,[1,

m-PE=---%!+-y--j3z=0I

ll¥4

设平面PEC的一个法向量为〃=（%,%，Z2），

“363n

n.EC=--------x2y2=0

2*4

由，；,取々=T，得〃=(—1,0,2).

n-PE---^-x2+—y,--0

2-22"

设二面角A—尸巨一c的平面角为e,由图可得，夕为钝角,

m-n715

则cos0

\m\-\n\

.♦・二面角A—尸E—C的余弦值为一巫.（12分）

5

21.(12分)

【解析】（1）设尸（孙〃）,耳（-c,0）,F2（C,0）,

OOQ

由[o"=],尸斤P/^=-；可得加2+〃2=a，｛-c-m,-/?)?c-m,

、9,3

-n)=m2-ci+〃2—c"———

44

即有C，2=3,即c=6,（2分）

又e=£=正，可得。=2,b=ylcr-(r=b

a2'

2

则椭圆的方程为土+V=1.（4分）

4-

设&与，由题意可得

(2)y,),B(x2,y2),”(-2,0),

若直线AB的斜率不存在，即％=%，y=-%，由题意可得直线M4,MB的斜率大于0,即＞0,

矛盾；(6分)

因此直线B4的斜率存在，设其方程为丫=丘+，〃.联立椭圆方程/+4丁=4,

化为：(1+4A:2)%2+Skmx+^m2-1)=0,z.△=64k2m1-16(1+4k2)(m2-1)>0,化为:

1+4&2>毋.

8km4(w-1),。八、

.-.X+x=--~—T，XX,=-----.(8分)

-21+4《121+4公

由c+〃=*,可得tanatan?=1,X%

%+2%+2

2