2023学年完整公开课版《曲线方程》

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1.回顾直线与方程关系：对如图所示的一、三象限的角平分线有:(1)直线上点的坐标都满足方程x－y=0;

(2)以方程x－y=0的解为坐标的点都在直线上.2.曲线与方程关系举例：如图所示的圆与方程(x-a)2+(y-b)2=r2的关系怎样呢？(x-a)2+(y-b)2=r2M(x0,y0)Oxy3.曲线与方程的概念：

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二次方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：

(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.注意：

强调两个条件都必须满足，并进一步说明：

条件(1)阐明了曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外(纯粹性、不杂)；条件(2)则阐明了符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性、不漏).[例1]

证明：与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy=kxyRMOQ[练习1]

若命题“曲线C上的点的坐标都是方程F(x,y)=0的解”是正确的,则以下命题正确的是()A.不是曲线C上的点的坐标，一定不满足方程F(x,y)=0

B.坐标满足方程F(x,y)=0的点均在曲线C上

C.曲线C是方程F(x,y)=0的轨迹

D.F(x,y)=0所表示的曲线不一定是C4.解析几何与坐标法：

我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法。在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫解析几何的学科.因此,解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.5.平面解析几何研究的主要问题：(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；

(2)通过方程，研究平面曲线的性质.[例2]

已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2.建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；xyFMOB(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标；

(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)}；

(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x,y)=0；

(4)化方程f(x,y)=0为最简形式；

(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.求曲线方程的一般步骤：[例3]

设A，B两点的坐标分别是(-1,-1)，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；xylM(x,y)BAO[练习2]

如图，已知点C的坐标是(2,2)，过点C的直线CA与x轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的直线CB与y轴交于点B.设点M是线段AB中点，求点M的轨迹方程.xyBCAMO通过方程，研究平面曲线的性质[例4]

根据下列方程，描绘曲线，并讨论相应曲线的性质.课堂小结1、曲线与方程

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