2024届一轮复习数学新材人教A版 第三章 一元函数的导数及其应用 3-5　导数的综合应用 学案

§3.5导数的综合应用考试要求导数的综合问题是高考的热点，常考查恒(能)成立、不等式的证明、函数的零点等问题，解题方法灵活，难度较大，一般以压轴题的形式出现．题型一导数与恒(能)成立问题例1(2023·福州模拟)已知函数f(x)＝ex＋(m＋1)x，(m∈R)．(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若存在x∈[1,2]，使得不等式ex＋eq\f(x2,2)＋mlnx＋m≥f(x)成立，求m的取值范围．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华恒(能)成立问题的解法(1)若f(x)在区间D上有最值，则①恒成立：∀x∈D，f(x)>0⇔f(x)min>0；∀x∈D，f(x)<0⇔f(x)max<0；②能成立：∃x∈D，f(x)>0⇔f(x)max>0；∃x∈D，f(x)<0⇔f(x)min<0.(2)若能分离常数，即将问题转化为a>f(x)(或a<f(x))，则①恒成立：a>f(x)⇔a>f(x)max；a<f(x)⇔a<f(x)min；②能成立：a>f(x)⇔a>f(x)min；a<f(x)⇔a<f(x)max.跟踪训练1已知函数f(x)＝(x－2)ex.(1)求f(x)在[－1,3]上的最值；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若不等式2f(x)＋2ax≥ax2对x∈[2，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型二利用导数证明不等式例2设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华利用导数证明不等式的解题策略(1)待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究最值即可得证．(2)若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目的．(3)对于函数中含有ex和lnx与其他代数式结合的问题，可以考虑先对ex和lnx进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．常见的放缩公式如下：①ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号．②lnx≤x－1，当且仅当x＝1时取等号．跟踪训练2(2023·苏州模拟)已知函数f(x)＝elnx－ax(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)当a＝e时，证明f(x)－eq\f(ex,x)＋2e≤0.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型三导数与函数的零点问题例3(12分)(2022·全国乙卷)已知函数f(x)＝ln(1＋x)＋axe－x.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；[切入点：求f′(x)，f′(0)](2)若f(x)在区间(－1,0)，(0，＋∞)各恰有一个零点，求a的取值范围．[关键点：根据导数f′(x)对a分类讨论，对x分(－1,0)与(0，＋∞)两部分]

思维升华函数的零点问题有两种常见方法，一是分离参数法，作出函数的图象，根据图象特征求参数的范围或判断零点个数；二是利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定参数的范围或零点的个数．跟踪训练3已知函数f(x)＝lnx－(2k＋1)x(k∈R)．(1)当k＝－eq\f(1,4)时，求证：f(x)<0；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若f(x)有两个零点，求k的取值范围．_____________________________________________________________