指数函数的概念高一上学期数学人教A必修 省赛获奖

4.2指数函数郑州外国语学校郭洪涛1.理解指数函数的概念和意义；2.能画出具体的指数函数的图像，并根据指数函数的图像探索和理解指数函数的性质；3.能运用指数函数的图像和性质解决有关数学问题；课时目标：4.2.1指数函数的概念

我是电脑病毒，在传播时我可以由一个复制成二个，二个复制成四个，……，我复制x次后，得到的病毒个数y与x有怎样的函数关系？问题一:分裂次数病毒个数123842x?病毒个数y与分裂次数x的函数关系为

：y=2x

………………….引入：

某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的函数关系式为：

问题二:y=0.85x探究：

问题一中函数y=2x的解析式与问题二中函数y=0.85x的解析式有什么共同特征？以上两个函数解析式都可以表示为：指数为自变量y=ax底数a是一个大于0且不等于1的常数引入：

一般地，函数y=ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x为自变量，定义域为R

.注意：（1）形如y=ax

；一、指数函数概念例1：下列函数中，哪些是指数函数？y=4xy=x4y=-4xy=4x+1例2：已知函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,则a的值为____2例3：已知y=f(x)是指数函数，且f(2)=4,求函数y=f(x)的解析式。y=2x（2）底数a＞0，且a≠1一、指数函数概念一、指数函数概念A

D

为什么规定a>0,且a1呢？则当x>0时，=0；无意义.当x则对于x的某些数值，可使

无意义.

如，这时对于在实数范围内函数值不存在.①若a=0，②若a<0，③若a=1，没有研究的必要性.则对于任何

是一个常量，思考：总结：1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1.2．求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件．求指数函数解析式的步骤：(1)设指数函数的解析式为f(x)＝ax(a>0且a≠1)．(2)利用已知条件求底数a.(3)写出指数函数的解析式．探究新知二、指数型函数模型

形如_______(k∈R，且k≠0；a>0且a≠1)的函数是指数型函数模型．y＝kax

4.2.2指数函数的图像和性质第一课时思考：怎样得到指数函数图像?

在直角坐标系中画出下列函数的图象：

(1)y=2x(2)y=(1／2)x(3)y=3x(4)y=(1／3)x

思考：指数函数图像的特点?通过图像，你能发现指数函数的哪些性质?探究新知

图象

性质定义域

:

值域

:

恒过点：

在R

上单调递增在R

上单调递减a>10<a<1R(0,+∞)(0,1)

yx1xy1奇偶性:非奇非偶一、指数函数的图像及性质思考：题型一：指数函数的图像例1：如图所示是下列指数函数的图象：(1)y＝ax；(2)y＝bx；(3)y＝cx；(4)y＝dx.则a，b，c，d与1的大小关系是 (

)A．a<b<1<c<d

B．b<a<1<d<cC．1<a<b<c<d

D．a<b<1<d<cB

总结：指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：在第一象限内，图象自下而上对应的底数依次增大．题型一：指数函数的图像B

C

解析当0<k<1时，方程有两解．当k<0时，方程无解；当k＝0或k≥1时，方程有一解；例4：

k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？题型一：指数函数的图像题型二：幂式比大小[解析]

(1)∵1.82.2，1.83可看作函数y＝1.8x的两个函数值，∵1.8>1，∴y＝1.8x在R上为增函数，又2.2<3，∴1.82.2<1.83.(2)∵y＝0.7x在R上为减函数，又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4.方法总结：利用单调性比大小题型二：幂式比大小[解析]

(3)法一：构造幂函数y=x3.2，在第一象限单调递增，∵0.5<0.6，∴0.53.2<0.63.2.法二：在同一个坐标系中分别作出y=0.5x和y=0.6x的图像可得.(4)方法同（3）可得3.7-4.1>3.8-4.1.方法总结：在第一象限底大值大题型二：幂式比大小[解析]

(5)∵1.90.4>1.90=1,0.92.4<0.90=1，∴1.90.4>0.92.4方法总结：找中间值题型三：指数型函数定义域、值域（最值）问题

题型三：指数型函数定义域、值域（最值）问题

解：若a>1，则f(x)在[1,2]上递增，若0<a<1，

则f(x)在[1,2]上递减，

解：若a>1，若0<a<1，题型三：指数型函数定义域、值域（最值）问题

例4：设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的

最大值是14，求a的值．利用换元法，转化为一元二次函数的最值问题来求解则原函数化为y＝(t＋1)2－2．令t＝ax,①当0<a<1时，②当a>1时，∴f(t)max＝f(a)此时f(t)为增函数．此时f(t)为增函数．＝(a＋1)2－2＝14，

(舍)．解析(舍)．注意点

换元之后要注意新元等价性

函数y＝af(x)定义域、值域的求法(1)定义域．函数y＝af