2023年高二数学空间向量在立体几何中的应用

2023年高二数学空间向量在立体几何中的应用

•必过教材关

1.异面直线所成角：

设异面直线”，分所成的角为仇则8s3瑞,其中Q,b分别是直线a,。的方向向量.

2.直线与平面所成角

如图所示，设/为平面a的斜线，/Ca=4,a为/的方向向量，"为平面

a的法向量，夕为，与a所成的角，则sinp=|cos(a,n)

3.二面角

(1)若AB,CD分别是二面角a-1-p的两个平面内与棱I垂直的异面直线，则二面角(或其补

角)的大小就是向量了言与而的夹角，如图(1).

图⑶

平面a与/相交于直线/,平面a的法向量为"1,平面”的法向量为"2,(ni,n2)=仇则

二面角a-//为，或7t一仇设二面角大小为夕，贝！||cos0|=|cosO|=^如图⑵⑶.

I.(2023年全国2)直三棱柱ABC-A向G中，NBCA=90。，M,N分别是4B”4cl的中

点，BC=CA=CC\,则与AN所成的角的余弦值为()

A.J-B.2C.叵D.正

105102

2.(2023年北京)如图，在三棱柱ABC-AIBIC中，AACC是边长为4的正方形.

平面ABCJ_平面AAiCiC,AB=3,BC=5.

(I)求证：AAi_L平面ABC；

(II)求二面角AI-BC!-BI的余弦值；

BD

(III)证明：在线段BG存在点D,使得ADLAiB,并求的值.

(4)求直线A3与平面A8G所成角的正弦值：

⑸求点A到平面48G的距离.

3.（2023年全国2）如图，四棱锥P-ABCO中，底面ABCQ为矩形，必，平面ABC。，E为

的中点.

4（2023年天津）.如图，AD//3C且A3=2BC,AO_LCr>,£G/M/MiEG=A。,

CD/IFG且CD=2FG,0GJ•平面ABC。，DA=DC=DG=2.

（I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN|平面COE；

（II）求二面角E—8C—尸的正弦值;

（III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面AOGE所成的角为60°,求线段DP的长

2023年高二数学空间向量在立体几何中的应用答案

1.（2023年全国2）直三棱柱中，ZBCA=90°,M,N分别是4囱，4G的中

点，BC=CA=CC\,则与4N所成的角的余弦值为（）

A.J-B.2C.叵D.也

105102

1.解析C：取BC的中点P,连结NP、AP,,：M,N分别是A|B|,4G的

中点，四边形NMBP为平行四边形，...BW/PN,.•.所求角的余弦值

等于NANP的余弦值,不妨令BC=CA=CCi=2,则AN=AP=也，NP=MB=

瓜»

『诉2+(府一诋2回

2X|AN|-|NP|__2x75x76"lo"

【另解】如图建立坐标系，令AC=BC=CiC=2,则以0,2,2),8(2,0,2),^(1,1,0),N[0,1,0),

BMAN0-1+4_V30

BM=(一1,1,一2),AN=(0,-1,-2),cos。=

18MHA7V|向6一10

选C

2.证明：（I）因为AAG。为正方形，所以AA~LAC.

因为平面ABCJ_平面AAlCiC,,且平面ABCC平面AA〕CiC=AC，

所以AR_L平面ABC.

(II)由(I)知，AA|_LAC,A%±AB.

由题意知A8=3,BC=5,AC=4,所以AB_LAC.

如图，以A为原点建立空间直角坐标系A一孙z,则

3（0,3,0）,A（0,0,4）,4（0,3,4）,G（4,0,4）.

/、n-A,B=0,3y—4z=0,

设平面4BG的法向量为〃=(x,y,z),则{即{；_「

n-A}C}-0.4x=U,

令z=3,则x=0,y=4,所以〃=(0,4,3).

设平面48G的法向量为加=(x,y,z)，则相.幽=0,如=0

即4z=0,

-4x+3y-4z=0,

可得，平面⑸8G的法向量为加=(3,4,0)

m-n_16

所以COS（〃2,"）=

|m|-|/?|25'

由题知二面角A|-BC|-B|为锐角，所以二面角ArBCrBt的余弦值为3.

25

(III)设。(x,y,z)是直线BG上的一点，且BD=£BC；.

所以（乂、-3,2）=几（4,一3,4）,解得x=44,y=3-32,z=4/l,所以

AD=（4A,3-3A,4/l）.

9

由AZ>43=0,即9-25/1=0,解得丸=石.

9r1BD.9

因为gw0,1,所以在线段8G上存在点D,使得AOJL4B,此时力7=4=玄.

25^CIZJ

（4）由（II）知，设平面A/G的法向量为〃=（。，4,3）,=（o,3,O）

II1212

直线AB与平面AjBCj所成角为6,则sin0=|cos<AB,n>\=------L=--=—

|A31|n|5x315

12

直线AB与平面ABe1所成角的正弦值为—

（5）由（II）知，设平面4阳的法向量为〃=（°，4,3）,他=（0,3,0）

\AB-n\4x3

点A到平面ABG的距离d=J-----=——=4.

3

所以点A到平面aBQ的距离为4

3.解析：(I)证明：连结80交AC于点0,连结OE.：底面ABC。为矩形,

工点0为3。的中点，又E为P。的中点，・・・O石//依，・・・OEu平面A石。，PBa

平面AEC,.**尸8〃平面AEC.

(II)以A为原点，直线AB、AD.AP分别为x、y、z轴建立

空间直角坐标系，设AB=a,则0(0,6,0),A(0,0,0),

E(O,g,g),C(a,V3,0),AE=(O§,；),AC=(a,6o),

A口6J

n•AE=——y+—z=0n

设〃=(x,y,z)是平面AEC的法向量，贝心2,2

n-AC=ax+6y=0

a

y=

解得：A/3,令x=g\得n=(6,-a,a)，

-5/3y

Z=

_1

又•••AB=(a,0,0)是平面AE£>的一个法向量，，|cos<A8,">b=cos60——,

a」3+4『2

解得。=士3

2

1111131上

•'-V£.Aa)=-x-x|AD|x|CD|x-|AP|=-x-—x——=----

228

4(2023年天津).如图，AD//6C且AO=2BC,4。_1。。，或；//4)且£6=">,

CD/IFGaCEX2FG,OG,平面ABC。，DA=DC=DG=2.

(I)若M为C尸的中点，N为EG的中点，求证：MN平面CQE；

(II)求二面角E-BC-尸的正弦值;

(III)若点P在线段DG上，且直线BP与平面AOGE所成的角为

60°,求线段DP的长

E

B

A

4.解：依题意，可以建立以。为原点，

分别以D4，DCDG的方向为％轴，V轴，z轴的正方向的空间直角坐标系(如图),

可得。(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),

3

E(2,0,2),尸(0,1,2),G(0,0,2),M(0,—，1),N(1,0,2).

2

(I)依题意£>。=(0,2,0),DE=(2,0,2).

设〃o=(x,y,z)为平面CCE的法向量,

n.,■DC-0,[2y=0,

则《即《'

n0-DE=0>[2x+2z=0,

不妨令z=-l,可得"o=(1>0,-1).

3

又MN=(1，1)，可得MN•公=0,

又因为直线平面CDE,所以MN〃平面CDE.

(II)依题意，可得BC=(-1.0,0),BE=(l,-2,2),

CF=<0,-1,2).

设〃=(x,y,z)为平面BCE的法向量,

〃BC=0,—x=0,

则《即《