2023年初二数学上学期知识点和典型例题总结

全等三角形

类型一:全等三角形性质的应用

1、如图，AAB恒丛ACE,AFAC,写出图中的相应边和相应角.④

思绪点拨：力生/IQ48和/C是相应边，NZ是公共角，N4和N4是相应

角，按相应边所对的角是相应角，相应角所对的边是相应边可求解.A解析：/

日和4C是相应边,/。和4E8。和是相应边，/力和/力是相应角，/8和/

C,N4&?和是相应角.

总结升华:已知两对相应顶点，那么以这两对相应顶点为顶点的角是相应

角，第三对角是相应角；再由相应角所对的边是相应边，可找到相应边.

已知两对相应边,第三对边是相应边，相应边所对的角是相应角3举一

反三:

【变式1】如图，△/日。丝/\〃8£问线段/£和。。相等吗？为什么?A

【答案】证明：由△/8四/\〃8£得AB=DB,BC=BE,

贝l］AB-BE=DB-BC,即AE=CD。

【变式2】如右图，画远互踵］,\AD=BC\a

证明:•.•AADEwACBF,AD=BC

求证：AE〃CFA［答案】INAED=NF

.'.AE/7CFA

2、如图，已知△ABC之△DEF,NA=30°,NB=50°,BF=2,求N

DFE的度数与EC的长。A思绪点拨：由全等三角形性质可知：NDFE=N

ACB,EC+CF=BF+FC,所以只需求NACB的度数与BF的长即可。

解析：在AABC中，4ZACB=1

80°-ZA-ZB,

又NA=30°,NB=50°,

所以NACB=10O°3又由于

△ABC^ADEF,A所以NACB=NDFE,

BC=EF（全等三角形相应角相等，相应边相等）。

所以NDFE=100°

EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。

总结升华:全等三角形的相应角相等,相应边相等。

举一反三：A【变式1】如图所示，AACD^A

ECD,ACEF之△BEF,NACB=90°.A求证：(1)CD±

AB;(2)EF〃AC.

【答案】

(1)由于△ACD之AECD,A所以N

ADC=NEDC(全等三角形的相应角相等).

由于NADC+NEDC=180°,所以N

ADC=NEDC=90°.

所以CD_LAB.

（2）由于ACEFgABEF,

所以NCFE=NBFE（全等三角形的相应角相等）.

由于NCFE+NBFE=180°,

所以NCFE=NBFE=90°3由于NACB=90°,所以NACB=NBFE.

所以EF〃AC.4类型二：全等三角

形的证明A3、如图,AC=BD,DF=CE,NEC

B=NFDA,求证：△ADFgz^BCE.A思绪

点拨：欲证AADF之Z\BCE,由已知可知已具有一边一角，由公理的条件判断还

缺少这角的另一边,可通过AC=BD而律解析：■;AC=BD（已知）A

/.AB-BD=AB-AC（等式性质）

即AD=BC

AD=BC（已证）

ZFDA=ZECB（已知）

{=（己知）________A

.-.△ADF^ABCE（SAS）A总结升华：运用全等三角形证明线段（角）相等

的一般方法和环节如下：A（1）找到以待证角（线段）为内角（边）的两个三

角形，

（2）证明这两个三角形全等；A（3）由全等三角形的性质得出所要证的

角（线段）相等.4举一反三：A【变式1】如图，已知AB〃DC,AB

=DC,求证：AD〃BO【答案】,:AB〃CDAZ3=Z4^

=已知）

jz3=Z4（BuE）

在4ABD和△CDB中A|［班=£0：已知1/.AAB

CDB（SAS）

.'.Z1=Z2（全等三角形相应角相等）A」.AD〃BC（内错

角相等两直线平行）

【变式2】如图，已知EB1_AD于B,FCLAD于C,且EB=FC,AB=CD.A

求证AF=DE.A【答案】AD（已知）

，NEBD=90°（垂直定义）A

同理可证NFCA=90°A/.ZEBD=

ZFCA

•：AB=CD,BC=BCA/.

AC=AB+BC

=BC+CDA=BD

在4ACF和BE中A

AC=DB（己证）

ZFCA=ZEBD（已证）

FC=EB（已知）.

F^ADBE（S.A.S）A「.AF=DE（全等三角形相应边相等）A类型三:

综合应用A4、如图,AD为△ABC的中线。求证:AB+AO2AD.

思绪点拨：要证AB+AO2AD,由图想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD,所

以AB+AC+BO2AD,所以不能直接证出。由2AD想到构造一条线段等于2AD,

即倍长中线。

解析：延长AD至E,使DE=AD,连接BEA由于AD为AABC的中

线，

所以BD=CD.A在4ACD和AEBD中，

但.=CD（已证）

<ZBDE=ZADC（对顶角相等）

[AD=ED（已作）

所以AACD之AEBD（SAS）.

所以BE=CA.A在AABE中，AB+BE>AE,所以AB+AC>2

AD.A总结升华:通过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形

中。

举一反三:A【变式1】已知:如图，在RtAABC中,AB=AC,ZBAC=9

0°,N1=N2,CE_LBD的延长线于E,

求证:BD=2CE.

【答案】分别延长CE、BA交于F.A由于BE_LCF,所以NBEF二

NBEC=90°.A在ABEF和ABE

C中，

rZl=Z2,（己知）

,BE=BE,（公共边）

1/B&F=NB£C.（已证）

所以ABEF之△BEC（ASA）.

所以CE=FE=ELF.

又由于NBAC=90°,BE_LCF.

所以NBAC=NCAF=90°,N1+NBDA=

90°,N1+NBFC=90°.A所以N

BDA=ZBFC.A在AABD和AACF

卜胡C=ZC4F,（垂直定义）

<ABDA=ZBFC,（已证）

中A（已知）

所以AABD之AACF（AAS）

所以BD=CF.所以BD=2CE.

A5、如图，AB=CD,BE=DF,NB=ND,

求证：(1)AE=CF,(2)AE〃CF,(3)NAFE=NCEFA思绪点拨:

(1)直接通过△ABEgACDF而得，⑵先证明NAEB=NCFD,(3)由

(1)(2)可证明4AEF之ZkCFE而得，总之，欲证两边(角)相等，找这两边(角)

所在的两个三角形然后证明它们全等.

解析:

(1)在4ABE与ZkCDF中

[AB=CD（已知）

,ZB=ZD（已证）

BE=DF（已知）a.'.AABE^ACDF（SAS）

,AE=CF（全等三角形相应边相等）A（2）AEB=NCFD（全等三

角形相应角相等）

「.AE〃CF（内错角相等，两直线平行）A（3）在4AEF与4CFE中A

AE=CF（己证）

ZAEF=ZCFE（己证）

EF=FE（公共边）

.'.△AEF^ACFE（SAS）ANAFE=NCEF（全等三角形相应角相

等）A总结升华:在复杂问题中，常将已知全等三角形的相应角（边）作为鉴定

另一对三角形全等的条件.

举一反三：

【变式1】如图，在aABC中，延长AC边上的中线BD到F,使DF=BD,延长

AB边上的中线CE到G,使EG=CE,求证AF=AG.

【答案】在

-AE=BE（已知）

-NAEG=NBEC（对顶角相等）

GE=CE（已知）

.,.△AGE^ABCE(SAS)

AG=BC（全等三角形相应边相等）

在△AFD与4CBD中

AD=CD（己知）

•4ZADF=ZCDB（对顶角相等）

FD=BD（已知）

AFD^ACBD（SAS）A：.AF=CB（全等三角形相应边

相等）

,--AF=AG（等量代换）

6、如图AB=AC,8口，人0于口，CE_LAB于E,BD、CE相交于F.A

求证：AF平分NBAC.A思绪点拨：若能证得得AD=AE,由于NADB、

NAEC都是直角，可证得Rt^ADF丝Rt^AEF,而要证AD=AE,就应先考虑Rt

△ABDRtAAEC,由题意已知AB=AC,NBAC是公共角，可证得RtZ\ABDg

RtAACE.

解析：在RtAABD与RtAACE中A

rZBAD=ZCAE（公共角）4

v<ZADB=ZAEC=90°（垂直的定义）D

AB=AC4,"L“\

C

RtAABD^RtAACE（AAS）A：.AD=AE（全等**

三角形相应边相等）

在RtAADF与RtAAEF中

rAF=AF（公共边）

・•<

AD=AE（己证）/.Rt△ADF^RtAAEF（HL）A

NDAF=NEAF（全等三角形相应角相等）A••・AF平分NBAC（角平分线

的定义）A总结升华:条件和结论互相转化,有时需要通过多次三角形全等得

出待求的结论。A举一反三:

【变式1】求证:有两边和其中一边上的高相应相等的两个三角形全等.

【答案】根据题意，画出图形，写出已知,求证.

A

已知：如图，在AABC与AA'B'C，中.AB=A'B',BC=B'C',ADJLBC于D,

A'D'"LB'C'于D’且AD=A'D，

求证：△ABC四△A'B'C'

证明：在RtZkABD与RtZkA'B'D'中

=（已知）

・•|AD=A，D、（已知）

.,.RtAABD丝RtZkA'B'

（HL）

，NB=NB'（全等三角形相应角

相等）4在AABC与AA，B'C'中

（AB=A/By（已知）

•.•,NB=NB，（己证）

BC=B，C，（已知）

.,.△ABC^AAzB'C'（SAS）A【变式2】已知，如

图,AC、BD相交于0,AC=BD,NC=ND=90°求证：OLODA【答案】

NC=ND=90°

「.△ABD、Z\ACB为直角三角形

fAB=AB（公用）

，D=AC（已知）A

在Rt^ABD和RtAABC中A

.,.RtAABD^RtAABC（HL）

「.AD=BC

在aAOD和△BOC中a

fZD=ZC（已知）

IZAOD=ZBOC（对顶角相等）

[AD=BC（己证）

.,.△AOD^ABOC（AAS）AOD=0C.7AA、/ABC

中，AB=AC,D是底边BC上任意一点，DE±AB,DF±AC,CG,AB垂足分别

是E、F、G..

试判断：猜测线段DE、DF、CG的数量有何关系？并证明你的猜想。

思绪点拨:寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径A解析:结论：DE+

DF=CGA方法一：（截长法）板书此种方法（3分钟）

作DM_LCG于M

,/DEJLAB,CG±AB,DMJLCG

四边形EDMG是矩牍DE=GM

DM//AB

NMDC=NBA,.•AB=AO

二.NB=NFCDANMDC=NFCD

而DM±CG,DF±AC

/.ZDMC=NCFDA在/MDC和/FCD中

、乙DMC=£CFD

<AMDC=ZFCD

[DC=CD

.../MDC丝/FCD(AAS)

MC=DF

，DE+DF=GM+MC=CGA总结升华:

方法二（补短法）作CM，ED交ED的延长线于M（证明过程略）4

总结：截长补短的一般思绪,并由此可以引申到截长法有

两种截长的想法

方法三（面积法）使用等积转化A

引申：假如将条件"D是底边BC上任意一点”改为“D是底边BC的延长线

上任意一点”，此时图形如何?DE、DF和CG会有如何的关系?画出图形，写出

你的猜想并加以证明

举一反三:A【变式1】三角形底边上的任意一点到两个腰上的距离和等

于腰上的高。

【答案】证明的过程使用三种证明方法，涉及：（1）截长法（2）补短法（3）

面积法

轴对称

考点一、关于“轴对称图形”与"轴对称"的结识

典例1,下列几何图形中,错误!线段错误!角错误!直角三角形错误!半圆，其中一定

是轴对称图形的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.正n边形有条对称轴,圆有_________________条对称轴

考点二、轴对称变换及用坐标表达轴对称

典例：1、如图,Rt^ABC,ZC=9O°,NB=30°,BC=8,D为AB中点，

P为BC上一动点，连接AP、DP,则AP+DP的最小值是

2、已知等边ABC,E在BC的延长线上，CF平分NDCE,P

为射线BC上一点，Q为

图（2）

CF上一点,连接AP、PQ.若AP=PQ,求证NAPQ是多少度

考点四、线段垂直平分线的性质

⑴线段是轴对称图形，它的对称轴是_____________________

（2）线段的垂直平分线上的点到____________________________相等归类回

忆角平分线的性质

⑴角是轴对称图形，其对称轴是__________________⑵角平分线上的点到________

_________________________相等

典例1、如图，“BC中,NA=9（r,BD为/ABC平分线，DE±BC,E是BC的中点，求

NC的度数。

2、如图，△ABC中,AB=AC,PB=PC,连AP并延长交BC于D,求证：AD垂直平分

BC

3、如图,DE是因ABC中AC边的垂直平分线,若BC=8厘米AB=10厘米则因EBC

的周长为（）

A.16厘米B.18厘米C.26厘米D.28厘米

4、如图,NBAC=30°,P是NBAC平分线上一点，PMIIAC,PD±AC,PD=28,则AM=

5、如图，在RtaABC中，NACB=90°,NBAC的平分线交BC于D.过C点作C

G，AB于G,交AD于E.过D点作DFJ_AB于F.下列结

①/CED=NCDE；②|SMEC|：|S「EG=AC|：同；③〃DF=2/ECD;。

④SACQ=SMFB；⑤CE=DF.其中对的结论的序号是（）

A.①③④B.①②⑤C.③④⑤D.①③⑤

考点五、等腰三角形的特性和辨认

典例1、如图,AABC中，AB=AC=8,D在BC上，过D作DE〃AB交AC于E,DF〃AC

交AB于F,则四边形AFDE的周长为

A

2、如图，△ABC中，BD、CD分别平分NABC与Z

且EFIIBC,若AB=7,BC=8,AC=6,则^AEF周长为（）

A.15B.14C.13D.18

3、如图，点B、D、F在AN上，C、E在AM上，且

AB=BC=CD=ED=EF,NA=20。，贝！|/FEB=__________度.

4、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40。，则它的一个底角的度数是一

5、MBC中，DF是AB的垂直平分线,交BC于D,EG是AC的垂直平分线,交BC于E,

若NDAE=20°，则NBAC等于°

6、从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等

腰三角形纸片的底角等于

7、已知，在"BC中,NACB=90°,点D、E在直线AB上，且AD=AC,BE=BC,则NDCE

=________________度.

DE±AB于点E,DF±AC于点F。试

9、如图，E在MBC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F,

DF=EF,BD=CE.

求证:"BC是等腰三角形.C

E

考点六、等边三角形的特性和辨认

⑴等边三角形的各____相等，各—相等并且每一个角都等于

（2）三个角相等的三角形是三角形⑶有一个角是60。的

三角形是等边三角形

特别的：等边三角形的中线、高线、角平分线______________________________

典例1、下列推理中，错误的是（）

A.,.•NAn/BuNC,.'△ABC是等边三角形B.：AB=AC,且NB=/C,.'△ABC是

等边三角形

C.VZA=60°,ZB=60°,.,.△ABC是等边三角形D.VAB=AC,ZB=60°,AAABC

是等边三角形

2、如图，等边三角形ABC中，D是AC的中点,E为BC延长线上一点且CE=CD,DM±

8（：,垂足为\1。

求证:M是BE的中点。

考点七、30。所对的直角边是斜边的一半

曲例

2、如图:"DC中，ZA=15°,zD=90°,BAC

垂直平分线上,AB=34,则CD=()

A.15B.17

C.16D.以上全不对

3、一张折叠型方桌如图甲，其主视图如图乙，已知A0=B0=40cm,C0=D0=30

cm,现将桌子放平，两条桌腿叉开的角度NAOB刚

好为120。,求桌面到地面的距离是多少？

第4题图

甲

4、DF，AC于F,NBAC=12(r,BC4

E

二6,则DE+DF二