黑龙江省哈尔滨市第十职业高级中学2021年高三数学理测试题含解析

黑龙江省哈尔滨市第十职业高级中学2021年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.记max{a，b}为a和b两数中的较大数．设函数和的定义域都是R，则“和都是偶函数”是“函数为偶函数”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件.C.充要条件.

D.既不充分也不必要条件.参考答案：A2.若复数，则复数（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为 A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：C略3.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）；以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c的极坐标方程为．则直线l和曲线C的公共点有(

)

A．0个

B．l个

C．2个

D．无数个参考答案：B4.已知，，则（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C5.设映射是集合到集合的映射。若对于实数，在中不存在对应的元素，则实数的取值范围是A.

B.Ｃ.D.参考答案：B6.在平行四边形中，为一条对角线，

(

)A．（2，4）

B．（3，5）

C．（—2，—4）

D．（—1，—1）参考答案：D7.函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（

）（A）在区间上单调递减

（B）在区间上单调递增

（C）在区间上单调递减

（D）在区间上单调递增

参考答案：B由题意得，，所以函数的解析式为，当时，则，又由余弦函数的图象与性质可知，函数在单调递增，函数f(x)在上单调递增，故选B.

8.如图,四边形是正方形，延长至，使得.若动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，其中，下列判断正确的是………………（

）（A）满足的点必为的中点.（B）满足的点有且只有一个.（C）的最大值为3.（D）的最小值不存在.

参考答案：C当时，，此时位于处，所以（A）错误。当时，此时位于处,当时，此时位于处,所以满足满足的点有且只有一个错误。所以(B)错误。将图象放入坐标系设正方形的边长为1，则,设,则由得，即。若点位于上，则，此时，，所以。若点位于上，则，此时，，所以。若点位于上，则，此时，，即，所以。若点位于上，则，此时，，即，所以。若点位于上，此时，，所以。综上，即的最大值是3，最小值为0.所以选C.9.《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽AD=3丈，长AB=4丈，上棱EF=2丈，EF∥平面ABCD．EF与平面ABCD的距离为1丈，问它的体积是（）A．4立方丈 B．5立方丈 C．6立方丈 D．8立方丈参考答案：B【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】过E作EG⊥平面ABCD，垂足为G，过F作FH⊥平面ABCD，垂足为H，过G作PQ∥AD，交AB于Q，交CD于P，过H信MN∥BC，交AB于N，交CD于M，则它的体积V=VE﹣AQPD+VEPQ﹣FMN+VF﹣NBCM，由此能求出结果．【解答】解：过E作EG⊥平面ABCD，垂足为G，过F作FH⊥平面ABCD，垂足为H，过G作PQ∥AD，交AB于Q，交CD于P，过H信MN∥BC，交AB于N，交CD于M，则它的体积：V=VE﹣AQPD+VEPQ﹣FMN+VF﹣NBCM=+S△EPQ?NQ+=++=5（立方丈）．故选：B．10.已知，集合，则（A）

（B）（C）

（D）参考答案：C因为A={x|x＜-2或x＞2}，所以，故选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列的首项，且，则数列的前10项的和为

．参考答案：1023

12.函数f（x）=sinxcosx的最小正周期是．参考答案：π考点：二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：根据二倍角的正弦公式，化简可得f（x）=sin2x，再由三角函数的周期公式即可算出函数f（x）的最小正周期．解答：解：∵sin2x=2sinxcosx∴f（x）=sinxcosx=sin2x，因此，函数f（x）的最小正周期T==π故答案为：π点评：本题给出三角函数式，求函数的周期，着重考查了二倍角的三角函数公式、三角函数的图象与性质和三角函数周期的求法等知识，属于基础题．13.函数的定义域为

.参考答案：14.已知函数，若函数h（x）=f（x）﹣mx﹣2有且仅有一个零点，则实数m的取值范围是．参考答案：（﹣∞，﹣e]∪{0}∪{﹣}【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】画出图象f（x）=转化为函数f（x）与y=mx﹣2有且仅有一个公共点，分类讨论，①当m=0时，y=2与f（x）有一个交点；②当y=mx+2与y=相切，结合导数求解即可，求解相切问题；③y=mx+2过（1，2﹣e）（0，2），动态变化得出此时的m的范围．【解答】解：∵f（x）=∴f（x）=∵函数h（x）=f（x）﹣mx﹣2有且仅有一个零点，∴f（x）与y=mx+2有一个公共点∵直线y=mx+2过（0，2）点①当m=0时，y=2与f（x）有一个交点②当y=mx+2与y=相切即y′=切点（x0，），m=﹣=﹣+2，x0＞1x0=（舍去），x0=3∴m==③y=mx+2过（1，2﹣e），（0，2）m=﹣e当m≤﹣e时，f（x）与y=mx+2有一个公共点故答案为：（﹣∞，﹣e]∪{0}∪{﹣}15.在边长为的等边中，为边上一动点，则的取值范围是．参考答案：因为D在BC上，所以设，则。所以，因为，所以，即的取值范围数。16.已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为______________.参考答案：略17.设f(x)=5－g(x)，且g(x)为奇函数，已知f（－5）=－5,则f(5)的值为

。参考答案：15三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知定点，动点是圆（为圆心）上一点，线段的垂直平分线交于点．

（I）求动点的轨迹方程；（II）是否存在过点的直线交点的轨迹于点，且满足（为原点）．若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．参考答案：解：（1）由题意得|PA|=|PB|且|PB|+|PF|=r=8.故|PA|+|PF|=8>|AF|=4∴P点轨迹为以A、F为焦点的椭圆.……………3分设椭圆方程为.…………ks5u……6分（2）假设存在满足题意的直线L.易知当直线的斜率不存在时,不满足题意.故设直线L的斜率为.

………………7分

………8分……①.…10分……………9分…②.由①、②解得…………ks5u……11分……12分19.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程．（2），直角坐标为（2，2），，利用点到直线的距离公式及其三角函数的单调性可得最大值．【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程：．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程：x+2y﹣3=0．（2），直角坐标为（2，2），，∴M到l的距离≤，从而最大值为．20.已知椭圆C:的焦距为，且C过点.(1)求椭圆C的方程；(2)设B1、B2分别是椭圆C的下顶点和上顶点，P是椭圆上异于B1、B2的任意一点，过点P作轴于M，N为线段PM的中点，直线B2N与直线交于点D，E为线段B1D的中点，O为坐标原点，则是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由.参考答案：（1）（2）见解析【分析】（1）由焦距为，得，由椭圆过点，得，再由a2＝b2+c2，解得a＝2，b＝1，由此能求出椭圆C的方程；（2）设P（x0，y0），x0≠0，则M（0，y0），，由此能求出直线B2N的方程，令y＝﹣1，得，由B2（0，﹣1），E为线段B1D的中点，得，从而，，由此能证明．【详解】(1)由题意各焦距为，∴，又∵椭圆过点，∴代入椭圆方程得，∵，解得，，故所求椭圆C的方程是；(2)证明：设，，则，，∵点P在椭圆C上，，即，又，∴直线的方程为，令，得，∴，又，E为线段的中点，∴，∴，，因.∴，即.【点睛】本题考查椭圆的方程的求法，考查线线垂直的证明，考查直线与椭圆的位置关系、韦达定理、向量的数量积等基础知识，综合程度较高，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，属于中档题．21.已知曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（+θ）=2（1）将曲线C上各点的纵坐标伸长为原来的两倍，得到曲线C1，写出曲线C1的极坐标方程．（2）射线θ=与C1、l的交点分别为A、B，射线θ=﹣与C1、l的交点分别为A1、B1，求△OAA1与△OBB1的面积之比．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）曲线C的参数方程中用代y，可得曲线C1的参数方程，化为普通方程和极坐标方程即可得到；（2）由极坐标表示点A、A1和B、B1，运用三角形的面积公式计算△OAA1与△OBB1的面积，即可得到它们的比．【解答】解：（1）在曲线C的参数方程（θ为参数）中用代y，得到曲线C1的参数方程（θ为参数），化为普通方程为x2+y2=4，故曲线C1的极坐标方程ρ=2；（2）依题意知点A、A1的极坐标分别为（2，），（2，﹣），设B、B1的极坐标分别为（ρ1，），（ρ2，﹣），则ρ1ρ2=?===32，所以=2sin=，=ρ1ρ2sin=16×=8，故=．【点评】本题考查直角坐标和极坐标的转化和参数方程与极坐标方程的转化，考查运算能力，属于中档题．22.（本题满分16分）已知抛物线：，直线交此抛物线于不同的两个点、．（1）当直线过点时，证明为定值；（2）当时，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；（3）如果直线过点，过点再作一条与直线垂直的直线交抛物线于两个不同点、．设线段的中点为，线段的中点为，记线段的中点为．问是否存在一条直线和一个定点，使得点到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不