2023学年完整公开课版等比数列

2.4.1

等比数列第一课时1、观察下列数列，指出它们的共同特征：(1)1，2，4，8，…．(2)…．(3)1，20，202，203，…．(4)活期存入10000元，年利率是1.98%，按照复利，5年内各年末本利和分别是10000(1+0.0198)，10000(1+0.0198)2，10000(1+0.0198)3，10000(1+0.0198)4，10000(1+0.0198)5．一、引入共同特征：第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数就叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。1.等比数列的定义：或二、新课2.等比数列的定义的符号语言：注：(1)等比数列的首项不为0,即a1≠0。(2)等比数列的每一项都不为0，即an≠0。(3)公比不为0，即q≠0。1.下列数列是等比数列吗？是的话，请指出它们的公比q.思考：在等比数列中，各项的符号与公比q有什么关系？若q>0，则各项的符号与a1相同；若q<0，则各项的符号正负相间.是，q=1/2是，q=-1是，q=1不一定是三、练习当a＝0时;它只是等差数列。当a≠0时;它既是等差数列又是等比数列。2.用下列方法表示的数列中能确定是等比数列的是

.①已知a1=2，an=3an+1；②1，0，1，0，…；③1，-1，1，…，(-1)n+1；④sin1，sin2，sin4，sin8，…，sin2n-1；⑤2a，2a，2a，…，2a三、练习①③⑤

如果在a与c中间插入一个数b，使a，b，c组成一个等比数列，则中间的数b叫做a与c的等比中项，且注意：（1）若实数a、c有等比中项，则a、c符号相同；（2）若实数a、c有等比中项，则该等比中项必有两个值；二、新课练习:

能否在下列两个数中间再插入一个数，使这三个数组成一个等比数列？可以的话，请求出插入的数字.（1）-12，0；（2）2，8；（3）-3，3；（4）-6，-1.5；an2=an-1·an+1.即通项公式为：an=a1qn-1分析：∵n=1时上式仍成立n－1个二、新课3.已知等比数列{an}的首项是a1，公比是q，则通项公式是___________;累乘法an=a1qn-1探究：已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，试讨论该数列的类型.分析：（1）当q<0时，{an}为摆动数列；（2）当0<q<1时，①若a1>0，则{an}为递减数列；②若a1<0，则{an}为递增数列；（3）当q=1时，{an}为常数列；（4）当q>1时，①若a1>0，则{an}为递增数列；②若a1<0，则{an}为递减数列；二、新课an=a1qn-13.在等比数列{an}中，（1）a1=3，an=192，q=2，求n；（2）a3=12，a4=18，求a1和a2；（3）a3=48，a7=3，求a1和q

；（4）a1+a2=3，a4+a5=24，求an；n=7三、练习an=2n-14.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；证明∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1).由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.∴数列{an＋1}是等比数列.三、练习(2)求数列{an}的通项公式.解由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列.∴an＋1＝2·2n－1＝2n.即an＝2n－1.跟踪训练2

数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…).(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；解a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15.又a1－1＝－2，∴数列{an－n}是以－2为首项，3为公比的等比数列.(2)求数列{an}的通项公式.解由(1)知an－n＝－2·3n－1，∴an＝n－2·3n－1.思考：我们知道，等差数列{an}满足下列公式（1）an=am+(n-m)d；（2）若m+n=p+q，则a