素材matlab从入门到精通配套第7章

第7章符号运算掌握对符号变量的定义和基本操作。掌握对符号表达式的定义和基本操作。掌握符号矩阵的生成和运算方法。了解符号微分、符号积分运算方法。掌握符号方程的求解方法。科学计算可分为两类：

一类是纯数值的计算，例如求函数的值，以及方程的数值解等等；

另一类计算是符号运算，又称代数运算，这是一种智能化的计算，处理的是符号。符号可以代表整数、有理数、实数和复数，也可以代表多项式、函数，还可以代表数学结构，如集合、群的表示等等。

我们在数学的教学和研究中进行的数学运算多为符号运算。科学计算7.1符号变量、符号表达式和符号方程的生成符号数学工具箱定义了MATLAB的一个新的数据类型：符号对象（symbolicobject），其类型名标识为“sym”。符号对象内部的储存内容是字符串，用来表示符号变量、符号表达式以及矩阵等等。生成符号变量和符号表达式的函数是sym和syms。7.1符号变量、符号表达式和符号方程的生成7.1.1使用sym函数生成符号变量和符号表达式sym函数可以生成单个的符号数值、符号变量和符号表达式。格式为：S=sym(x)它生成了一个符号对象S。x可以是字符、字符串、表达式或字符表达式等等。如果x是一个数值，则得到该数值的符号表示。如果x是一个字符串，则可生成一个符号变量或符号表达式。7.1符号变量、符号表达式和符号方程的生成sqrt(2)是对数值2进行开方运算；在aa=sqrt(sym(2))中，将2用sym命令转化为符号对象，这样，就得到了使用字符串形式表示的“根号2”。可使用double命令获取符号对象aa对应的数值运算结果。7.1符号变量、符号表达式和符号方程的生成7.1.2使用syms函数定义符号变量和符号表达式syms函数可以一次创建多个符号变量.调用格式为：symsvar1,var2,var3...，变量名之间的间隔也可以是空格。【例7-2】使用syms函数定义符号变量和符号表达式。输入以下语句：syms

a

b

c

xf=a*x^2+b*x+cf-a7.1符号变量、符号表达式和符号方程的生成7.1.3符号方程的生成方程与函数的区别在于函数是由数字和变量组成的代数式，而方程则是包含了函数的等式，在MATLAB中，生成符号方程的方法与使用sym函数生成符号表达式类似。【例7-3】用sym生成符号方程：a*x^2+b*x+c=0。>>e1=sym('a*x^2+b*x+c=0')结果为：e1=a*x^2+b*x+c=07.2符号变量的基本操作7.2.1

Findsym函数：寻找符号变量findsym可以实现对表达式中所有自由变量或指定数目的独立自变量的自动认定。具体如下：findsym(S)寻找表达式S中所有符号变量；findsym(S,

n)从表达式S中找出最靠近字母x的n个符号变量。若S中有两个符号变量与x的距离相等，

ASCII码大者优先。常量pi,

i,j不作为符号变量。7.2符号变量的基本操作7.2.2符号运算的精度确定MATLAB提供了digits和vpa函数，用以控制符号运算的精度。digits(n)用于设置符号计算以n位精度（小数位数）进行，其默认精度为32位。vpa函数取“variable

precision

arithmetic”之意，其中xs=vpa(x)以当前digits函数指定的精度计算x，结果赋给xs；xs=vpa(x,n)在n位精度下，给出x的数值运算结果xs。注意：经过vpa函数转换后的变量xs仍然是sym类型。7.3符号表达式的基本操作7.3.1四则运算符号表达式也与通常的算术表达式一样，可以进行加、减、乘、除等四则运算。【例7-6】符号表达式的四则运算输入以下语句：syms

x

y

a

bfun1=sin(x)+cos(y)fun2=a+bfun3=fun1*fun27.3符号表达式的基本操作7.3.2符号多项式的因式分解与展开MATLAB提供了对符号多项式进行因式分解与展开的函数，函数的调用格式为：factor(S)：对符号多项式S分解因式。expand(S)：对符号多项式S进行展开。collect(S)：对符号多项式S按照默认变量x合并同类项。collect(S,v)：对符号多项式S按变量v合并同类项。horner(f)：将一般的符号多项式f转换成嵌套形式。7.3符号表达式的基本操作7.3.3提取有理式的分子和分母如果符号表达式是一个有理分式或可以展开为有理分式，可利用numden函数来提取符号表达式S中的分子和分母。其一般调用格式为：[n,d]=numden(S)该函数提取符号表达式S的分子（numerator）和分母（denominator），分别将它们存放在n与d中。7.3符号表达式的基本操作7.3.4符号表达式的化简simplify函数simplify函数利用Maple的化简规则对符号表达式进行化简。其中用到大量的代数恒等式以及大量的函数恒等式，包括求和、整数幂、开方、分数幂、三角函数、指数函数、对数函数、贝塞尔函数、超几何分布函数、伽马函数等等，力求得到最简结果。simple函数的使用simple(f)也是一种化简的函数，它尝试用多种不同的化简算法对符号表达式进行化简，以找到对应的最简形式，其格式如下：[r,how]=simple(f)返回的r为化简后的符号表达式，how为所采用的简化方法。如果不指定输出项r和how，则会输出尝试的所有化简方法名称及对应的化简结果。7.3符号表达式的基本操作7.3.5符号表达式的替换MATLAB的符号数学工具箱提供了符号表达式的替换函数subs和subexpr，subs函数是用指定符号替换符号表达式中的某一特定符号，调用格式为：R=subs(S,old,new)它可用新的符号变量new替换原来符号表达式S中的old。当new为数值形式时，还可得到符号表达式对应的数值解。old和new在特定情况下可省略。subexpr函数用于将符号表达式中重复出现的字符串用符号变量代替，从而使符号表达式得到简化。7.3符号表达式的基本操作7.3.6反函数的求解finverse函数用来求解符号函数对应的反函数。格式为：finverse(f,v)它返回自变量为v的符号函数f的反函数，若v省略，得到的反函数自变量与原函数相同。7.3符号表达式的基本操作7.3.7复合函数compose(f,g),返回f=f(x)和g=g(y)的复合函数f(g(y))，以y为自变量compose(f,g,z)，返回f=f(x)和g=g(y)的复合函数f(g(z))，以z为自变量compose(f,g,x,z)，返回复合函数f(g(z))，并使x成为f函数的独立变量。例如，设f=cos(x/t)，则compose(f,g,x,z)返回复合函数cos(g(z)/t)，而compose(f,g,t,z)返回cos(x/g(z))compose(f,g,x,y,z)，返回复合函数f(g(z))，并且使x与y分别成为f与g函数的独立变量。假设f=cos(x/t)，g=sin(y/u)，compose(f,g,x,y,z)返回cos(sin(z/u)/t)，而compose(f,g,x,u,z)返回cos(sin(y/z)/t)7.4符号矩阵的生成和运算7.4.1符号矩阵的生成创建符号矩阵的方法有以下几种：用sym命令直接创建符号矩阵；用类似创建普通数值矩阵的方法创建符号矩阵；

由数值矩阵转换为符号矩阵。符号矩阵的输出格式与数值矩阵有所不同，其每一行用“[]”标记。7.4符号矩阵的生成和运算【例7-18】使用sym函数将3阶Hilbert矩阵转换为符号矩阵。>>h=hilb(3)h=1.0000

0.5000

0.33330.5000

0.3333

0.25000.3333

0.2500

0.2000>>h1=sym(h)h1

=[ 1,

1/2,

1/3][

1/2,

1/3,1/4][

1/3,

1/4,1/5]7.4符号矩阵的生成和运算7.4.2符号矩阵的运算A+B、A-B符号阵列的加法与减法。若A与B为同型阵列时，A+B、A-B分别对对应元素进行加减；若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的元素进行加减。A*B，符号矩阵乘法。为线性代数中定义的矩阵乘法。按乘法定义要求必须有矩阵A的列数等于矩阵B的行数，或者至少有一个为标量时，方可进行乘法操作，否则将返回一出错信息。A.*B，对应元素相乘。*B为按参量A与B对应的元素进行相乘。A与B必须为同型阵列，或至少有一个为标量。A\B，符号矩阵的左除法。X=A\B为符号线性方程组A*X=B的解。A\B相当于inv(A)*B。7.4符号矩阵的生成和运算A.\B，对应元素左除法。A/B，符号矩阵的右除法。X=B/A为符号线性方程组X*A=B的解。B/A相当于B*inv(A)。A./B，对应元素右除法。A^B，矩阵的方幂。计算矩阵A的整数B次方幂。若A为标量而B为方阵，A^B用方阵B的特征值与特征向量计算数值。若A与B同时为矩阵，则返回一错误信息。A.^B，对应元素的方幂。A'，符号矩阵转置。若A为复数矩阵，则A'为复数矩阵的共轭转置。

A.'，符号阵列转置，对复数阵，也不涉及到共轭运算。

A.'为真正的矩阵转置，其没有进行共轭转置。7.5符号微积分7.5.1符号极限limit函数用来求符号函数的极限。其格式如下：limit(F,x,a)计算符号表达式F在x→a条件下的极限；limit(F,a)

计算符号表达式F中由默认自变量趋向于a条件下的极限；limit(F)

计算符号表达式F在默认自变量趋向于0条件下的极限；limit(F,x,a,‘right’)

和limit(F,x,a,’left’)

计算符号表达式F在x→a条件下的右极限和左极限。7.5符号微积分7.5.2符号微分diff函数用来求符号微分，其格式如下：diff(S)，求符号表达式S对于默认自变量的微分；diff(S,‘v’)，求符号表达式S对于自变量v的微分；diff(S,n)，求符号表达式S对于默认自变量的n次微分；diff(S,

‘v’,n)，求符号表达式S对自变量v的n次微分。7.5符号微积分7.5.3符号积分int函数用来求解符号积分，其格式如下：int(S)，求符号表达式S对于默认自变量的不定积分；int(S,’v’)，求符号表达式S对于自变量v的不定积分；int(S,a,b)，求符号表达式S对于默认自变量从a到b的定积分；int(S,’v’,a,b)，求符号表达式S中自变量v计算从a到b的定积分。7.6符号积分变换自变量为xF

=fourier(f,u,v)，指定函数f为变量u的函数，而F为变量v的函数：7.6.1

Fourier变换及其逆变换Fourier变换F

=

fourier(f)，对单值函数f中的缺省变量x求解其Fourier变换，缺省的输出结果F是变量w的函数，即有：f(x)F(w，)

若f

=

f(w)，则fourier(f)返回变量为t的函数：F=

F(t)。F

=fourier(f,v)，指定Fourier变换结果F是变量v的函数，函数f的¥f

(x)e-ivxdx-¥，即有：f

=f

(x)

F

=F(v)=¥-¥f

=

f

(u)

F

=

F(v)

=

f

(u)e-ivudx7.6符号积分变换逆Fourier变换f

=ifourier(F)，函数f=f(x)为函数F(w)的逆Fourier变换。即：F=F(w)→f=f(x)。若F=F(x)，ifourier(F)返回变量t的函数：即：F=F(x)→f=f(t)。f

=ifourier(F,u)，使函数f为变量u（u为标量符号对象）的函数，f

=ifourier(F,v,u)使F为变量v的函数，f为变量u的函数。7.6符号积分变换7.6.2

Laplace变换及其逆变换Laplace变换L

=laplace(F)，输出参量L

=L(s)为有缺省符号自变量t的标量符号对象F的Laplace变换。即：F=F(t)→L=L(s)。若F=F(s)，则fourier(F)返回变量为t的函数L。即：F=F(s)

→L=L(t)。laplace(F,t)，使函数L为变量t（t为标量符号自变量）的函数。laplace(F,w,z)，使L为变量z的函数，F为变量w的函数。7.6符号积分变换逆Laplace变换F

=ilaplace(L)，输出参量F=F(t)为缺省变量s的标量符号对象L的逆Laplace变换即：F=F(w)→f=f(x)。若L=L(t)，则ifourier(L)返回变量为x的函数F。即：F=F(x)→f=f(t)。F

=ilaplace(L,y)，使函数F为变量y（y为标量符号对象）的函数。F

=ilaplace(L,y,x)，使F为变量x的函数，L为变量y的函数。7.6符号积分变换7.6.3

z变换及其逆变换z变换F

=ztrans(f)，对缺省自变量为n的函数f计算z变换。输出参量F为变量z的函数：f=f(n)→F=F(z)。若函数f=f

(z)，则ztrans(f)返回一变量为w的函数：f=f(z)→F=F(w)F

=ztrans(f,w)，用符号变量w代替缺省的z作为函数F的自变量。F

=ztrans(f,k,w)，对函数f中指定的符号变量k计算z变换。7.6符号积分变换逆z变换f

=iztrans(F)，输出参量f

=f(n)为有缺省变量z的单值符号函数F的逆z变换。即：F=F(z)→f=f(n)。若F=

F(n)，则iztrans(F)返回变量为k的函数f(k)。即：F=

F(n)→f=f(k)。f

=iztrans(F,k)，使函数f为变量k（k为标量符号对象）的函数f(k)。f=iztrans(F,w,k)，使函数F为变量w的函数，f为变量k的函数。7.7符号方程的求解代数方程求解g=solve(eq)，求解代数方程eq=0，自变量为默认自变量；g=solve(eq,var)，求解代数方程eq=0，自变量为var；g=s