事件的关系和运算福建省龙海市港尾中学学年高一下学期人教A版必修

第十章概率10.1.2事件的关系和运算教学目标

了解随机事件的并、交与互斥的含义（重点）01

能结合实例进行随机事件的并、交运算（重点、难点）02

03

04学科素养

随机事件的并、交与互斥的含义数学抽象

集合表示随机事件并进行运算直观想象

逻辑推理

随机事件的并、交运算数学运算

数据分析

数学建模01知识回顾RetrospectiveKnowledge有限样本空间与随机事件

随机试验：对随机现象的实现和对它的观察．

样本点：随机试验E的每个可能的基本结果．

样本空间：全体样本点的集合．

一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示．

随机事件（事件）：样本空间Ω的子集．

基本事件：只包含一个样本点的事件．

事件A发生在每次试验中，A中某个样本点出现．02知识精讲

ExquisiteKnowledge

从前面的学习中可以看到，我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件．这些事件有的简单，有的复杂．我们希望从简单事件的概率推算出复杂的概率，所以需要研究事件之间的关系和运算．

在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件：

Ci＝“点数为i”，i＝1，2，3，4，5，6；

D1＝“点数不大于3”；D2＝“点数大于3”；

E1＝“点数为1或2”；

E2＝“点数为2或3”；

F＝“点数为偶数”；

G＝“点数为奇数”；……………

你还能写出这个试验中其他一些事件吗?请用集合的形式表示这些事件，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗?探究

事实上，利用样本空间的子集表示事件，使我们可以利用集合的知识研究随机事件，从而为研究概率的性质和计算等提供有效而简便的方法．

下面我们按照这一思路展开研究．如：

H1=“点数小于7”；H2=“点数大于4”…………．

一般地，若事件A发生则必有事件B发生，则称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)，

记为B⊇A(或A⊆B)．

用集合的形式表示事件C1="点数为1"和事件G="点数为奇数"，

它们分别是C1={1}和G={1，3，5}．显然，如果事件C1发生，那么事件G一定发生．事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是{1}⊆{1，3，5}，即C1⊆G．

这时我们说事件G包含事件C1．

特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等，记作A=B．事件的包含关系

一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作A∪B(或A＋B)．可以用图10.1-5中的绿色区域和黄色区域表示这个并事件．

用集合的形式表示事件D1＝“点数不大于3”，E1＝“点数为1或2”和

E2＝“点数为2或3”；，

它们分别是D1={1，2，3}，E1＝{1，2}和E2＝{2，3}．

可以发现，事件E1和事件

E2至少有一个发生，相当于事件D1发生．事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是{1，2}∪{2，3}={1，2，3}，即E1∪E2＝D1，这时我们称事件D1为事件E1和事件E2的并事件．并事件（和事件）

一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点在事件A中，也在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作A∩B(或AB)．可以用图中的蓝色区域表示这个交事件．

用集合的形式表示事件C2＝“点数为2”，E1＝“点数为1或2”和

E2＝“点数为2或3”，

它们分别是C2={2}，E1＝{1，2}和E2＝{2，3}．

可以发现，事件E1和事件

E2同时发生，相当于事件C2发生．事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是{1，2}∩{2，3}={2}，即E1∩E2＝C2，这时我们称事件C2为事件E1和事件E2的交事件．交事件（积事件）

用集合的形式表示事件C3＝“点数为3”，C4＝“点数为4”，

它们分别是C3={3}，C4＝{4}．

可以发现，事件C3和事件C4不可能同时发生，事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是{3}∩{4}=Ø，即C3∩C4＝Ø，

这时我们称事件C3和事件C4互斥．

一般地，事件A与事件B不可能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B=Ø，我们称事件为事件A与事件B互斥(或互不相容)．可以用图表示两个事件互斥．互斥事件

用集合的形式表示事件F＝“点数为偶数”，G＝“点数为奇数”，

它们分别是F={2，4，6}，G＝{1，3，5}．

在一次试验中，事件F和事件G两者只能发生其中之一，而且也必然发生其中一个．事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是{2，4，6}∪{1，3，5}={1，2，3，4，5，6}，{2，4，6}∩{1，3，5}=Ø，即F∪G＝

Ω

，F∩G＝Ø，此时我们称事件F和事件G互为对立事件．对立事件

一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B=Ω，且A∩B=Ø，那么称事件A与事件B互为对立．

事件A的对立事件记为A，可以如图表示．“事件A和事件B互斥”是“事件A和事件B对立”的什么条件？必要不充分条件事件的关系或运算含义符合表示包含A发生导致B发生A⊆B或B⊇A并事件(和事件)A与B至少一个发生A∪B或A＋B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B=Ø互为对立A与B有且只有一个发生A∩B=Ø，A∪B=Ω事件的关系或运算的含义，以及相应的符号表示：

类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件．

例如，对于三个事件A，B，C，A∪B∪C

(或A＋B+C)发生当且仅当A，B，C中至少一个发生，A∩B∩C

(或ABC)发生当且仅当A，B，C同时发生，等等．【练习】一个人打靶时连续射击两次，与事件“至少有一次中靶”互为对立事件是(

)A.至多有一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都不中靶D【练习】把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是(

)A.对立事件B.互斥但不对立事件C.不可能事件D.以上都不对B【例5】如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效设事件A=“甲元件正常”，B=“乙元件正常”．(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间；

(2)用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件；(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B，并说明它们的含义及关系．乙甲

【解析】（1）分别用x1，x2表示元件甲，乙两个元件的可能状态，则可用(x1，x2)表示这个电路的状态．用1表示元件正常，用0表示元件失效，则样本空间Ω={(0，0)，(1，0)，(0，1)，(1，1)}．【例5】如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效设事件A=“甲元件正常”，B=“乙元件正常”．(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间；

(2)用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件；(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B，并说明它们的含义及关系．乙甲

【解析】（2）A={(1，0)，(1，1)}，B={(0，1)，(1，1)}，

A={(0，0)，(0，1)}，B={(0，0)，(1，0)}．【例5】如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效设事件A=“甲元件正常”，B=“乙元件正常”．(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间；

(2)用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件；(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B，并说明它们的含义及关系．乙甲A∪B表示电路工作正常，A∩B表示电路工作不正常．

【解析】（3）A∪B

={(1，0)，(0，1)，(1，1)}，A∩B={(0，0)}A∪B和A∩B互为对立事件．【例6】一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”．（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；（2）事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？（3）事件R与G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与R2的交事件与事件R有什么关系？【例6】一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”．（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；

【解析】(1)用数组(x1，x2)表示可能的结果，x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空间

Ω={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，

(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}．【例6】一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”．（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；

【解析】R1={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)}；

R2={(2，1)，(3，1)，(4，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)}；

R

={(1，2)，(2，1)};G={(3，4)，(4，3)}；

M={(1，2)，(2，1)，(3，4)，(4，3)}；N={(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2}．【例6】一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”．（2）事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？（2）因为R⊆R1，所以事件R1包含事件

R；

因为R∩G=Ø，所以事件R与事件G互斥；

因为M∩N=Ø，M