小学数学- 植树问题教学设计学情分析教材分析课后反思

《植树问题》教学设计课题：植树问题教学内容：新审定义务教育教科书人教版五年级数学上册第106页例1、第107页做一做及第1题练习二十四第1、2题。课标及教材分析：一、课标分析《数学课程标准》“总目标”中提出了“在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法”“学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式”。在“学段目标”的“第二学段”中提出“尝试从日常生活中发现并提出简单的数学问题，并运用一些知识加以解决”“能探索分析和解决简单问题的有效方法，了解解决问题方法的多样性”。在“课程内容”的“第二学段”中提出“通过应用和反思，进一步理解所用的知识和方法，了解所学知识之间的联系，获得数学活动经验”。同时提出：把几何直观作为核心概念之一，在日常教学中，在指导学生学习数学过程中，帮助学生养成画图的习惯是非常重要的。因此，在教学中应引导学生用画图的方法解决植树问题，二、教材分析（1）例1是关于一条线段上的植树问题并且两端都要栽树的情况，让学生在解决这个问题的过程中发现规律，找到解决问题的有效方法，经历解决问题的过程。（2）教材从具体到抽象，从特殊到一般，呈现分析、思考、解决问题的全过程。教材先由一个男孩说出容易出错的想法“每隔5m栽一棵，共栽100÷5＝20（棵）”，接着由“对吗？检验一下”引出解决问题常用的方法——从简单的情况入手解决复杂的问题，渗透简单的化归思想。然后，呈现同学们用示意图和线段图分析问题的过程。通过画图先解决20m和25m的植树情况，并从中发现它们共同的规律：栽树的棵数比间隔数多1，接下来应用所发现的规律猜想30m和35m的植树情况，并加以验证。最后，引导学生概括出一条线段两端栽树的植树问题的一般规律，并据此解决数据更大的问题。让学生经历解决问题的全过程，着重培养学生建立数学模型的能力。学情分析：对于植树学生不陌生，植树活动时时发生在学生身边，这部分的学习内容学生一定会很感兴趣，学习的热情也会比较高涨，但根据以往的教学经验，这部分内容对于学生来说是不容易理解和掌握的。但是小学五年级学生的思维仍以形象思维为主，但抽象思维能力也有了初步的发展，具备了一定的分析综合、抽象概括、归类梳理的能力。学生已经掌握了关于线段的相关知识，也具备了一定的生活经验和分析思考能力与计算能力，因此为了让学生能更好地理解本单元的教学内容，在教学过程中要充分利用学生原有的知识和生活经验，来组织、引导学生开展各个环节的教学活动，去发现、探究有关植树问题，渗透有关植树问题的一些思想方法，通过现实生活中的实际问题，让学生从中发现一些规律，然后再用发现的规律来解决生活中简单的实际问题，体会数学来源于生活，又应用与生活，激发学生学习的兴趣。教学目标：知识与技能：通过学生熟悉的生活情境，学生会用线段图来表示植树问题中的三种植树情况，培养学生分析问题的能力。过程与方法：学生能够初步建立植树问题的数学模型，能根据这个模型将生活中类似的问题进行分类，并试着应用模型中间隔与棵数的关系来解决问题。情感态度：让学生在积极参与的过程中获得成功的体验，在学会与人分享的过程中体验学习数学的乐趣，同时也培养学生爱护环境的意识。教学重难点：重点：能理解间隔数与棵数之间的关系并应用到生活中去。难点：理解间隔数与棵数之间的规律，并能运用规律解决问题。教学方法：自主探索、合作交流。教学媒体：多媒体ppt课件评测方法设计：新课程倡导评价多元化，最终实现以评价促发展。本着这一理念，在设计本节课的教学评价时采用的评价方法有教师评价、生生互评、学生的自我评价以及师生互评。在评价学生时要尊重学生，对学生的批评绝不能伤害学生的自尊心，要以正面效应为指导原则。使学生更加自信，更有兴趣，更有激情，从而增强自信心，促进学习，激发学生学习的积极性，有效地进行教学，实现三维教学目标。植树问题预案：1.王红从教学楼一楼到五楼共走了120个台阶。你知道门楼之间有多少个台阶吗？（1）试着画出线段图（2）根据线段图可知：间隔数是多少个？如何计算出每层楼之间的台阶数？2.了解“间隔”的含义。（1）感知“间隔”请伸出你的一只手，张开手指两个指头之间的缝隙就是“间隔”。（2）一只手有（）个手指头，有（）个间隔。（3）找一找生活中哪些地方有间隔？教学过程：教学环节教师活动学生活动设计意图课前活动【课件出示】预习设计，引导学生解答。【教师谈话】我们都有一双灵巧的双手，他不但可以写字、画画，还隐藏着一些数学知识，下面请大家伸出手来，把手慢慢张开，仔细观察，每两根手指间出现了什么？在数学上我们把他叫什么？下面请同学们仔细观察,看谁反应最迅速。师：张开的五指中有几个空隙？（4个）数学中我们把这个“空隙”叫“间隔”。我们发现5根手指中有4个间隔，那么4根手指呢？3根呢？你发现了什么规律？【举例生活中的“间隔”】师：生活中的“间隔”到处可见，你能举几个例子吗？（两棵树之间、两个同学之间、钟声…）（1）引导学生寻找同学之间座次之间存在的“间隔”。你发现了什么规律？（2）引导学生观察在一条直线上的6棵树之间的“间隔”你发现了什么规律？让学生汇报解答情况。（1）学生展示画出的线段图（2）根据线段图可知：间隔数是多少个？如何计算出每层楼之间的台阶数？（3）展示结果【学生进行评价、鼓励】学生放松心情，领会手上的数学奥秘。学生认真听取要求，做好积极探索的准备。学生抢答。学生归纳出：手指的数量=间隔数+1学生归纳出：学生人数=间隔数+1学生填表：归纳出规律：树的棵树=间隔数+1通过解决生活中的上下楼梯的简单问题，初步感知“间隔”的计算方法。通过手指活动，使学生初步理解“间隔”的概念。通过举例生活中“间隔”进一步体会“间隔”概念含义。体会“间隔”在生活中随处可见。创设情景揭示课题教师谈话：数学无处不在。通过刚才的观察与思考，你能从中发现规律，继而运用规律解决生活中一些简单而又实际的问题吗？同学们，今年的3月12日是什么节日吗？（植树节）这节课我们就一起来研究植树问题揭示课题：植树问题课件出示例1：师：为什么要在公路的两旁栽上树呢？【小结：植树不仅能美化环境，净化空气，树木能够涵养水分减少水分的流失，有助于环境的改善。】学生放松心情，认真聆听老师谈话，为下面做好积极探索的准备学生自由发言。教师通过谈话引出植树问题，向学生渗透环保教育，使学生初步感知植树与我们的生活密切联系。植树中还藏着有趣的数学问题，出示问题，激发学生强烈的好奇心和求知欲。探究新知一、教师出示自主探索问题：1.认真审题，从题目中你得到了哪些数学信息？2.尝试练习3.能直接用除法“20÷5=4”能一步到位解答这个关于“两端都要栽”的植树问题吗？4.思考：“在一条线路的一侧，两端都要栽”时，植树的“棵数”与“间隔数”有什么关系？引导学生自主探究。【教师参与辅导】二、合作交流：1.引导学生进行小组交流。【教师参与辅导】2.让小组汇报三、化繁为简探索规律【教师谈话】刚才同学们解决的问题是否正确，我可以采用画线段图的方法来验证一下。教师边叙述边课件演示：因为两端都栽，所以要先在起点栽一棵，然后每隔5米栽一棵，再隔5米再栽一棵，再隔5米再栽一棵……看看一共要栽多少棵。你能在练习本上，也画成一棵棵小树吗？怎样表示小树比较简单？（预设：画成小树太麻烦，可以用一个点或者一竖表示一棵小树比较简单。）教师对于学生的表现及时评价。【建立数学模型】出示问题：完成下表并思考：“在一条线路的一侧，两端都要栽”时，线路的长度与间隔长度、植树的“棵数”、“间隔数”有什么关系？师生共同归纳规律：在一条线路一侧植树，两端都要栽时：间隔数=路的长度÷间隔长度树的棵数=间隔数+1学生自主审题。完成教师设计的四个问题。小组讨论：在小组中发表自己的意见，达成共识。各小组在交流各自的发现的基础上达成共识，其他小组认真倾听，积极主动评价、质疑。学生尝试验证。学生根据教师引导，思考、并尝试画线段图，验证自己的结论。学生展示自己画的线段图学生自主探索、完成表格。然后汇报展示交流流。通过让学生自主探索，解决问题，逐步培养学生的解题能力。通过把复杂的问题化为简单的问题，让学生从简单的问题中发现规律再来解答复杂的问题，这样循序渐进，学生既掌握了方法，也能牢牢把握知识。小组汇报目的是把个人的意见达成共识，把知识系统化在这里采用画线段图的方式，把学习的主动力权交给学生，给学生充裕的时间去自由观察思考，植树棵树与间隔数之间的数量关系，感悟数学建模的重要意义。通过学生自主探究完成表格内容，初步感知间隔数与植树棵树之间的关系，进一步归纳出植树问题的一般规律。学以致用巩固提高【课件出示当堂测试题】1.同学们在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一颗（两端都要栽），一共要栽多少棵树？2.同学们在全长100米的小路两边植树，每隔5米栽一颗（两端都要栽），一共要栽多少棵树？3.4.5.学生汇报时，教师及时的给与评价。1.学生自主解决问题。2.学生汇报交流。3.对比以下第1、2题你发现了什么？课件展示生活中类似“植树问题”的情景图片，让学生感知植树问题在生活中的运用，让学生感受到数学就在身边。学生通过练习，进一步掌握植树问题的解题思路和方法。向学生渗透一些重要的数学思想方法。推广到与植树问题相近的一些问题中，让学生进一步体会，现实生活中的许多不同事件，如楼梯、路灯、钟表等都含有与植树问题相同的数量关系，它们都可以利用植树问题的模型来解决，从而感悟数学建模的重要意义。课堂小结师：今天，我们一起探讨学习了植树问题中两端都要栽的情况，谈谈你有哪些收获?学生谈完以后，教师课件演示植树的三种情况。学生主动地谈一谈。让学生了解植树问题有多种情况，激发他们的探索欲望，为下节课作铺垫。板书设计植树问题间隔数=路的长度÷间隔长度树的棵数=间隔数+1《数学广角──植树问题》学情分析对于植树学生不陌生，时时发生在学生身边，引导学生去发现、探究有关植树问题，渗透有关植树问题的一些思想方法，通过现实生活中的实际问题，让学生从中发现一些规律，然后再用发现的规律来解决生活中简单的实际问题，体会数学来源于生活，又应用与生活，激发学生学习的兴趣。但是，由于学生初次接触“植树问题”，这部分的学习内容学生一定会很感兴趣，学习的热情也会比较高涨，但根据以往的教学经验，这部分内容对于学生来说是不容易理解和掌握的。而且小学五年级学生的思维仍以形象思维为主，但抽象思维能力也有了初步的发展，具备了一定的分析综合、抽象概括、归类梳理的能力。学生已经掌握了关于线段的相关知识，也具备了一定的生活经验和分析思考能力与计算能力，因此为了让学生能更好地理解本单元的教学内容，在教学过程中点对教材进行适当的整合，并充分利用学生原有的知识和生活经验，来组织、引导学生开展各个环节的教学活动。《数学广角──植树问题》评测分析1.马路一边栽了25棵梧桐树，如果每两棵梧桐树之间栽一棵银杏树，一共要栽多少棵银杏树？考察目的：考查学生是否能正确运用植树问题的数学模型解决问题。答案：24棵解析：这是两端都栽树的基本题型。要求一共栽多少棵银杏树，实际就是求梧桐树的间隔数。根据“植树棵数=间隔数+1”，得出：间隔数=植树棵数-1，得出答案：25-1=24(棵)2.同学们在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一颗（两端都要栽），一共要栽多少棵树？考察目的：考查学生是否能正确运用植树问题的数学模型解决问题。答案：21棵解析：这是例1原题，属于两端都栽树的基本题型。要求一共要栽多少棵树？重点是理解“全长”、“一边”、“间隔长度”、“两端都要栽”的含义，然后根据“间隔数=路的全长÷间隔长度”，“植树棵数=间隔数+1”，得出答案：100÷5=20（个），20+1=21（棵）3.同学们在全长100米的小路两边植树，每隔5米栽一颗（两端都要栽），一共要栽多少棵树？解析：这是例1原题的变式练习，属于两端都栽树的基本题型。要求一共要栽多少棵树？是引导学生与上面第2题进行对比，重点是理解“全长”、“两边”、“间隔长度”、“两端都要栽”的含义，然后根据“间隔数=路的全长÷间隔长度”，“植树棵数=间隔数+1”，得出答案：100÷5=20（个），（20+1）×2=42（棵）4.5路公共汽车行驶路线全长12km，相邻两站之间的路程都是1km，一共设了多少个车站？考查目的：考查学生是否能正确运用植树问题的数学模型解决问题。答案：13个解析：本题首尾都要设车站，属于在一条线段上两端都栽的植树问题。一共有几个车站也就是求植树棵数，植树棵数=间隔数+1，因此应该用12÷1+1，正确答案是13个车站。5.在一条全长2km的街道两旁安装路灯（两端都要安装），每隔50m安一盏。一共要安装多少盏路灯？考察目的：考查学生是否能正确运用植树问题的数学模型解决问题。答案：21棵解析：本题和例1对应，主要是帮助学生利用规律解决生活中“两端都栽树”的实际问题。要求一共要安装多少盏路灯？重点是理解“全长”、“一边两旁”、“间隔长度”、“两端都要栽”的含义，然后根据“间隔数=路的全长÷间隔长度”，“植树棵数=间隔数+1”，得出答案：2000÷50=40（个），（40+1）×2=82（盏）。《数学广角──植树问题》教材分析关键词：教材地位内容比较教材目标教学重难点教材分析教学时间课型设计教学方法教学准备一、《植树问题》在整个小学数学课程教材中的地位“植树问题”是2013版义务教育教科书人教版五年级数学上册第106页第七单元教学内容。这部分内容在原义务教育教科书是人教版四年级下册“数学广角”的内容。本节内容将植树问题分为几个层次：两端都栽、两端不栽、一端载而另一端不栽三中基本情况。其侧重点是：在解决植树问题的过程中，向学生渗透一种在数学学习上、研究问题上都很重要的数学思想方法——化归思想，通过现实生活中一些常见的实际问题，让学生从中发现一些规律，抽取出其中的数学模型，然后再用发现的规律解决生活中的一些简单实际问题，同时使学生感悟到应用数学模型解题所带来的便利，发展学生的思维，提高学生的解决问题的能力。二、不同教材版本对相关教学内容比较人教版与苏教版教材中都涉及了植树问题。人教版的植树问题安排在数学广角中，而苏教版的植树问题安排在找规律里。两种版本教材所选择的出发点不同，侧重点也不同。主要表现在以下几方面：1.例题内容侧重点不同苏教版教材在题材选择上，通过例1例2两个例题，创设了一个极其儿童化的情境图。旨在让学生在“小兔乐园”中探寻相关事物间的规律，从而感悟植树问题的本质。教学内容的选择上没有直接呈现显性的植树问题，只安排两道例题，练习的梯度也不大。但在练习中，呈现了电线杆、广告牌，锯木头，封闭的河堤等不同的情境，还安排了制定“植树方案”这样相对开放的活动内容。不同的教学情境，不同的形式练习，力求让学生在看似不相关的问题中发现、抽取、感悟出植树问题的内涵。可以看出，这些看似不相关的问题，在解决过程中都需要借助植树问题的基本模型，都具有植树问题的显著特征，但并没有直接以植树问题的形式出现在学生面前。这就更需要教师在教学中抽丝剥茧，引导学生归纳概括从而探寻出所学内容间的联系，揭示植树问题的本质。人教版教材安排了三道例题，与苏教版相比，难度大得多。三道例题层次清楚：两端都栽、两端不栽、环形情况及方阵问题。这三道例题都是典型的植树问题，与苏教版的“犹抱琵琶半遮面”相比要显性得多，其目的是力求使学生在简单的植树问题的解决过程中，积累解决问题的基本活动经验，从而形成解决问题的技能。2.建模思想相融、相通苏教版教材与人教版教材在解决植树问题中呈现问题的切入点是不相同的。苏教版教材重在“找”规律。“找”——由表及里逐渐认识规律，以丰富多样的学习活动突出数学化过程。人教版教材重在问题解决。“解”——由少及多、去繁就简逐步形成技能，以渗透丰富的数学思想方法。而无论是“找规律”还是“解决问题”，最终都归于一点：建模。就苏教版例1而言，学生首先要在复杂的情境图中找出哪两个事物之间具有联系，进而发现夹子与手帕、小兔与蘑菇、木桩与篱笆的相关性。观察发现这些相关事物都具有一一间隔排列的规律，在此基础上数出各相关事物的数量，从而发现排在两端的事物总比中间的事物多一这一现象。学生通过对以上三个例子的观察、发现形成不完全归纳，再通过进一步的活动，如摆一摆、画一画、说一说等环节验证规律，从而在“找”规律的过程中建立起植树问题物体与间隔数之间排列现象的基本模型。人教版教材的例1出示了一道典型的简单植树问题。要解决这样的问题，学生需要理解两点：一是“两端要栽”是什么意思；二是“100÷5”得到的是什么。对第二点的理解，对学生而言是有一定难度的。这其中渗透了化归的数学思想。只有找到“100米小路每隔5米栽一棵（两端要栽）”排列的规律，才能顺利理解20的含义，从而有效地解决问题。找规律成为解决问题的手段之一。学生在解决问题的过程中遇到困难而自发形成“找”的意识。意识的形成过程不是教材直接给予或强加的，而是一种需要，一种主观反映。同时，“找”需要正确的方法与技巧，教师可以引导学生从较小的数据入手，借助画图，先画得少一点，10米、20米、30米……观察发现规律、验证推理，进而由部分想象整体。不难看出，在例1的学习中，学生经历了解决问题的全过程，猜想——验证规律——计算归纳从而解决问题。对比两种版本教材中的例1，在例题编写的目标方面，人教版更注重问题解决的体验，注重化归思想的渗透，可以说是在问题的解决过程中建模，而苏教版注重规律的探索，符号思想的形成，可以视为是在找规律过程中建模。两者虽都是在建模，但建模所采用的方法不同。于是人教版的植树问题似乎显性一些，受奥数题的影响更大，其本质却不是简单地照搬奥数题。苏教版的植树问题则相对隐性得多，看似与奥数题的关系远一些。所以就笔者看来，两种版本的教材对植树问题的引入其切入点不同，推理方法不同，问题达成度也不同，但建模的过程却是相通、相融的。因此，在教学中，我们需要把握住教学的本质，不追求简单解题，而注重建模、注重化归思想的渗透、注重符号意识的培养。3.教学中“舍末求本”教过植树问题的老师都知道，植树问题中的两端物体与中间物体之间有规律。通常老师们都会将规律以三道等式的形式呈现给学生，即：（1）两端都种：物体数=间隔数+1（2）一端种一端不种：物体数=间隔，（3）两端都不种：物体数=间隔数-1甚至要求学生记忆，在今后解题时直接套用公式，达到表面的快速、高效。这样的处理就使教学走向了舍本求末的误区。学生学习数学，获得必需的数学知识和技能当然是重要的，但不应是唯一的目的。学习数学要学会用数学的视角看世界，用数学的方法去认识客观世界中各式各样的事物，学会通过数学思考去把握千变万化的现象。对比两种版本的教材，都或多或少地涉及到“形”的区分，但其目的应该并不是为了归纳出上面的三道公式。例如：人教版例1是两端都种的情况，例2以一种特殊形式出现，两边的建筑无形中成了两端物体。如果学生在例1的学习中已经初步建立起“|○|○|○|○…|”的模型，那么，此时模型中，例2两端的建筑就相当于首尾的“|”，也就可以视例2是例1的补充或特例，是在例1基础上的再深入。苏教版的教材中，只有一道练习题（如图）涉及到这样的分类思考。但很多时候，在教学时，很多老师会在例1就以板书的形式整理出上述的三道公式。就上面的练习题而言，重点不在归纳出间隔排列的细微区别，以得出三道公式，而更重于使学生体会间隔排列的多样性，以培养学生的发散思维能力。教师需要让学生明白一点，无论两端放或不放花，结果虽有所改变，本质依然是符合一一间隔排列规律的。在教学中，教师可以借助基本模型帮助学生体会变与不变的价值。（如图）（1）两端都种（基本模型）：|○|○|○|○…|（2）一端种一端不种：|○|○|○|○…|○○|○|○|○|○…|（3）两端都不种：○|○|○|○…|○这三种形式是否都可以归为一种形式？数学的学习应该是更简洁、更方便，而不能成为公式的简单堆积。教学时，需要使学生在思辨中推理、归纳、概括出解决一类问题的一般方法，而不是将一类问题进一步细化成若干不同形式的问题，再套用看似不同的公式来解决问题。那是奥数的做法，为解题而生，不是植树问题应该具有的数学思想。综上所述，植树问题的教学，教师需要明确以下几点：（1）重在帮助学生建立模型思想，在解决问题的过程中突出化归思想，以简单的模型贯穿始终，从而帮助学生以不变应万变，学会思考并解决复杂的问题。（2）尊重数学规律的简洁性、普适性的特征，不要以三道公式的简单记忆代替学生的数学学习，不能以解题代替学生的数学思维能力的培养，更不能将奥数中的植树问题简单“拿来”，我们在教学中要真正把握住：“本“，做到透析教材“舍末求本”。三、教材目标知识技能：引导学生通过观察、猜测、试验、操作、交流、推理等活动，探索并认识不封闭线路上间隔排列中的简单规律，并能将这种认识应用到解决类似的实际问题之中。数学思考：渗透数形结合的思想，培养学生借助图形解决问题的意识，初步体会植树问题的模型思想问题解决：通过画线段图初步培养学生探索解决问题有效方法的能力。能够借助图形，利用规律来解决简单的植树问题。情感态度：让学生在积极参与的过程中获得成功的体验，在学会与人分享的过程中体验学习数学的乐趣，同时也培养学生爱护环境的意识。四、教学重难点教学重点：能理解间隔数与棵数之间的关系并应用到生活中去。教学难点：理解间隔数与棵数之间的规律，并能运用规律解决问题五、教材分析（一）内容安排及其特点

1．教学内容和作用。

本单元“数学广角”主要是渗透有关植树问题的一些思想方法，通过现实生活中一些常见的实际问题，借助线段图等手段让学生从中发现一些规律，抽取出其中的数学模型，然后再用发现的规律来解决生活中的简单实际问题。

植树问题通常是指沿着一定的路线植树，这条路线的总长度被树平均分成若干段（间隔），由于路线的不同、植树要求的不同，路线被分成的段数（间隔数）和植树的棵数之间的关系也就不同。在现实生活中类似的问题还有很多，比如公路两旁安装路灯、花坛摆花、锯木头、架设电线杆，等等，这些问题中都隐藏着总数和间隔数之间的关系。

在植树问题中“植树”的路线可以是一条线段，也可以是一条首尾相接的封闭曲线如圆形。即使是关于最基本的一条线段上的植树问题，也可能有不同的情形。如两端都要栽，一端栽另一端不栽，两端都不栽。而在封闭曲线上的植树问题可以转化为在一条线段上的植树问题中的“一端栽另一端不栽”的情况。基于以上的认识，本单元具体的教材内容安排如下表。植树问题植树问题在一条线段上植树（两端都栽）例1在一条线段上植树（两端都不栽）例2在一条首尾相接的封闭曲线上植树例32．教材编排特点。本单元编排上有以下特点。（1）题材更为丰富。与原实验教材相比，本次修订后的“植树问题”新增了一些生活中的“植树问题”。如例3探讨在一条封闭曲线上植树的问题。另外，教材在“做一做”和练习中增加了“每两棵梧桐树中间栽一棵银杏树”“马拉松比赛设置饮水点”“项链上的水晶”等实际问题，一方面激发学生的学习兴趣和探究欲望，另一方面帮助学生多角度、有效地体会和运用植树问题的数学思想和方法。（2）突出线段图的教学，帮助学生直观理解植树问题的数学模型。在“植树问题”中最重要的数学思想就是模型思想，而如何让学生理解从实际问题中抽象出数学模型的过程是教学“植树问题”的难点。为了突破这一难点，教材突出了线段图的教学，通过几何直观帮助学生理解“植树问题”的数学模型。例1先画出形象的线段图，然后抽象成线段图表示两端都栽的情况，例2通过迁移呈现出两端都不栽的线段图，“做一做”的第2题，让学生通过迁移画出一端栽另一端不栽的线段图，最后例3让学生理解在封闭曲线上植树的线段图的画法以及沟通它和一条线段上植树中的一端栽另一端不栽的联系。教材通过突出线段图的教学，帮助学生直观理解不同情况下植树棵树、分割点和间隔数之间的关系，由此理解和建立植树问题的数学模型。（3）注重培养学生的数学思维能力和解决问题的实践能力。本单元注重让学生经历观察、猜测、验证、推理与交流等活动，使他们既学会一些解决问题的一般方法和策略，又逐步形成求实态度和科学精神。例如，例1通过“对吗？检验一下”“100m太长了，可以先用简单的数试试”“你发现了什么规律”等，渗透了“猜测——探索——归纳——应用”的解决问题的策略和化繁为简的解决问题的方法。又如，练习二十四第4题通过求“从第一棵到最后一棵的距离有多远”培养学生解决实际问题的能力。（二）教学建议1．让学生经历和体验知识的形成过程，感悟重要的数学思想和方法。“数学广角”的教学目的主要是让学生体验知识的形成过程和感悟数学思想方法。具体到本单元，教学时，教师应从实际问题人手，引导学生在解决问题的分析、思考过程中逐步发现隐含于不同的情形中的规律，经历抽取出数学模型的过程，体验数学思想方法在解决实际问题中的应用。以例1为例，教科书以“对吗？检验一下”“可以画线段图来验证”为线索，让学生经历猜想、试验、归纳、推理的过程，先后向学生渗透简单的化归、数形结合、一一对应、模型、推理等数学思想，激发学生对数学的好奇心和求知欲，增强学生学习数学的兴趣。2．强调画图的策略，引导学生有效地解决生活中的植树问题。《标准(2011)》把几何直观作为核心概念之一，并且指出：在日常教学中，在指导学生学习数学过程中，帮助学生养成画图的习惯是非常重要的。因此，在教学中应引导学生用画图的方法解决植树问题，如“公共汽车站”“架设电线杆”“敲钟问题”“设置饮水点”“锯木头”“项链上的水晶”等问题，可以引导学生借助示意图或线段图进行分析，在直观理解的基础上解答。3．把握好教学的度。“数学广角”主要是通过简单的事例渗透一些重要的数学思想方法。因此，在教学时注意对例题不要进行过多的变式，或者提高问题的难度。4.例题内容分析（1）例1是关于一条线段上的植树问题并且两端都要栽树的情况，让学生在解决这个问题的过程中发现规律，找到解决问题的有效方法，经历解决问题的过程。（2）教材从具体到抽象，从特殊到一般，呈现分析、思考、解决问题的全过程。教材先由一个男孩说出容易出错的想法“每隔5m栽一棵，共栽100÷5＝20（棵）”，接着由“对吗？检验一下”引出解决问题常用的方法——从简单的情况入手解决复杂的问题，渗透简单的化归思想。然后，呈现同学们用示意图和线段图分析问题的过程。通过画图先解决20m和25m的植树情况，并从中发现它们共同的规律：栽树的棵数比间隔数多1，接下来应用所发现的规律猜想30m和35m的植树情况，并加以验证。最后，引导学生概括出一条线段两端栽树的植树问题的一般规律，并据此解决数据更大的问题。（1）例2是关于一条线段上的植树问题的另一种情况，即两端都不栽树的情况。教材继续通过画线段图的方法帮助学生分析、理解，找出一般规律来解决例题提出的问题。（2）教材以文字配情境图的方式呈现问题，以帮助学生理解题意。由于有了前面探索的经验，学生自然会想到借助线段图来分析，所以教材呈现了3位同学的分析和思考过程，引导学生继续画线段图进行分析，从而发现当两端都不栽树时，植树的棵数比间隔数少1，然后利用发现的规律解决例题的问题。（1）例3是在一条首尾封闭的曲线上植树的问题，进一步培养学生在解决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力，以及抽取数学模型的能力。（2）和前面的编排类似，教材呈现了4位同学探索解决问题的过程。首先，通过女孩的话“先画图，试试看。假设周长是40m……”，引导学生从简单的情况入手进行探究。接着，通过小精灵的问题“如果把圆拉直成线段，你能发现什么”，启发学生联系已有的知识找出这种植树问题的规律，即栽树的棵树正好等于间隔数，并渗透转化的数学思想。四、教学时间用4课时教学。五、课型设计本单元可行设计为新授课复习课六、教学方法：主要采用自主探索、合作交流等教学方法。七、教学准备：多媒体设备及教学课件《数学广角──植树问题》评测练习1.马路一边栽了25棵梧桐树，如果每两棵梧桐树之间栽一棵银杏树，一共要栽多少棵银杏树？2.同学们在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一颗（两端都要栽），一共要在多少棵树？3.同学们在全长100米的小路两边植树，每隔5米栽一颗（两端都要栽），一共要在多少棵树？4.5路公共汽车行驶路线全长12km，相邻两站之间的路程都是1km，一共设了多少个车站？5.在一条全长2km的街道两旁安装路灯（两端都要安装），每隔50m安一盏。一共要安装多少盏路灯？《数学广角──植树问题》教学反思“植树问题”原本属于经典的奥数教学内容，是一种情况较为复杂的问题，但在生活中有许多类似的原型，教育部审定（2013）义务教育教科书教材把它安排在五年级上册的第七单元“数学广角”内容。其教学侧重点是：在解决植树问题的过程中，向学生渗透一种在数学学习上、研究问题上都很重要的数学思想方法——化归思想，借助内容的教学发展学生的思维，提高学生解决问题的能力。本节课我教学了课本106页例1内容，主要教学两端都栽的植树问题。反思本课教学过程，我觉得以下方面做得比较成功：一、重视数学模型的建立过程学习数学的目的是为了应用数学，在应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步。建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。因此，我在教学中设计了“形成猜想—化繁为简—合作交流—发现规律—梳理方法—应用规律”的教学流程，意在让学生经历“猜想—验证—建立数学模型—应用”这一过程，从而建立“植树问题”数学模型。二、注重数学思想的渗透在教学中，我直接例题导入，引导学生用画图方法模拟实际栽树。由于我把例题的数据“100m”改为“20m”了，向学生渗透复杂问题简单化的思想，让学生选择短距离的路用画图的方式得出结果。在这个过程中，学生通过猜想、实验、推理、交流等活动，既培养了数学思想能力，学会了一些解决问题的方法，又逐步形成实事求是的科学态度和精神。三、注重探究精神和能力的培养教学中，我创设情境，鼓励学生用画图的方法来验证猜想的合理性。教学中通过改变路的长度，让学生通过完成表格，从而发现规律。在用“数形结合”方法探究规律的过程中，学生的动手能力、合作能力和实践精神都得到一定的培养。四、关注植树问题模型的拓展和应用植树问题的模型是现实世界中一类相近事件的放大，它源于生活，又高于生活。所以，在现实中有着广泛的应用价值。为了让学生理解这一建模的意义，我做了两方面的工作：一是加强归类，出示生活实例，告诉学生“这些现象的事物间都存在着间隔，把这类问题统称为植树问题”；二是进行变式练习。我设计了5道测试题，引导学生进一步体会，现实生活中的许多事件，都含有与植树问题相同的数量关系，它们都可以利用植树问题的模型来解决它，从而使学生感悟数学建模的重要意义。这节课虽然不乏成功之处，但也有许多遗憾。一是操作的实效性。在学生画图探究间隔数和棵数的规律时，在规定时间内完成任务的小组比较少。这有两方面的原因：首先是我没有充分调动学生动手的积极性，其次是操作方法交待不够清楚，以致部分学生无从下手，出现操作困难，影响操作效果。二是练习设计不够精。因为希望把尽可能多的题型呈现给学生，所以没有把握好教学时间。因此，在教学中应该把握好教学的度，相信学生的能力，合理取舍教学内容。《数学广角──植树问题》课标分析一、课标要求《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“总目标”中提出了“在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法”“学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式”。《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“学段目标”的“第二学段”中提出“尝试从日常生活中发现并提出简单的数学问题，并运用一些知识加以解决”“能探索分析和解决简单问题的有效方法，了解解决问题方法的多样性”。《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“课程内容”的“第二学段”中提出“通过应用和反思，进一步理解所用的知识和方法，了解所学知识之间的联系，获得数学活动经验”。二、课标解读教材中设置“数学广角”单元教学内容的目的不是教会学生机械的公式和抽象的模型，而是让学生体验探索建立模型的过程和数学思想方法。在本册的“数学广角──植树问题”的教学中，教师要引导学生通过观察、猜测、试验、推理等活动，初步体会解决植树问题的思想方法（模型思想），培养学生从实际问题中探索解决问题有效方法的能力。在教学植树问题时，教师要引导学生根据实际问题情境，从简单的情况入手，在解决问题的分析、思考过程中，逐步发现隐含的规律，经历建立数学模型的过程，帮助学生积累数学活动的经验，提高学生解决实际问题的能力。（一）在观察、猜测、试验、推理等活动中体会解决基本的思想方法小学数学教学体系贯穿着两条主线：数学知识和数学思想方法。数学知识是一条明线，直接呈现在教材上；而数学思想方法则是一条暗线，隐藏在知识的背后。“数学广角”中的“植树问题”，承载了基本的数学思想方法──“化繁为简”“数形结合”“一一对应”和“数学建模”等，使学生从中发现规律，抽取出其中的数学模型（点段关系），然后再用发现的规律来解决生活中的一些简单实际问题。1.在困顿中感悟“化归”的思想人们在面对数学问题时，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往将需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决，这种思想方法称为化归（转化）思想。在教学例1中，教师引导学生对“100米一共要栽多少棵树”进行验证，在画图时引发困惑，数字太大，不可能全部画下来，或是太麻烦、太浪费时间了。在学生有所体验的基础上，就此向学生渗透复杂问题简单化的思想，让学生选择短距离（20米），用画图的方式得出结果。在这个过程中，学生通过猜想、实验、推理、交流等活动，既培养了数学思想能力，学会了一些解决问题的方法，又逐步形成实事求是的科学态度和精神。2.在探究中渗透“数形结合”的思想数形结合是小学数学中常用的、重要的一种数学思想方法。数形结合思想的实质即通过数形之间的相互转化，把抽象的数量关系，通过形象化的方法转化为适当的图形，从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系，解决数量关系的数学问题，这是数形结合思想。本册的“数学广角──植树问题”把从直观图形支持下得到的模型应用到现实生活中，沟通图形、表格及具体数量之间的联系，强化对题意的理解。教师可以组织学生在课堂上“模拟植树”。用“___”代表一段路，用“∣”代表一棵树，画“∣”就表示种了一棵树。关于在20米长的路可以栽多少棵树的问题，让学生自己动手画一画。学生根据图示，很容易发现规律。再从个别的、简单的几个例子出发，逐步过渡到复杂的、更一般的情境中，是数学中常用的推理方法。这个过程中，学生借助数形结合将文字信息与学习基础结合起来，使得学习得以继续，使得学生思维发展有了基础，也使得数学学习的思想方法真正得以渗透。因此，数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化。3.在抽象中明晰“一一对应”思想本册“数学广角──植树问题”的教学，通常有两种教学思路：一种思路是通过教材主题图中得三组实例归纳出规律，利用画图、小棒或圆片的排列来验证规律，进而结合生活实际应用规律。这种教学逻辑性强，规律揭示很顺畅，但是从教学效果看，学生虽然能够“熟记”规律，却不能灵活解决诸如“封闭、不封闭”“两端都栽、只栽一端、两端都不栽”这类问题，更不能用数学观点统领“间隔排列”的现象。另一种思路是在深入钻研教材的基础上，真正把握“间隔排列”的实质：两种物体间隔排列，这两种物体的排列一一对应。对应，是间隔排列的本质。课堂教学中，通过“感知对应现象──激活对应思想──建构对应思想──升华对应思想”层层深入的教学行为，抓住蕴含在教材中得一一对应思想，有效统领种种纷繁复杂的现象，使学生真正感知了一一间隔排列的特点，扫清了思维上的障碍，层层推进认识的完善和引申。4.在运用中体验“模型思想”《义务教育数学课程标准（2011年版）》中提出：在数学教学中应当引导学生感悟建模过程，发展“模型思想”。“数学模型”是数学符号、数学式子以及数量关系对现实原