《几何概型》教学设计【高中数学人教A版必修2（新课标）】

1/6《几何概型》教学设计教学目标教学目标1.知识与技能（1）正确理解几何概型的概念；（2）掌握几何概型的概率公式：；（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；2.过程与方法发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力。3.情感态度与价值观通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点。教学重教学重难点【教学重点】几何概型的概念、公式及应用。【教学难点】能应用几何概型计算公式求复杂事件的概率。教学过程教学过程（一）新课导入下列试验是古典概型的是①③。

①投掷二颗颜色不同骰子，求事件“出现点数相等”的概率。

②在区间[-1，2]上随机取一个数x，求x∈[0，1]的概率。

③从甲地到乙地共n条路线，选中最短路线的概率。

④甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向黄色区域时，甲获胜，否则乙获胜。求甲获胜的概率。那么②和④要如何求概率呢？（二）新课讲授类比古典概型描述几何概型：

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。

1.几何概型的特点

(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个

(2)每个基本事件出现的可能性相等2.几何概型的定义

3.古典概型与几何概型的联系与区别古典概型几何概型联系基本事件发生的等可能性基本事件发生的等可能性区别基本事件个数的有限性基本事件个数的无限性举例说明生活中常见的几何概型1.（转盘抽奖问题）幸运大转盘，转到几打几折免费抽奖如果转到1免费得到一部MP3，否则按转到几打几折必须买一部MP3，你愿意参加吗？2.（交通灯问题）一个路口的交通灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒。当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是

多少？（1）红灯；（2）黄灯；（3）不是红灯。3.（飞镖游戏）飞镖运动于十五世纪兴起于英格兰，二十世纪初，成为人们在酒吧进行日常休闲的必备活动。二十世纪三十年代，飞镖运动日趋职业化，出现了职业协会、职业比赛，以及大量的职业高手。（三）例题探究例1取一根长度为30cm的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于10cm的概率有多大？解：记“剪得两段绳长都不小于10cm”为事件A，把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生。由于中间一段的长度等于绳长的1/3

答：剪得两段的长度都不小于10cm的概率为1/3例2某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率。解：设A={等待的时间不多于10分钟}，事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50，60]时间段内，因此由几何概型的求概率公式得

P（A）=（60-50）/60=1/6

“等待的时间不超过10分钟”的概率为1/6

例3：取一个边长为2a的正方形及其内切圆(如图),随机地向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概率.

解:记“豆子落入圆内”为事件A,则

答：豆子落入圆内的概率为例3某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求乘客候车时间不超过6分钟的概率。解如下图所示，设上辆车于时刻T1到达，而下辆车于时刻T2到达，则线段T1T2的长度为10，设T是线段T1T2上的点，且TT2的长为6，记“等车时间不超过6分钟”为事件A，则事件A发生即当点t落在线段TT2上，即D＝T1T2＝10，d＝TT2＝6.所以P(A)＝eq\f(d,D)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)故乘客候车时间不超过6分钟的概率为eq\f(3,5)反思与感悟数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法。利用图解题的关键：首先用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的几何区域，然后根据构成这两个区域的几何长度(面积或体积)，用几何概型概率公式求出事件A的概率。跟踪训练1有一杯1升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含有这个细菌的概率。解：取出0.1升中“含有这个细菌”这一事件记为A,则细菌在这升水中的分布可以看作是随机的，取得0.1升水可作为事件的区域。

答：取出0.1升，求小杯水中含有这个细菌的概率为0.1。跟踪训练2某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率。例4在Rt△ABC中，∠A＝30°，过直角顶点C作射线CM交线段AB于M，求使|AM|>|AC|的概率。解：设事件D为“作射线CM，使|AM|>|AC|”在AB上取点C′使|AC′|＝|AC|，因为△ACC′是等腰三角形，所以∠ACC′＝eq\f(180°－30°,2)＝75°，μA＝90－75＝15，μΩ＝90，所以P(D)＝eq\f(15,90)＝eq\f(1,6)反思与感悟几何概型的关键是选择“测度”，如本例以角度为“测度”。因为射线CM落在∠ACB内的任意位置是等可能的。若以长度为“测度”，就是错误的，因为M在AB上的落点不是等可能的。（四）课堂检测1．下列关于几何概型的说法错误的是 ()A．几何概型也是古典概型中的一种B．几何概型中事件发生的概率与位置、形状无关C．几何概型中每一个结果的发生具有等可能性D．几何概型在一次试验中能出现的结果有无限个答案：A解析：几何概型与古典概型是两种不同的概型。2．面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为 ()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2) C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,6)答案：B解析：向△ABC内部投一点的结果有无限个，属于几何概型。设点落在△ABD内为事件M，则P(M)＝eq\f(△ABD的面积,△ABC的面积)＝eq\f(1,2)3．ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为 ()A.eq\f(π,4) B．1－eq\f(π,4)C.eq\f(π,8) D．1－eq\f(π,8)答案：B解析：若以O为圆心，1为半径作圆，则圆与长方形的公共区域内的点满足到点O的距离小于或等于1，故所求事件的概率为P(A)＝S长方形-S圆S长方形＝1－4．在区间[－1,1]上随机取一个数x，则sineq\f(πx,4)的值介于－eq\f(1,2)与eq\f(\r(2),2)之间的概率为________。答案：eq\f(5,6)解析：∵－1≤x≤1，∴－eq\f(π,4)≤eq\f(πx,4)≤eq\f(π,4)由－eq\f(1,2)≤sineq\f(πx,4)≤eq\f(\r(2),2)，得－eq\f(π,6)≤eq\f(πx,4)≤eq\f(π,4)，即－eq\f(2,3)≤x≤1故所求事件的概率为eq\f(1＋\f(2,3),2)＝eq\f(5,6)（五）课堂总结1．古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，这也是我们在学习、生活中经常遇到的题型。解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，