高中物理中的弹簧问题归类(教师版)

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐高中物理中的弹簧问题归类(教师版)有关弹簧的题目在高考中几乎年年浮现，因为弹簧弹力是变力，同学往往对弹力大小和方向的变化过程缺乏清楚的熟悉，不能建立与之相关的物理模型并举行分类，导致解题思路不清、效率低下、错误率较高.在详细实际问题中，因为弹簧特性使得与其相连物体所组成系统的运动状态具有很强的综合性和隐蔽性，加之弹簧在伸缩过程中涉及力和加速度、功和能、冲量和动量等多个物理概念和逻辑，所以弹簧试题也就成为高考中的重、难、热点，一、“轻弹簧”类问题

在中学阶段，凡涉及的弹簧都不考虑其质量，称之为“轻弹簧”，是一种常见的抱负化物理模型.因为“轻弹簧”质量不计，选取随意小段弹簧，其两端所受张力一定平衡，否则，这小段弹簧的加速度会无限大.故轻弹簧中各部分间的张力到处相等，均等于弹簧两端的受力.弹簧一端受力为F，另一端受力一定也为F,若是弹簧秤，则弹簧秤示数为F.

【例1】如图3-7-1所示，一个弹簧秤放在光洁的水平面上，外壳质量m不能忽视，弹簧及挂钩质量不计，施加水平方向的力1F、2F，且12FF>，则弹簧秤沿水平方向的加速度为，弹簧秤的读数为.

【解析】以囫囵弹簧秤为讨论对象，利用牛顿运动定律得：12FFma-=，即12

FFam

-=仅以轻质弹簧为讨论对象，则弹簧两端的受力都1F，所以弹簧秤的读数为1F.

说明:2F作用在弹簧秤外壳上，并没有作用在弹簧左端，弹簧左端的受力是由外壳内侧提供的.【答案】12

FFam

-=

1F二、质量不行忽视的弹簧

【例2】如图3-7-2所示，一质量为M、长为L的均质弹簧平放在光洁的水平面,在弹簧右端施加一水平力F使弹簧向右做加速运动.试分析弹簧上各部分的受力状况.【解析】弹簧在水平力作用下向右加速运动，据牛顿其次定律得其加速度F

aM

=

,取弹簧左部随意长度x为讨论对象，设其质量为m得弹簧上的弹力为：

xxFx

TmaMFLML==

=【答案】xxTFL

=三、弹簧的弹力不能突变(弹簧弹力瞬时)问题

弹簧(尤其是软质弹簧)弹力与弹簧的形变量有关，因为弹簧两端普通与物体衔接，因弹簧形变过程需要一段时光，其长度变化不能在眨眼完成，因此弹簧的弹力不能在眨眼发生突变.即可以认为弹力大小和方向不变，与弹簧相比较，轻绳和轻杆的弹力可以突变.

【例3】如图3-7-3所示，木块A与B用轻弹簧相连，竖直放在木块C上，三者静置于地面，ABC、、的质量之比是1:2:3.设全部接触面都光洁，当沿水平方向快速抽出木块C的瞬时，木块A和B的加速度分离是Aa=与Ba=

图3-7-2

图3-7-1

高中物理中的弹簧问题归类

【解析】由题意可设ABC、、的质量分离为23mmm、、，以木块A为讨论对象，抽出木块C前，木块A受到重力和弹力一对平衡力，抽出木块C的瞬时，木块A受到重力和弹力的大小和方向均不变，故木块A的瞬时加速度为0.以木块AB、为讨论对象，由平衡条件可知，木块C对木块B的作用力3CBFmg=.

以木块B为讨论对象，木块B受到重力、弹力和CBF三力平衡，抽出木块C的瞬时，木块B受到重力和弹力的大小和方向均不变，CBF瞬时变为0，故木块C的瞬时合外力为3mg,竖直向下，瞬时加速度为1.5g.【答案】0

说明：区分于不行伸长的轻质绳中张力眨眼可以突变.

【例4】如图3-7-4所示，质量为m的小球用水平弹簧衔接，并用倾角为0

30的光洁木板AB托住，

使小球恰益处于静止状态.当AB骤然向下撤离的眨眼，小球的加速度为()

A.0

B.大小为

23

g，方向竖直向下C.大小为23g，方向垂直于木板向下D.大小为23

g,方向水平向右

【解析】末撤离木板前，小球受重力G、弹簧拉力F、木板支持力NF作用而平衡，如图3-7-5所示，有cosNmg

Fθ

=

.撤离木板的眨眼，重力G和弹力F保持不变(弹簧弹力不能突变)，而木板支持力NF立刻消逝,小球所受G和F的合力大小等于撤之前的NF(三力平衡)，方向与NF相反，故加速度方向为垂直木板向下，大小为23cosNFgagmθ===【答案】C.

四、弹簧长度的变化问题

设劲度系数为k的弹簧受到的压力为1F-时压缩量为1x-，弹簧受到的拉力为2F时伸长量为2x，此时的“-”号表示弹簧被压缩.若弹簧受力由压力1F-变为拉力2F，弹簧长度将由压缩量1x-变为伸长量2x，长度增强量为12xx+.由胡克定律有:11()Fkx-=-,22Fkx=.

则:2121()()FFkxkx--=--,即Fkx?=?

说明:弹簧受力的变化与弹簧长度的变化也同样遵循胡克定律，此时x?表示的物理意义是弹簧长度的转变量，并不是形变量.

【例5】如图3-7-6所示，劲度系数为1k的轻质弹簧两端分离与质量为1m、2m的物块1、2拴接，劲度系数为2k的轻质弹簧上端与物块2拴接，下端压在桌面上(不拴接)，囫囵系统处于平衡状态.现将物块1缓慢地竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面.在此

图3-7-4

图3-7-5

图3-7-6

过程中，物块2的重力势能增强了,物块1的重力势能增强了.

【解析】由题意可知，弹簧2k长度的增强量就是物块2的高度增强量，弹簧2k长度的增强量与弹簧1k长度的增强量之和就是物块1的高度增强量.

由物体的受力平衡可知，弹簧2k的弹力将由本来的压力12()mmg+变为0,弹簧1k的弹力将由本来的压力1mg变为拉力2mg,弹力的转变量也为12()mmg+.所以1k、2k弹簧的伸长量分离

为:1211()mmgk+和122

1

()mmgk+

故物块2的重力势能增强了221221()mmmgk+，物块1的重力势能增强了211212

11

()()mmmgkk++

【答案】221221()mmmgk+21121211

()()mmmgkk++

五、弹簧形变量可以代表物体的位移

弹簧弹力满足胡克定律Fkx=-，其中x为弹簧的形变量，两端与物体相连时x亦即物体的位移，因此弹簧可以与运动学学问结合起来编成习题.

【例6】如图3-7-7所示，在倾角为θ的光洁斜面上有两个用轻质弹簧相衔接的物块AB、，其质量分离为ABmm、，弹簧的劲度系数为k,C为一固定挡板，系统处于静止状态,现开头用一恒力F沿斜面方向拉A使之向上运动，求B正要离开C时A的加速度a和从开头到此时A的位移d(重力加速度为

g).

【解析】系统静止时,设弹簧压缩量为1x，弹簧弹力为1F，分析A受力可知:11sinAFkxmgθ==解得:1sinAmgxk

θ

=

在恒力F作用下物体A向上加速运动时，弹簧由压缩逐渐变为伸长状态.设物体

B正要离开挡板

C时弹簧的伸长量为2x，分析物体B的受力有:2sinBkxmgθ=,

解得2sinBmgxk

θ

=

设此时物体A的加速度为a，由牛顿其次定律有:2sinAAFmgkxmaθ--=

解得:()sinABA

Fmmgamθ

-+=

因物体A与弹簧连在一起，弹簧长度的转变量代表物体A的位移，故有12dxx=+，即

()sinA

Bmmgdk

θ

+=【答案】()sinABmmgdkθ

+=

六、弹力变化的运动过程分析

弹簧的弹力是一种由形变打算大小和方向的力，注重弹力的大小与方向时刻要与当初的形变相对应.普通应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置、现长位置及临界位置，找出形变量x与物体

图3-7-7

空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，弹性势能也是与原长位置对应的形变量相关.以此来分析计算物体运动状态的可能变化.

结合弹簧振子的简谐运动，分析涉及弹簧物体的变加速度运动，往往能达到事半功倍的效果.此时要先确定物体运动的平衡位置，区分物体的原长位置，进一步确定物体运动为简谐运动.结合与平衡位置对应的回复力、加速度、速度的变化逻辑，很简单分析物体的运动过程.

【例7】如图3-7-8所示，质量为m的物体A用一轻弹簧与下方地面上质量也为m的物体B相连，开头时A和B均处于静止状态，此时弹簧压缩量为0x，一条不行伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端衔接物体

A、另一端C握在手中，各段绳均刚益处于伸直状态，物体A上方的一段绳子沿竖直方向且足够长.

现在C端施加水平恒力F使物体A从静止开头向上运动.(囫囵过程弹簧始终处在弹性限度以内).

(1)假如在C端所施加的恒力大小为3mg，则在物体B正要离开地面时物体A的速度为多大?

(2)若将物体B的质量增强到2m，为了保证运动中物体B始终不离开地面，则F最大不超过多少?

【解析】由题意可知，弹簧开头的压缩量0mg

xk=

，物体B正要离开地面时弹簧的伸长量也是0mg

xk

=.

(1)若3Fmg=,在弹簧伸长到0x时，物体B离开地面，此时弹簧弹性势能与施力前相等，F所做的功等于物体A增强的动能及重力势能的和.即：201

222

Fxmgxmv?=?+得:022vgx=

(2)所施加的力为恒力0F时，物体B不离开地面，类比竖直弹簧振子，物体A在竖直方向上除了受变化的弹力外，再受到恒定的重力和拉力.故物体A做简谐运动.

在最低点有：001Fmgkxma-+=,式中k为弹簧劲度系数，1a为在最低点物体A的加速度.在最高点，物体B恰好不离开地面，此时弹簧被拉伸，伸长量为02x，则:002(2)kxmgFma+-=而0kxmg=，简谐运动在上、下振幅处12aa=，解得：032

mg

F=

也可以利用简谐运动的平衡位置求恒定拉力0F.物体A做简谐运动的最低点压缩量为0x，最高点伸长量为02x，则上下运动中点为平衡位置，即伸长量为所在处.由002xmgkF+=,解得:032

mgF=.【答案】022gx

32

mg

说明:区分原长位置与平衡位置.和原长位置对应的形变量与弹力大小、方向、弹性势能相关,和平衡位置对应的位移量与回复大小、方向、速度、加速度相关.七．与弹簧相关的临界问题

图3-7-8

通过弹簧相联系的物体，在运动过程中常常涉及临界极值问题：如物体速度达到最大；弹簧形变量达到最大时两个物体速度相同；使物体恰好要离开地面；互相接触的物体恰好要脱离等.此类问题的解题关键是利用好临界条件，得到解题实用的物理量和结论.

【例8】如图3-7-9所示，AB、两木块叠放在竖直轻弹簧上，已知木块AB、的质量分离为0.42kg和0.40kg，

弹簧的劲度系数100/kNm=，若在A上作用一个竖直向上的力F,使A由静止开头以20.5/ms的加速度竖直向上做匀加速运动（210/gms=）求：(1)使木块A竖直做匀加速运动的过程中，力F的最大值;

(2)若木块由静止开头做匀加速运动，直到AB、分别的过程中，弹簧的弹性势能削减了0.248J，求这一过程中F对木块做的功.

【解析】此题难点在于能否确定两物体分别的临界点.当0F=(即不加竖直向上F力)时，设木块AB

、叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为x,有:()ABkxmmg=+,即()ABmmg

xk+=①

对木块A施加力F，A、B受力如图3-7-10所示,对木块A有:AAFNmgma+-=②对木块B有:'BBkxNmgma--=③

可知，当0N≠时，木块AB、加速度相同，由②式知欲使木块A匀加速运动，随N减小F增大,当0N=时,F取得了最大值mF,即:()4.41mAFmagN=+=

又当0N=时，AB、开头分别，由③式知，弹簧压缩量'()Bkxmag=+，则()

'Bmagxk

+=④木块A、B的共同速度：2

2(')vaxx=-⑤由题知，此过程弹性势能削减了0.248PPWEJ==

设F力所做的功为FW，对这一过程应用功能原理，得：

21

()()(')2

FABABPWmmvmmgxxE=

+++--

联立①④⑤⑥式，且0.248PEJ=,得：

29.6410FWJ-=?

【答案】（1）4.41mFN=29.6410FWJ-=?

【例9】如图3-7-11所示，一质量为M的塑料球形容器，在A处与水平面接触.它的内部有向来立的轻弹簧，弹簧下端固定于容器内部底部，上端系一带正电、质量为m的小球在竖直方向振动，当加一向上的匀强电场后，弹簧正巧在原长时，小球恰好有最大速度.在振动过程中球形容器对桌面的最小压力为0，求小球振动的最大加速度和容器对桌面的最大压力.

【解析】由于弹簧正巧在原长时小球恰好速度最大，所以有：=qEmg①小球在最高点时容器对桌面的压力最小，有：=kxMg②此时小球受力如图3-7-12所示，所受合力为qEkxmgF-+=③由以上三式得小球的加速度m

Mga=.

图3-7-10

图3-7-11

明显，在最低点容器对桌面的压力最大，由振动的对称性可知小球在最低点和最高点有相同的加速度，解以上式子得：Mgkx=

所以容器对桌面的压力为：MgkxMgFN2=+=.【答案】

Mg

m

2Mg八、弹力做功与弹性势能的变化问题

弹簧伸长或压缩时会储存一定的弹性势能，因此弹簧的弹性势能可以与机械能守恒逻辑综合应用,我们用公式21

2

PEkx=计算弹簧势能，弹簧在相等形变量时所具有的弹性势能相等普通是考试热点.弹簧弹力做功等于弹性势能的削减量.弹簧的弹力做功是变力做功，普通可以用以下四种办法求解:(1)因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义举行计算;(2)利用Fx-图线所包围的面积大小求解;(3)用微元法计算每一小段位移做功，再累加求和;(4)按照动能定理、能量转化和守恒定律求解.

因为弹性势能仅与弹性形变量有关，弹性势能的公式高考中不作定量要求，因此，在求弹力做功或弹性势能的转变时，普通从能量的转化与守恒的角度来求解.特殊是涉及两个物理过程中的弹簧形变量相等

时，往往弹性势能的转变可以抵消或替代求解.

【例10】如图3-7-13所示，挡板P固定在足够高的水平桌面上，物块A和B大小可忽视，它们分离带有AQ+和BQ+的电荷量，质量分离为Am和Bm.两物块由绝缘的轻弹簧相连，一个不行伸长的轻绳跨过滑轮，一端与B衔接，另一端衔接轻质小钩.囫囵装置处于场强为E、方向水平向左的匀强电场中，A、B开头时静止，已知弹簧的劲度系数为k,不计一切摩擦及A、B间的库仑力,A、B所带电荷量保持不变，B不会遇到滑轮.

(1)若在小钩上挂质量为M的物块C并由静止释放，可使物块A对挡板P的压力恰为零，但不会离开P,求物块C下降的最大距离h.(2)若C的质量为2M,则当A刚离开挡板P时,B的速度多大?

【解析】通过物理过程的分析可知，当物块A刚离开挡板P时，弹力恰好与A所受电场力平衡，弹簧伸长量一定，前后两次转变物块C质量，在第(2)问对应的物理过程中，弹簧长度的变化及弹性势能的转变相同，可以替代求解.

设开头时弹簧压缩量为1x，由平衡条件1BkxQE=,可得1BQE

xk

=

①图3-7-13

设当A刚离开挡板时弹簧的伸长量为2x,由2AkxQE=，可得:2AQE

xk

=②故C下降的最大距离为:12hxx=+③由①②③三式可得:()ABE

hQQk

=

+④(2)由能量守恒定律可知，物块C下落过程中，C重力势能的削减量等于物块B电势能的增量和弹簧弹性势能的增量以及系统动能的增量之和.当C的质量为M时，有：BMgHQEhE=+?弹⑤

当C的质量为2M时，设A刚离开挡板时B的速度为v，则有：21

2(2)2

BBMgHQEhEMmv=+?++弹⑥由④⑤⑥三式可得A刚离开P时B的速度为:2()

(2)

ABBMgEQQvkMm+=

+⑦

【答案】（1）()ABE

hQQk

=

+（2）2()(2)ABBMgEQQvkMm+=

+【例11】如图3-7-14所示，质量为1m的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为2m的物体B相连，弹簧的劲度系数为k,物体AB、都处于静止状态.一不行伸长的轻绳一端绕过轻滑轮衔接物体A，另一端衔接一轻挂钩.开头时各段绳都处于伸直状态，物体A上方的一段绳沿竖直方向.现给挂钩挂一质量为2m的物体C并从静止释放，已知它恰好能使物体B离开地面但不继续升高.若将物体C换成另一质量为12()mm+的物体D，仍从上述初始位置由静止释放，则这次物体B刚离地时物体D的速度大小是多少?已知重力加速度为g

【解析】开头时物体AB、静止，设弹簧压缩量为1x，则有：11kxmg=

悬挂物体C并释放后，物体C向下、物体A向上运动，设物体B正要离地时弹簧伸长量为2x，有22kxmg=

B不再升高表明此时物体A、

C的速度均为零，物体C己下降到其最低点,与初状态相比，由机械能守

恒得弹簧弹性势能的增强量为：

212112()()Emgxxmgxx?=+-+

物体C换成物体D后，物体B离地时弹簧势能的增量与前一次相同，由能量关系得：

22211211211211

()()()()22

mmvmvmmgxxmgxxE++=++-+-?联立上式解得题中所求速度为：2

112122()(2)mmmgvmmk

+=

+【答案】2

112122()(2)mmmgvmmk

+=

+

说明：讨论对象的挑选、物理过程的分析、临界条件的应用、能量转化守恒的结合往往在一些题目中需要综合使用.

图3-7-14

九、弹簧弹力的双向性

弹簧可以伸长也可以被压缩，因此弹簧的弹力具有双向性，亦即弹力既可能是推力又可能是拉力，这类问题往往是一题多解.

【例12】如图3-7-15所示，质量为m的质点与三根相同的轻弹簧相连，静止时相邻两弹簧间的夹角均为0120，已知弹簧ab、对质点的作用力均为F，则弹簧c对质点作用力的大小可能为()

A、0

B、Fmg+

C、Fmg-

D、mgF-

【解析】因为两弹簧间的夹角均为0120，弹簧ab、对质点作用力的合力仍为F，弹簧ab、对质点有可能是拉力，也有可能是推力,因F与mg的大小关系不确定，故上述四个选项均有可能.正确答案:ABCD【答案】ABCD

十、弹簧振子

弹簧振子的位移、速度、加速度、动能和弹性势能之间存在着特别关系，弹簧振子类问题通常就是考查这些关系，各物理量的周期性变化也是考查的重点.

【例13】如图3-7-16所示，一轻弹簧与一物体组成弹簧振子，物体在同一竖直线上的AB、间做简谐运动，O点为平衡位置;C为AO的中点，已知OCh=，弹簧振子周期为T,某时刻弹簧振子恰好经过C点并向上运动,则从今时刻开头计时，下列说法中正确的是()

A、4Tt=

时刻，振子回到C点B、2T

t?=时光内，振子运动的路程为4hC、38Tt=时刻，振子的振动位移为0D、38

T

t=时刻，振子的振动速度方向向下

【解析】振子在点AC、间的平均速度小于在点CO、间的平均速度，时光大于8

T

，选

项AC、错误;经2

T

振子运动O点以下与点C对称的位置，总路程为4h，选项B正确;经

38

Tt=振子在点OB、间向下运动，选项D正确.

【答案】BD

十一、弹簧串、并联组合

弹簧串联或并联后劲度系数会发生变化，弹簧组合的劲度系数可以用公式计算，高中物理不要求用公式定量分析，但弹簧串并联的特点要把握:弹簧串联时，每根弹簧的弹力相等;原长相同的弹簧并联时，每根弹簧的形变量相等.

【例14】如图3-7-17所示，两个劲度系数分离为12kk、的轻弹簧竖直悬挂，下端用光洁细绳衔接，并有一光洁的轻滑轮放在细线上;滑轮下端挂一重为G的物体后滑轮下

图3-7-16图3-7-15

降，求滑轮静止后重物下降的距离.

【解析】两弹簧从形式上看似乎是并联，但因每根弹簧的弹力相等，故两弹簧实为串联;两弹簧的弹

力均2G

，可得两弹簧的伸长量分离为112Gxk=，22

2Gxk=，两弹簧伸长量之和12xxx=+，

故重物下降的高度为:1212()

24Gkkxhkk+==【答案】1212()4Gkkkk+

十二、通电的弹簧

【例15】如图3-7-18所示装置中，将金属弹簧的上端固定，下端恰好浸入水银，水银与电源负极相连，弹簧上端通过开关S与电源正极相连.当接通开关S后，弹簧的运动状况如何?

【解析】通电弹簧相邻两匝线圈互相平行且电流同向，两匝线圈互相吸引，从而使弹簧收缩;弹簧收缩后下端离开水银，切断了电流吸引力消逝，弹簧又向下恢复原长，与水银面接触而接通电路，然后又在吸引力作用下收缩.如此反复，弹簧就不断地上下振动.十三、物体沿弹簧