极限思想在高中数学中的应用开题报告

极限思想在高中数学中的应用开题报告开题报告数学与应用数学极限思想、地位和应用一、综述本课题国内外研究动态，说明选题的依据和意义极限是分析数学中最基本的概念之一,极限思想是数学中极为重要的思想。极限一词从词源上讲含义是表示一个不可超越的限度,含有限制的意思。数学中的"极限"在一定方面也有这个意思,但不完全是,更广地,如有"无穷逼近"之意。在数学领域"极限"是有严格定义的,用以描述变量在一定的变化过程中的极限状态,它的建立是数学发展史中的一个重要转折点,它将初等数学扩展为变量数学,此后抽象空间中各类收敛性,也都是极限思想方法的运用和拓广。而"极限"有其漫长的历史,历史上的数学家花了两千余年的时间将其概念完善和严密化。古代朴素的,直观的极限思想是随着无限观的产生而产生的,古希腊的"穷竭法"、阿基米德圆周率计算、刘徽的割圆术等,无不含有朴素的极限思想的雏形,也揭示了极限概念的萌芽时期。古朴的极限思想主要指通过整体细分,按照其中一种规律或发展趋势逼近终极状态近似获得整体值的一种思想。希腊人的"穷竭法",从外推思想直观猜测出"两个圆的面积之比等于它们的直径（或半径）的平方之比",因为通过作两个圆的内接正多边形的面积之比,总是等于两个圆的半径的平方之比,所以外推"在终极的情况下"也应如此,即对于两个圆的面积,同样的结论也是成立的,这其中就蕴含有极限逼近思想。希腊人在穷竭思想下发展的证明方法是严格的,并不是大致近似或是严格极限概念的其中一步,它根本不含明确的极限思想,仅依赖于间接证法，双归谬法,这样就避免了用到极限。实际上欧几里得在面积和体积方面的工作比牛顿和莱布尼茨在这方面的工作严密可靠,因后者试图建立代数方法和数系并且想用极限概念。但我们也能看到,双归谬法的确遏制了穷竭思想向极限思想的发展,远离了向严格极限发展的方向,将难处理的涉及无限的东西通过反证归谬给化解了。刘徽的"割圆术"是一种典型的朴素极限思想或观念的运用。按照刘徽割圆术的思想,圆的周长就是圆内接正边形的周长在不断增大的变化过程中所无限接近的数值。刘126-⨯nn徽的割圆术只是建立在直观基础上的一种原始极限观念的应用,是将圆看成是正多边形的极限状态的思想,只是没有将这一过程数量化,离极限方法尚有一段距离。古代数学中的极限思想仅止于思想,而没有发展到方法层面,希腊学者为了克服无穷带来的麻烦,走了一个弯路，发明了穷竭法,避开了"取极限"。穷竭法是逻辑方法,偏离了极限思想向可操作的极限方法发展的轨道。16世纪,荷兰数学家斯蒂文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法,他借助几何直观,放弃归谬法证明步骤,大胆地运用极限思考问题。从此,他指出了把极限方法发展成为一个实用的概念的方向。随着微积分的发展,极限逐步受到重视。因为牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立的微积分遇到了逻辑困难,人们发现极限能化解这一困难,所以就求助于极限思想,试图以极限概念作为微积分的基础。第一个明确阐述极限概念的数学家是法国的达朗贝尔。他指出,"当第一个量以比人们能想出的任何细微给定量都更密切地逼近第二个量时,第二个量就是第一个量的极限。"尽管这个概念是描述性的,但已初步摆脱了几何、力学的直观原型。因此,达朗贝尔的极限概念被看作是现代严格极限理论的先导。法国数学家柯西和德国数学家魏尔斯特拉斯进一步将极限概念严格化。1821年,柯西在《分析教程》中给出了变量极限定义:"当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值,最终使变量的值和该定值之差要多小有多小,这个定值叫做所有其他值的极限。"魏尔斯特拉斯以此定义为基础,他提出了极限理论的方法,给出了导数、连续、积分的定义,特别是-ε他首先给出了定积分作为和式极限的定义,也给出了无穷小、无穷大的定义:"当一个变量的数值这样地无限减小,使之收敛到极限零,那么这个变量叫做无穷小;当变量的数值这样无限地增大,使该变量收敛到极限,那么该变量就成为无穷大。"这个定义澄清了对无穷小∞"似零非零"的模糊认识。魏尔斯特拉斯为了排除柯西极限概念中的直观痕迹,对柯西的方法进一步改造。把-ε变量解释成字母,该字母代表它可以取值的集合中的任何一个数,这样运动就消除了。一个连续变量是这样一个变量:若是该变量的集合中的任一值而是任何正数,则一定有变0ε量的其他值在区间中。他给出了相当完备的方法,即设是函数(εε+-00,δε-0=定义域内的一点,若对给定的任一随意小的数,可求得另一正数,使得与之差(fεδ0小于的一切值,满足和另一数的差小于,则数是函数于点的极限。δ(fLεL(f0极限的定义使极限概念从动态观点过渡到了静态观点,用静态的有限量刻画动态δε-的无限量,再也用不着借助于几何直观和想象了。在该定义中,涉及的仅仅是数及其大小关εδ极限概念是现代分析数学乃至整个数学领域中最重要的概念之一,它的计算方法和论题也在迅速扩大,到今天已成为一个非常活跃又富有吸引力的研究领域。本文主要内容分为三部分。首先,本文陈述了极限思想的产生、发展及完善过程;其次,介绍了极限思想在数学分析乃至整个数学领域中的重要地位及贡献;最后,介绍了极限思想及极限方法的广泛应用。极限的问题,集探讨性、深入性、逻辑性、分析性于一体。考查极限的思想、地位和作用,不仅可使学生将基本知识融汇贯通,提高学生的发散思维和解决生活实际问题的能力,还可以在教学,社会经济等方面起到节能作用。因此它成为教学研究中的重要内容之一。二、研究的基本内容，解决的主要问题：研究的基本内容:极限的思想、地位和应用解决的主要问题:1、极限思想的产生,发展过程2、极限在数学分析乃至整个数学领域中的重要地位及贡献3、极限思想及极限方法在实际生活中的广泛应用三、研究步骤、方法及措施：研究步骤:1、查阅相关资料,做好笔记;2、仔细阅读研究文献资料;3、翻译英文资料;4、在老师指