广东省广州市宁西中学2021年高二数学理联考试题含解析

广东省广州市宁西中学2021年高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.不等式|2x+5|≥7成立的一个必要而不充分条件是（）A．x≠0 B．x≤﹣6 C．x≤﹣6或x≥1 D．x≥1参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由不等式|2x+5|≥7，化为2x+5≥7，或2x+5≤﹣7，解出即可判断出结论．【解答】解：由不等式|2x+5|≥7，化为2x+5≥7，或2x+5≤﹣7，解得x≥1，或x≤﹣6．∴不等式|2x+5|≥7成立的一个必要而不充分条件是x≠0，故选：A．2.已知向量满足，则实数值是

A．或1

B.

C.D.或参考答案：A3.直线的倾斜角为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C4.已知动点在椭圆上,若点坐标为,,且,则的最小值是（

)A.

B.

C.

D.参考答案：B5.直线过点且与直线垂直，则的方程是(

)A.

B.C.

D.参考答案：A6.下列说法正确的是（）A．命题“若a＞b，则a2＞b2”的否命题是“若a＜b，则a2＜b2”B．命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题是“若a≤b，则a2≤b2”C．命题“?∈R，cosx＜1”的否命题是“?x0∈R，cosx0≥1”D．命题“?∈R，cosx＜1”的否命题是“?x0∈R，cosx0＞1”参考答案：C考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：根查否命题和逆否命题的定义即可判断解答：解：选项A，命题“若a＞b，则a2＞b2”的否命题是“若a≤b，则a2≤b2”故错误，选项B，命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题是“若a2≤b2，则a≤b”故错误，选项C，D命题“?∈R，cosx＜1”的否命题是“?x0∈R，cosx0≥1”故C正确，D错误故选：C点评：本题以命题为载体，考查否命题和逆否命题，属于基础题7.在正方体-中,点P是面内一动点,若点P到直线BC与直线的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是

(

)A．直线

B．圆

C．双曲线

D．抛物线参考答案：D8.有一个回归直线方程为,则当变量增加一个单位时,下面结论正确的是(

)A.平均增加2个单位

B.平均减少2个单位C.平均增加3个单位

D.平均减少3个单位

参考答案：B9.将参数方程化为普通方程为（）A．y=x﹣2 B．y=x+2 C．y=x﹣2（2≤x≤3） D．y=x+2（0≤y≤1）参考答案：C【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】消去参数化普通方程为y=x﹣2，再由0≤sin2θ≤1，可得2≤x≤3，由此得到结论．【解答】解：将参数方程消去参数化普通方程为y=x﹣2，由0≤sin2θ≤1，可得2≤x≤3．故选C．【点评】本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，注意变量的取值范围，属于基础题．10.的最小值是（

）A.2

B.

C.5

D.8参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知动点满足：,则点P的轨迹的离心率是_________.参考答案：12.在中，角的对边分别为，已知，且，则的面积为

．参考答案：13.已知x＞2，则的最小值是________.

参考答案：4略14.设变量x、y满足约束条件且不等式x＋2y≤14恒成立，则实数a的取值范围是________．参考答案：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a≥8，否则可行域无意义．由图可知x＋2y在点(6，a－6)处取得最大值2a－6，由2a－6≤14得，a≤10，故

15.过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C：相交于A，B，则直线AB的方程

；若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为．参考答案：x+2y﹣3=0，．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由直线的点斜式方程：y﹣1=﹣（x﹣1），整理得：x+2y﹣3=0，由①，②，利用中点坐标公式及作差法，即可求得a与b的关系，则c==b，e===．【解答】解：由题意可知：直线的点斜式方程：y﹣1=﹣（x﹣1），整理得：x+2y﹣3=0，解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②，∵M是线段AB的中点，∴=1，=1，由=﹣∵①②两式相减可得+=0，即+（﹣）=0，整理得：a=b，c==b∴e===．椭圆C的离心率．故答案为：x+2y﹣3=0，．16.已知x与y之间的一组数据：x0123y1357则y与x的线性回归方程=bx+a必过点．参考答案：（1.5，4）【考点】线性回归方程．【分析】要求y与x的线性回归方程为y=bx+a必过的点，需要先求出这组数据的样本中心点，根据所给的表格中的数据，求出横标和纵标的平均值，得到样本中心点，得到结果．【解答】解：∵，=4，∴本组数据的样本中心点是（1.5，4），∴y与x的线性回归方程为y=bx+a必过点（1.5，4）故答案为：（1.5，4）17.设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O、所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是

．参考答案：

【考点】双曲线的简单性质．【分析】先设出双曲线的方程，并根据题意画出图象，根据对称性和条件判断出双曲线的渐近线斜率的范围，列出不等式并转化为关于离心率的不等式，再求解即可．【解答】解：不妨设双曲线的方程是=1（a＞0，b＞0），由|A1B1|=|A2B2|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，B2关于x轴对称，如图，又∵满足条件的直线只有一对，当直线与x轴夹角为30°时，双曲线的渐近线与x轴夹角大于30°，双曲线与直线才能有交点A1，A2，B1，B2，若双曲线的渐近线与x轴夹角等于30°，则无交点，且不可能存在|A1B1|=|A2B2|，当直线与x轴夹角为60°时，双曲线渐近线与x轴夹角小于60°，双曲线与直线有一对交点A1，A2，B1，B2，若双曲线的渐近线与x轴夹角等于60°，也满足题中有一对直线，但是如果大于60°，则有两对直线．不符合题意，∴tan30°＜≤tan60°，则，∵b2=c2﹣a2，∴，解得e∈．故答案为．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数在与时都取得极值．（I）求a，b的值及函数的单调区间；（II）若对，不等式恒成立，求c的取值范围．参考答案：（I）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f￠（x）＝3x2＋2ax＋b-------------------------1分由f￠（）＝，f￠（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝，b＝－2---------------------4分f￠（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：x（－￥，）（，1）1（1，＋￥）f￠（x）＋0－0＋f（x）-极大值ˉ极小值-所以函数f（x）的递增区间是（－￥，）与（1，＋￥）.递减区间是（，1）-------------------8分（II）f（x）＝x3x2－2x＋c，x?[－1，2]，当x＝时，f（x）＝＋c为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值.-----------------------10分要使f（x）<c2（x?[－1，2]）恒成立，只需c2>f（2）＝2＋c解得c<－1或c>2----------------------12分19.（本小题满分10分）由于国家重点扶持节能环保产业，某种节能产品的市场销售回暖。某经销商销售这种产品，年初与生产厂家签订进货合同，约定一年内进价为0.1万元/台．一年后，实际月销售量P（台）与月次x之间存在如图所示函数关系（4月到12月近似符合二次函数关系）．（1）写出P关于x的函数关系式；（2）如果每台售价0.15万元，试求一年中利润最低的月份，并表示出最低利润．参考答案：（1）从年初到4月函数关系为一次函数，经过点（0,40）和（4,24）所以，此时的解析式为f(x)=

……………2分从4月到12月函数关系为二次函数，顶点（7,15），经过点（12,40）、（4,24）设f(x)=,代入（12,40）则a=1

……………4分所以f(x)的解析式为：

……………6分(2)从图像中可知，一年中的7月销售量最低，此时的利润也就最低。此时的利润=15（0.15=0.75（万元）

……………10分20.（2016秋?邢台期末）已知F1（﹣c，0）、F2（c，0）分别是椭圆G：的左、右焦点，点M是椭圆上一点，且MF2⊥F1F2，|MF1|﹣|MF2|=a．（1）求椭圆G的方程；（2）若斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2），求△PAB的面积．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由已知结合椭圆定义求得|MF1|=，|MF2|=，再由MF2⊥F1F2，利用勾股定理求得a值，则椭圆方程可求；（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出E的坐标，结合斜率求得m值，进一步求出A、B的坐标，得到AB所在直线方程，利用点到直线的距离公式求出P到AB的距离，代入三角形面积公式求得△PAB的面积．【解答】解：（1）∵|MF1|﹣|MF2|=a，|MF1|+|MF2|=2a，∴|MF1|=，|MF2|=，∵MF2⊥F1F2，∴．即，则，∵c2=a2﹣4，∴a2=12，∴椭圆；（2）设直线l的方程为y=x+m．由，得4x2+6mx+3m2﹣12=0．①设A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）（x1＜x2），AB的中点为E（x0，y0），则，．∵AB是等腰△PAB的底边，∴PE⊥AB．∴PE的斜率，解得m=2．此时方程①为4x2+12x=0，解得x1=﹣3，x2=0，∴y1=﹣1，y2=2，∴|AB|=3．此时，点P（﹣3，2）到直线AB：x﹣y+2=0的距离d=，∴△PAB的面积S=．【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查了椭圆的简单性质，训练了直线与椭圆位置关系的应用，属中档题．21.在底面为平行四边形的四棱锥P--ABCD中，PA平面ABCD，ABAC，E是PD的中点。（1）求证：PBAC（2）求证：PB//平面AEC参考答案：（1）ACAB,PAAC,ABAC=AAC面PAB