广东省东莞市茶山中学高三数学理期末试卷含解析

广东省东莞市茶山中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(

)A．(－，0)

B．(0，)

C．(，)

D．(，)参考答案：C2.球的表面积扩大到原来的2倍，则球的半径扩大到原来的

倍，球的体积扩大到原来的

倍．A．，

B．，

C．，

D．，参考答案：A略3.已知α∈(，)，tan（α﹣π）=，则sinα+cosα的值是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式化简已知的等式，求出tanα的值小于0，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，根据α∈（，），得到α的具体范围，再利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，即可求出所求式子的值．【解答】解：∵tan（α﹣π）=tanα=﹣＜0，且α∈（，），∴cosα=﹣=﹣，α∈（，π），∴sinα==，则sinα+cosα=﹣=﹣．故选：C．【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键，同时注意角度的范围，属于基础题．4.已知函数在区间[0，1]内至少出现2次极值，则ω的最小值为（） A． B． C． D． 参考答案：考点： y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析： 先根据三角函数的诱导公式将原函数变成y=sinωx，所以ωx=时该函数第一次取极值，时该函数第二次取极值，所以，x=1时，ω便取最小值．解答： 解：y=；∴时取第一次极值，时取第二次极值；∴，x取最大值1时，ω取最小值．故选：B．点评： 考查三角函数的诱导公式，及正弦函数的极值．5.设函数，则满足的x的取值范围是(

)（A）（B）（C）（D）参考答案：D6.甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的众数，，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有

(

)A.

B.

C.

D.

参考答案：B7.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线条画出的图形为某几何体的三视图，则该几何体的外接球表面积为A.3π B.12π C.18π D.27π参考答案：D【分析】根据三视图还原出几何体，结合几何体的特征求出其外接球的表面积.【详解】根据三视图还原成几何体如图，它是从一个四棱锥截下的部分,四棱锥如图，结合三视图中的数据可知，其外接球半径为,故外接球的表面积为,故选D.【点睛】本题主要考查三视图的识别，利用三视图还原几何体时，要注意数据的对号入座.侧重考查直观想象的核心素养.8.“”是“直线与圆相切”的（

）．A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A【分析】先化简直线与圆相切，再利用充分必要条件的定义判断得解.【详解】因直线与圆相切，所以.所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系和充分不必要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则（?UP）∩Q=（）A．{1} B．{2，4} C．{2，4，6} D．{1，2，4，6}参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与交集的定义写出运算结果即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则?UP={2，4，6}，所以（?UP）∩Q={2，4}．故选：B．10.给定命题p：“复数z是纯虚数”是“”的充要条件；命题q：已知非零向量a，b满足a在b方向上的投影为。，则ab．则下列各命题中，假命题的是

A.

B.

C.

D.

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，，，则的最小值为

.参考答案：2

略12.已知圆C的圆心与抛物线的焦点关于直线y=x对称，直线4x-3y-2=0与圆C相交于A,B两点，且，则圆C的标准方程为:___________.参考答案：略13.一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积

.参考答案：14.设数列{an}前n项的和为Sn，若a1=4，且an+1=3Sn（n∈N*），则Sn=．参考答案：4n【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】an+1=3Sn（n∈N*），变形为Sn+1﹣Sn=3Sn，Sn+1=4Sn，再利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵an+1=3Sn（n∈N*），∴Sn+1﹣Sn=3Sn，化为Sn+1=4Sn，∴数列{Sn}是等比数列，首项为4，公比为4．∴Sn=4n．故答案为：4n．【点评】本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.若双曲线－=1的渐近线与方程为的圆相切，则此双曲线的离心率为

．参考答案：216.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则A的大小为

．参考答案：75°由，根据正弦定理得，即，，又，，故答案为75°.

17.在等比数列{an}中，已知a1+a2+…+an=2n﹣1，则a12+a22+…+an2=．参考答案：【考点】数列的求和；等比数列的前n项和．【分析】根据条件等比数列{an}中，已知a1+a2+…+an=2n﹣1，可知a1=1，公比为2，从而有{an2}是以1为首项，4为公比的等比数列，故可求．【解答】解：由等比数列{an}中，已知a1+a2+…+an=2n﹣1，可知a1=1，公比为2∴{an2}是以1为首项，4为公比的等比数列∴a12+a22+…+an2==故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=2（a+1）lnx﹣ax，g（x）=x2﹣x．（1）若函数f（x）在定义域内为单调函数，求实数a的取值范围；（2）证明：若﹣1＜a＜7，则对于任意x1、x2∈（1，+∞），x1≠x2，有＞﹣1．参考答案：考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；证明题；导数的综合应用．分析：（1）先求f（x）=2（a+1）lnx﹣ax的定义域，再求导f′（x）=2（a+1）﹣a=，从而由题意知f′（x）=≥0在（0，+∞）上恒成立，从而化为最值问题；（2）由二次函数的性质易知g（x）=x2﹣x在（1，+∞）上是增函数，从而不妨设x1＞x2，从而可得g（x1）＞g（x2）；故＞﹣1可化为f（x1）﹣f（x2）＞﹣（g（x1）﹣g（x2）），即证f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2），令H（x）=f（x）+g（x）=2（a+1）lnx﹣ax+x2﹣x，从而利用导数证明H（x）=f（x）+g（x）=2（a+1）lnx﹣ax+x2﹣x在（1，+∞）上是增函数即可．解答： 解：（1）f（x）=2（a+1）lnx﹣ax的定义域为（0，+∞），f′（x）=2（a+1）﹣a=，∵f′（2）=1，又∵函数f（x）在定义域内为单调函数，∴f′（x）=≥0在（0，+∞）上恒成立，∴a（2﹣x）+2≥0在（0，+∞）上恒成立，即﹣ax+2a+2≥0在（0，+∞）上恒成立，故，解得，﹣1≤a≤0；（2）证明：∵g（x）=x2﹣x在（1，+∞）上是增函数，∴对于任意x1、x2∈（1，+∞），x1≠x2，不妨设x1＞x2，则g（x1）＞g（x2）；则＞﹣1可化为f（x1）﹣f（x2）＞﹣（g（x1）﹣g（x2）），即证f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2），令H（x）=f（x）+g（x）=2（a+1）lnx﹣ax+x2﹣x，H′（x）=2（a+1）﹣a+x﹣1=，令M（x）=x2﹣（a+1）x+2（a+1），①﹣1＜a≤1时，0＜a+1≤2，故M（x）=x2﹣（a+1）x+2（a+1）在（1，+∞）上是增函数，故M（x）＞M（1）=1﹣a﹣1+2a+2=a+2＞0，②1＜a＜7时，M（x）=x2﹣（a+1）x+2（a+1）的对称轴x=∈（1，+∞），故M（x）≥（）2﹣（a+1）+2（a+1）=（a+1）（7﹣a）＞0，故﹣1＜a＜7时，M（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，即H′（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，故H（x）=f（x）+g（x）=2（a+1）lnx﹣ax+x2﹣x在（1，+∞）上是增函数，故f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2），故原式成立．点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了二次函数的性质应用及分类讨论的思想应用，属于难题．19.（本小题满分10分）如图：是⊙的直径，是弧的中点，

⊥，垂足为，交于点.（Ⅰ）求证：=;（Ⅱ）若=4，⊙的半径为6，求的长.参考答案：（Ⅰ）证法一:连接CO交BD于点M，如图1………1分

∵C为弧BD的中点，∴OC⊥BD

又∵OC=OB,∴RtΔCEO≌RtΔBMO……………2分

∴∠OCE=∠OBM……3分又∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC……4分∴∠FBC=∠FCB,∴CF=BF……………5分证法二：延长CE交圆O于点N，连接BN，如图2……1分∵AB是直径且CN⊥AB于点E∴∠NCB=∠CNB……2分又∵弧CD=弧BC,

∴∠CBD=∠CNB………3分∴∠NCB=∠CBD即∠FCB=∠CBF…………………4分∴CF=BF…………5分（Ⅱ）∵O,M分别为AB,BD的中点∴OM=2=OE∴EB=4…………7分在Rt△COE中，………………9分∴在Rt△CEB中，……………10分20.在平面直角坐标系xOy中，已知定点A（﹣4，0），B（4，0），动点P与A、B连线的斜率之积为﹣．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C，半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得弦长为r．（1）求圆M的方程；（2）当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如果不存在，说明理由．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）设P点的坐标为（x，y），由已知得，由此能求出点P的轨迹方程．（Ⅱ）（1）由题意知：C（0，﹣2），A（﹣4，0），线段AC的垂直平分线方程为y=2x+3，由此能求出圆M的方程．（2）假设存在定直线l与动圆M均相切，当定直线l的斜率不存在时，不合题意，当定直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx+b，则对任意r＞0恒成立，由此能求出存在两条直线y=3和4x+3y﹣9=0与动圆M均相切．解答：解：（Ⅰ）设P点的坐标为（x，y），则kPA=，x≠﹣4，kPB=，x≠4，因为动点P与A、B连线的斜率之积为﹣，所以，化简得：，所以点P的轨迹方程为（x≠±4）…（6分）（Ⅱ）（1）由题意知：C（0，﹣2），A（﹣4，0），所以线段AC的垂直平分线方程为y=2x+3，…（8分）设M（a，2a+3）（a＞0），则⊙M的方程为（x﹣a）2+（y﹣2a﹣3）2=r2，因为圆心M到y轴的距离d=a，由，得：a=，…（10分）所以圆M的方程为．…（11分）（2）假设存在定直线l与动圆M均相切，当定直线l的斜率不存在时，不合题意，…（12分）当定直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx+b，则对任意r＞0恒成立，由|k×﹣r﹣3+b|=r，得：（）2r2+（k﹣2）（b﹣3）r+（b﹣3）2=（1+k2）r2，…（14分）所以，解得：或，所以存在两条直线y=3和4x+3y﹣9=0与动圆M均相切．…（16分）点评：本题考查点P的轨迹方程的求法，考查圆的方程的求法，考查当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21.（本小题满分12分）已知a∈（0，π）且cos（a-）=。求cosa参考答案：解：因为，所以，…………………2分又，所以，…………8分

………………11分

………………12分22.已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x（a∈R，e为自然对数的底）（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]