2021-2022学年辽宁省沈阳市重工第五高级中学高三数学理上学期期末试题含解析

2021-2022学年辽宁省沈阳市重工第五高级中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数（）的图象与的图象的两相邻交点间的距离为，要得到的图象，只需把的图象（

）A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度参考答案：A2.设，若不等式对于任意恒成立，则的最小值是

A.1

B.

C.0

D.2参考答案：D略3.在中，，，则的最大值为（

）A．

B． C．

D．参考答案：D有正弦定理可得，故当时，的最大值为.故选D.4.已知函数的图象经过两点，在内有且只有两个最值点，且最大值点大于最小值点，则（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由题意画出函数的图像，然后结合图像以及题目的条件，利用特殊点代入，结合参数范围，即可求出函数的解析式.【详解】根据题意可以画出函数的图像大致如下因为，由图可知，又因为，所以，所以，因为，由图可知，，解得，又因为，可得，所以当时，，所以，故答案选D.【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图像与性质，属于中档题.这类型题的关键在于结合图像，以及各个参数的几何意义，利用特殊点代入求解.5.已知m，n是两条不同的直线，α是平面，则下列命题中是真命题的是（）A．若m∥α，m∥n，则n∥α B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，m⊥n，则n∥α D．若m⊥α，n⊥m，则n∥α参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据空间直线与平面，直线与直线判定定理及性质定理，以及几何特征，我们逐一对题目中的四个命题进行判断，即可得到答案．【解答】解：对于A，若m∥α，m∥n，则n∥α或n?α，假命题；对于B，若m⊥α，n⊥α，根据线面垂直的性质，可得m∥n，真命题；对于C，若m∥α，m⊥n，则n与α位置关系不确定，假命题；对于D，若m⊥α，n⊥m，则n∥α或n?α，假命题，故选：B．6.若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为A．

B．C．

D．参考答案：B平移后函数解析式为，令，则，．故选B．

7.在中，,，在边上，且,则A．

B．

C．

D．参考答案：A8.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为A. B. C. D.参考答案：【知识点】导数的应用B12【答案解析A

y′=，y′|x=4=e2∴曲线y=在点（4，e2）处的切线方程为y-e2=e2（x-4）

即y=e2x-e2令x=0，得y=-e2，令y=0，得x=2∴此切线与坐标轴所围三角形的面积为×2×e2=e2

故答案为A【思路点拨】先利用复合函数求导法则求已知函数的导函数，再利用导数的几何意义求切线斜率，进而利用直线的点斜式写出切线方程，最后求直线与坐标轴的交点，计算直角三角形的面积即可9.设是虚数单位，若，则的值是A、-1

B、1

C、

D、参考答案：D10.若O是△ABC的重心，=﹣2，A=120°，则||的最小值为(

)A． B． C． D．参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据已知条件容易得到，O是△ABC的重心，而重心是中线的交点，从而可得到（），从而可得到，由基本不等式即可得到，从而求得的最小值．【解答】解：，A=120°；∴；O是△ABC的重心；∴；∴；∴；∴的最小值为．故选C．【点评】考查数量积的计算公式及其运算，重心的定义，重心的性质：重心到顶点距离是它到对边中点距离的2倍，以及基本不等式用于求最值，以及要求的范围先求范围的方法．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.连续投骰子两次得到的点数分别为m，n，作向量（m，n），则与（1，﹣1）的夹角成为直角三角形内角的概率是_____．参考答案：【分析】根据分步计数原理可以得到试验发生包含的所有事件数，满足条件的事件数通过列举得到即可求解【详解】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件数6×6，∵m＞0，n＞0，∴（m，n）与（1，﹣1）不可能同向．∴夹角θ≠0．∵θ∈（0，]?0，∴m﹣n≥0，即m≥n．当m＝6时，n＝6，5，4，3，2，1；当m＝5时，n＝5，4，3，2，1；当m＝4时，n＝4，3，2，1；当m＝3时，n＝3，2，1；当m＝2时，n＝2，1；当m＝1时，n＝1．∴满足条件的事件数6+5+4+3+2+1∴概率P．故答案为：【点睛】本题考查古典概型，考查向量数量积，考查分类讨论思想，准确计算是关键12.若函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是________．参考答案：略13.某地每年消耗木材约20万立方米，每立方米价240元.为了减少木材消耗,决定按t%征收木材税，这样每年的木材消耗量减少万立方米.为了减少木材消耗又保证税金收入每年不少于90万元，则的范围__________________.参考答案：[3,5]14.已知向量，，且，则

．参考答案：415.在一次射箭比赛中，某运动员次射箭的环数依次是，则该组数据的方差是

▲

.参考答案：16.如图，直线与圆及抛物线依次交于A、B、C、D四点，则

. 参考答案：1417.若函数的零点个数为，则______．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．（Ⅰ）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；（Ⅱ）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大参考答案：解：（I）∵蓄水池的侧面积的建造成本为200?πrh元，底面积成本为160πr2元，∴蓄水池的总建造成本为200?πrh+160πr2元，

即200?πrh+160πr2=1200π∴h=（300-4r2），

∴V（r）=πr2h=πr2?（300-4r2）=（300r-4r3）

又由r＞0，h＞0可得0＜r＜5，故函数V（r）的定义域为（0，5）

（II）由（I）中V（r）=（300r-4r3），（0＜r＜5），可得V′（r）=（300-12r2），（0＜r＜5），

令V′（r）=（300-12r2）=0，则r=5，

当r∈（0，5）时，V′（r）＞0，函数V（r）为增函数，当r∈（5，5）时，V′（r）＜0，函数V（r）为减函数，

∴当r=5，h=8时该蓄水池的体积最大略19.（本小题满分12分）已知曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线l：y=-2的距离小1．

（1）求曲线C的方程：

（2）若过点P（2，2）的直线m与曲线C交于A，B两点，设

（i）当λ=1时，求直线m的方程：

（ii）当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求λ的值．参考答案：略20.已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为，点是坐标平面内一点，且，（为坐标原点）.（1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率为的动直线交椭圆于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过该点？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.参考答案：（1）设，，，则由，得；由得，即.所以.又因为，所以.因此所求椭圆的方程为：.（2）设动直线的方程为：，由得.设，，则，.假设在轴上是否存在定点，满足题设，则，.由假设得对于任意的，恒成立，即解得.因此，在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过该点，点的坐标为.21.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点（，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设M、N是椭圆C上的点，直线OM与ON（O为坐标原点）的斜率之积为﹣，若动点P满足=+2，试探究，是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值？若存在，求F1，F2的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由椭圆经过点（，1），且离心率为，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）由，得x=x1+2x2，y=y1+2y2，由M，N都在椭圆=1上，设=﹣，得到点P是椭圆上的点，由此能求出F1，F2的坐标．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点（，1），且离心率为，∴，解得a=2，b=，∴椭圆C的方程为=1．（Ⅱ）设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），则由，得x=x1+2x2，y=y1+2y2，∵M，N都在椭圆=1上，∴，∴（）=（）+4（）+4（x1x2+2y1y2）=20+4（x1x2+2y1y2），设=﹣，∴x1x2+2y1y2=0，∴x2+2y2=20，∴点P是椭圆上的点，∴由椭圆的定义知存在点F1，F2，满足|PF1|+|PF2|=2=4为定值，又∵|F1F2|=2=2，∴F1，F2的坐标分别为F1（﹣，0），F2（，0）．22.（本小题满分12分）

等差数列中，首项，公差，前n项和为，已知数列成等比数列，其中，，．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）令，数列的前n项和为．是否存在一个最小正整数M，使得当时，（）恒成立？若存在，求出这个M值，若不存在，说明理由．

参考答案：解：（Ⅰ）由，得，解得，，2分，又等比数列中，公比，所以，，．··········································································6分（Ⅱ）存在一个最