2022年江苏省扬州市头桥中学高二数学理联考试题含解析

2022年江苏省扬州市头桥中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某班举行联欢会，原定的五个节目已排出节目单，演出前又增加了两个节目，若将这两个节目插入原节目单中，则不同的插入方法总数为（

）

A．30

B．36

C．42

D．12参考答案：C2.已知离散型随机变量X服从二项分布，且，则的最小值为（

）A.2 B. C. D.4参考答案：C【分析】根据二项分布的性质可得，，化简即，结合基本不等式即可得到的最小值.【详解】离散型随机变量X服从二项分布，所以有，，所以，即，（，）所以，当且仅当时取得等号．故选C．【点睛】本题主要考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题．3.已知x0，若x＋的值最小，则x为（

）.A．81

B．9

C．3

D．16

参考答案：B略4.已知数列的前n项和，若，则n的值等于（

）A．5

B．4 C．3

D．2参考答案：A5.等腰△ABC底角B的正弦与余弦的和为，则它的顶角是（）A．30°或150° B．15°或75° C．30° D．15°参考答案：A【分析】根据题意知sinB+cosB=，再两边平方得出sin2B的值，进而由诱导公式可知sinA=sin（180°﹣2B）=sin2B，即可得出结果．【解答】解：由题意：sinB+cosB=．两边平方得sin2B=，设顶角为A，则A=180°﹣2B．∴sinA=sin（180°﹣2B）=sin2B=，∴A=30°或150°．故选：A．【点评】此题考查了同角三角函数的基本关系，解题过程要注意三角形中角的范围，属于中档题．6.已知函数的导函数为,且，如果，则实数a的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A略7.下列选项中，说法正确的是（）A．命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的充分不必要条件B．命题“在△ABC中，A＞30°，则sinA＞”的逆否命题为真命题C．若非零向量、满足|+|=||﹣||，则与共线D．设{an}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{an}为递增数列”的充分必要条件参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A，p∨q为真命题时，不能得出p∧q为真命题，不是充分不必要条件；B，“在△ABC中，A＞30°，则sinA＞”是假命题，它的逆否命题也为假命题；C，利用两边平方得出、的夹角为π，即与共线；D，q＞1时，等比数列{an}不一定为递增数列，不是充分不必要条件．【解答】解：对于A，若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真命题，若p∧q为真命题，则p，q都为真命题，所以“p∨q为真命题”是“p∧q为真命题”的必要不充分条件，A错误；对于B，“在△ABC中，A＞30°，则sinA＞”是假命题，如A=150°时，sinA=；所以它的逆否命题也为假命题，B错误；对于C，非零向量、满足，∴+2?+=﹣2||×||+，∴2||?||cosθ=﹣2||×||，θ为、的夹角；∴cosθ=﹣1，则与共线且反向，C正确；对于D，{an}是公比为q的等比数列，“q＞1”时，“{an}不一定为递增数列”，如a1＜0时为递减数列；不是充分必要条件，D错误．故选：C．8.用“辗转相除法”求得和的最大公约数是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D9.等比数列{an}中，，，函数，则（

）A.26 B.29 C.212 D.215参考答案：C【分析】将函数看做与的乘积，利用乘法运算的求导法则，代入可求得；根据等比数列性质可求得结果.【详解】又本题正确选项：【点睛】本题考查导数运算中的乘法运算法则的应用，涉及到等比数列性质应用的问题，关键是能够将函数拆解为合适的两个部分，从而求解导数值时直接构造出数列各项之间的关系.10.若命题“p或q”为真，“非p”为真，则 （） A．p真q真 B．p假q真

C．p真q假 D．p假q假参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某个班级组织元旦晚会，一共准备了A、B、C、D、E、F六个节目，节目演出顺序第一个节目只能排A或B，最后一个节目不能排A，且C、D要求相邻出场，则不同的节目顺序共有（

）种A.72 B.84 C.96 D.120参考答案：B分析：先排第一个节目，同时把C、D捆绑在一起作为一个元素，按第一个节目排A还是排B分类，如果第一个是B，则第二步排最后一个节目，如果第一个是A，则后面全排列即可．详解：由题意不同节目顺序有．故选B．点睛：本题考查了排列、组合题两种基本方法(1)限制元素(位置)优先法：①元素优先法：先考虑有限制条件的元素，再考虑其他元素；②位置优先法：先考虑有限制条件的位置，再考虑其他位置．(2)相邻问题捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”作全排列，最后再“松绑”——将“捆绑”元素在这些位置上作全排列．12.（普通班）.点（x，y）在直线x+3y-2=0上，则最小值为

参考答案：913.若命题p：?x∈R，x2+x﹣1≥0，则￢p：．参考答案：?x∈R，x2+x﹣1＜0【考点】特称命题．【专题】简易逻辑．【分析】根据特称命题的否定是全程命题，写出命题p的否定￢p即可．【解答】解：根据特称命题的否定是全程命题，得命题p：?x∈R，x2+x﹣1≥0，的否定是￢p：?x∈R，x2+x﹣1＜0．故答案为：?x∈R，x2+x﹣1＜0．【点评】本题考查了特称命题的否定是全称命题的应用问题，是基础题目．14.过抛物线C：y2=4x的焦点F作直线l将抛物线C于A、B，若|AF|=4|BF|，则直线l的斜率是

．参考答案：【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，设出直线l的方程，和抛物线方程联立，化为关于y的一元二次方程后利用根与系数的关系得到A，B两点纵坐标的和与积，结合|AF|=3|BF|，转化为关于直线斜率的方程求解．【解答】解：∵抛物线C方程为y2=4x，可得它的焦点为F（1，0），∴设直线l方程为y=k（x﹣1），由，消去x得y2﹣y﹣k=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2=，y1y2=﹣4①．∵|AF|=4|BF|，∴y1+4y2=0，可得y1=﹣4y2，代入①得﹣3y2=，且﹣4y22=﹣4，解得y2=±1，解，得k=±．故答案为：．15.△ABC中，AB=，AC=1，B=30°，则△ABC的面积等于

．参考答案：

或【考点】解三角形．【分析】由已知，结合正弦定理可得，从而可求sinC及C，利用三角形的内角和公式计算A，利用三角形的面积公式进行计算可求【解答】解：△ABC中，c=AB=，b=AC=1．B=30°由正弦定理可得b＜c∴C＞B=30°∴C=60°，或C=120°当C=60°时，A=90°，当C=120°时，A=30°，故答案为：或16.现有直径为d的圆木，要把它锯成横断面为矩形的梁，从材料力学知道，横断面为矩形的梁的强度Q=k?b?h2，（b为断面宽，h为断面高，k为常数），要使强度最大，则高与宽的比是

。参考答案：17.命题“”的否定是________．参考答案：?x∈R，x2+1<x试题分析：全程命题的否定是特称命题，并将结论加以否定，所以命题“x∈R，有x2+1≥x”的否定是：?x∈R，x2+1<x考点：全称命题与特称命题三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分15分）设函数，求的单调区间与极值.参考答案：19.为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：性别是否需要志愿者男女需要4030不需要160270

附：的观测值0.050.010.0013.8416.63510.828

（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）在犯错误的概率不超过0.01的前提下是否可认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？参考答案：（1）14%；（2）在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关；【分析】第一问中，利用表格中需要志愿者服务的老年人为70人，总数为500，则比例为0.14第二问中，利用公式

，结合表格中的概率值可以知道，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.【详解】（1）调查的500位老人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为.（2）随机变量的观测值.由于，因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.【点睛】本题主要考查了独立性检验的实际应用，属于中档题.20.已知数列是等差数列，为其前项和，且满足，数列满足，为数列的前n项和．（1）求数列的通项公式；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）（2）①当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．

，等号在时取得．此时需满足．

②当为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．

是随的增大而增大，时取得最小值．此时需满足．

综合①、②可得的取值范围是．（3），若成等比数列，则，即．…12分（法一）由，可得，即，

------------------------14分．

又，且，所以，此时．因此，当且仅当，时，数列中的成等比数列．--------16分（法二）因为，故，即，，（以下同上）．

--------------------14分21.参考答案：22.（本题满分12分）已知函