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微专题2离心率的求法第二章

圆锥曲线与方程离心率是圆锥曲线的一个重要性质.求离心率的方法有3种：1.直接求a，c，得e.2.构造关于a，c的齐次方程或不等式，解关于e的方程或不等式.3.通过特殊位置找特殊值求离心率.一、以渐近线为指向求离心率例1

(1)已知双曲线两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为__________.解析方法一由题意知，双曲线的渐近线存在两种情况.当双曲线的焦点在x轴上时，若其中一条渐近线的倾斜角为60°，如图1所示；若其中一条渐近线的倾斜角为30°，如图2所示，方法二根据方法一得到：当双曲线的焦点在x轴上时，渐近线的倾斜角θ为30°或60°，当双曲线的焦点在y轴上时，渐近线的倾斜角θ为30°或60°，[2，＋∞)(2)已知双曲线

(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是__________.故离心率e的取值范围是[2，＋∞).二、以焦点三角形为指向求离心率解析

方法一如图，连接AF1，由△F2AB是等边三角形，知∠AF2F1＝30°.易知△AF1F2为直角三角形，方法二如图，连接AF1，易得∠F1AF2＝90°，β＝∠F1F2A＝30°，α＝∠F2F1A＝60°，点评涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义求得

的值.三、寻求齐次方程求离心率2解析

如图，又2|AB|＝3|BC|，∴2(c2－a2)＝3ac，两边同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(负值舍去).点评求圆锥曲线的离心率，就是求a和c的值或a和c的关系，然后根据离心率的定义求得.但在多数情况下，由于受到题目已知条件的限制，很难或不可能求出a和c的值，只能将条件整理成关于a和c的关系式，进而求得

的值，其关键是善于利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2(或a2＝c2＋b2)，化简为参数a，c的关系式进行求解.四、利用圆锥曲线的范围求离心率的取值范围又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，点评一是通过设点的坐标，利用圆锥曲线上点的坐标的范围，转化为离心率的取值范围.二是利用焦半径的范围得到a与c的不等式从而求得离心率的范围.(1)椭圆焦半径的取值范围为[a－c，a＋c].(2)双曲线的焦半径①点P与焦点F同侧

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