有限样本空间与随机事件事件的关系和运算

10.1.1有限样本空间与随机事件

10.1.2事件的关系和运算课标阐释思维脉络1.理解有限样本空间、样本空间、样本点的概念.(数学抽象)2.理解必然事件、不可能事件、随机事件、基本事件的含义及其关系.(数学抽象)3.理解事件A与事件B之间的关系,及并事件、交事件、事件互斥、事件互为对立等相关概念.(数学抽象)激趣诱思知识点拨体育彩票摇奖时,将10个质地和大小完全相同的小球标上号码,分别为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,然后放入摇奖器中经过充分搅拌后先后摇出两个小球,观察该球的号码,那么这个试验的结果共有多少种情况?如何表示这些结果?如果改为抽取时先抽出一球,放回后再抽出一球,观察该球的号码,那么这个试验的结果共有多少种情况?激趣诱思知识点拨知识点一、有限样本空间的相关概念1.随机试验:我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母E表示.说明:本节中我们研究的是具有以下特点的随机试验.(1)试验可以在相同条件下重复进行;(2)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.激趣诱思知识点拨2.样本点:我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,一般用ω表示样本点.3.样本空间:全体样本点的集合称为试验E的样本空间,一般用

Ω表示样本空间.4.有限样本空间:如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间,也就是说Ω为有限集的情况即为有限样本空间.名师点析

样本点与样本空间的关系可联想元素与集合的关系来理解记忆.注意:试验不同,对应的样本空间也不同;同一试验,若试验的目的不同,则对应的样本空间也不同.激趣诱思知识点拨微思考

抛掷两枚骰子,观察它们落地时朝上面的点数情况,你能写出该试验的样本空间吗?提示:可以考虑用有序数对(a,b)来表示试验的结果.其中a表示其中一枚骰子的点数,b表示另一枚骰子的点数,则有Ω={(a,b)|1≤a≤6,1≤b≤6,且a,b∈N*},当然Ω还可以用列举法进行表示,该样本空间中有36个样本点.激趣诱思知识点拨微练习袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球,分别写出以下随机试验的样本空间.(1)从中任取1球;(2)从中任取2球.解:(1)Ω={红,白,黄,黑}.(2)若记(红,白)表示一次试验中取出的是红球与白球,则Ω={(红,白),(红,黄),(红,黑),(白,黄),(白,黑),(黄,黑)}.激趣诱思知识点拨知识点二、事件的概念及分类1.随机事件:样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件.2.基本事件:只包含一个样本点的事件称为基本事件.3.事件A发生:在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时,称为事件A发生.4.必然事件:Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件.5.不可能事件:空间⌀不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称⌀为不可能事件.说明:(1)为了方便统一处理,将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形.(2)每个事件都是样本空间Ω的一个子集.激趣诱思知识点拨名师点析

应该注意事件发生的结果是相对应于“一定条件”而言的.故要弄清某一随机事件,必须明确何为事件发生的条件.随机事件发生有可能性大小之分.激趣诱思知识点拨微练习(1)已知集合A是集合B的真子集,则下列关于非空集合A,B的四个说法:①若任取x∈A,则x∈B是必然事件;②若任取x∉A,则x∈B是不可能事件;③若任取x∈B,则x∈A是随机事件;④若任取x∉B,则x∉A是必然事件.其中正确的说法有(

)A.1个

B.2个

C.3个

D.4个解析:∵集合A是集合B的真子集,∴A中的任意一个元素都是B中的元素,而B中至少有一个元素不在A中,因此①正确,②错误,③正确,④正确.答案:C激趣诱思知识点拨(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.①从集合的角度看,事件⌀与事件Ω的关系为⌀⊆Ω.(

)②必然事件也可能不发生,不可能事件一定不能发生.(

)③只有当A中的样本点都发生了,事件A才发生.(

)答案:①√

②×

③×激趣诱思知识点拨知识点三、利用集合的知识研究随机事件

激趣诱思知识点拨激趣诱思知识点拨激趣诱思知识点拨微练习(1)掷一颗骰子,统计正面向上的点数.记“出现5点”=A,“出现3点”=B,“出现1点”=C,则“出现奇数点”这一事件可表示为

.事件A∪B与事件C是否互为对立事件,

(填“是”或“否”).

答案:A∪B∪C

否(2)有甲、乙两台机床,记“甲正常工作”=A,“乙正常工作”=B,则AB表示

,“甲不能正常工作”可记为

.

答案:“甲、乙同时正常工作”

激趣诱思知识点拨(3)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.③事件A,B,C至少有两个发生可表示为A∪B∪C.(

)④若事件A与事件B互为对立事件,则事件A与事件B一定为互斥事件.(

)答案:①√

②√

③×

④√探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测试验的样本空间例1某人做试验,从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中,无放回地取两个小球,每次取一个,先取的小球的标号为x,后取的小球的标号为y,这样构成有序实数对(x,y).(1)写出这个试验的样本空间;(2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件.分析利用列举法按照一定的顺序逐个列举即可.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:(1)当x=1时,y=2,3,4;当x=2时,y=1,3,4;当x=3时,y=1,2,4;当x=4时,y=1,2,3.因此,这个试验的样本空间是Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}.(2)记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A,则A={(2,1),(2,3),(2,4)}.反思感悟

随机事件的结果是相对于条件而言的,要弄清某一随机事件的结果,首先必须明确事件发生的条件.在写试验结果时,要按照一定的顺序采用列举法写出,注意不能重复也不能遗漏.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测延伸探究

1若将本例中的条件改为有放回地取两个小球呢?每次取一个,先取的小球的标号为x,看清编号后放回盒子摇匀,再取一个小球的标号为y,这样构成有序实数对(x,y).试写出这个试验的样本空间.解:当x=1时,y可取1,2,3,4.同理,x=2,3,4时,对应的不同的试验结果也有4个.所以这个试验的样本空间为Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测延伸探究

2若将本例中的条件改为无放回地取三个小球呢?每次取一个,先取的小球的标号为x,后取的小球的标号为y,最后取的小球的标号为z,这样构成有序实数对(x,y,z).试写出这个试验的样本空间.解:当x=1时,y可取2,3,4.若y=2,则z可取3,4;若y=3,则z可取2,4;若y=4,则z可取2,3.同理,x=2,3,4时,对应的不同的试验结果也有6个.所以,这个试验的样本空间是Ω={(1,2,3),(1,2,4),(1,3,2),(1,3,4),(1,4,2),(1,4,3),(2,1,3),(2,1,4),(2,3,1),(2,3,4),(2,4,1),(2,4,3),(3,1,2),(3,1,4),(3,2,1),(3,2,4),(3,4,2),(3,4,1),(4,1,2),(4,1,3),(4,2,1),(4,2,3),(4,3,2),(4,3,1)}.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测随机事件的概念及分类例2(1)(2020辽宁高一期末)以下的随机事件中不是必然事件的是(

)A.标准大气压下,水加热到100℃,必会沸腾B.长和宽分别为a,b的矩形,其面积为a×bC.走到十字路口,遇到红灯D.三角形内角和为180°(2)(2020辽宁鞍山一中高一期末)下列事件中,是必然事件的是(

)A.任意买一张电影票,座位号是2的倍数B.12个人中有两个人生肖相同C.买了一注彩票中一等奖D.实数a+b=b+a探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解析:(1)在A中,标准大气压下,水加热到100

℃,必会沸腾是必然事件,故A不符合题意;在B中,长和宽分别为a,b的矩形,其面积为a×b是必然事件,故B不符合题意;在C中,走到十字路口,遇到红灯是随机事件但不是必然事件,故C符合题意;在D中,三角形内角和为180°是必然事件,故D不符合题意.(2)四个选项都是随机事件,但选项A,B,C中的事件都不确定发生,因此都不是必然事件,只有选项D总会发生,因此是必然事件.答案:(1)C

(2)D反思感悟

1.要判断一个事件是必然事件、随机事件,还是不可能事件,要从定义出发.2.必然事件和不可能事件不具有随机性,但为了统一处理,将必然事件和不可能事件作为随机事件的特殊情形,具有随机性的和不具有随机性的事件都可以理论上认为是随机事件.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练1从6个篮球、2个排球中任选3个球,则下列事件中,不可能事件是(

)A.3个都是篮球 B.至少有1个是排球C.3个都是排球 D.至少有1个是篮球解析:根据题意,从6个篮球、2个排球中任选3个球,四个选项都是随机事件,进一步C是不可能事件,D是必然事件.答案:C探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测互斥事件、对立事件的判断例3(2020山东潍坊高一检测)把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得一张,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是(

)A.对立事件 B.互斥但不对立事件C.不可能事件 D.以上都不对分析由题意可知事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生,但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外,还有“丙分得红牌”和“丁分得红牌”,则两者不是对立事件.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解析:根据题意,把红、黄、蓝、白四张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四个人,事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生,则两者是互斥事件,但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外,还有“丙分得红牌”和“丁分得红牌”,则两者不是对立事件.∴事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件.故选B.答案:B探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟

1.一般判断互斥事件或对立事件从集合的角度来认识,若A∪B=Ω,A∩B=⌀,则称事件A与事件B互为对立;若A∩B=⌀,则称事件A与事件B互斥(互不相容).对于本例中的问题,

要把样本空间明确,再进行分析.2.判互斥事件的步骤(1)确定每个事件包含的结果;(2)确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生,若是,则两事件不互斥,否则就是互斥的.3.判对立事件的步骤(1)判断是互斥事件;(2)确定两个事件必然有一个发生,否则只有互斥,但不对立.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练2从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球,则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是(

)A.取出2个红球和1个白球B.取出的3个球全是红球C.取出的3个球中既有红球也有白球D.取出的3个球中不止一个红球解析:从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球,则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是取出的3个球中至少有两个红球.故选D.答案:D探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测用简单事件的和或积表示复杂事件例4已知电路图 ,其中记A1=“开关K1合上”,A2=“开关K2合上”.则A1A2表示的含义是

.

答案:开关K1,K2同时合上探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测例5盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件A=“3个球中有1个红球,2个白球”,事件B=“3个球中有2个红球,1个白球”,事件C=“3个球中至少有1个红球”,事件D=“3个球中既有红球又有白球”.问:(1)事件D与A,B是什么样的运算关系?(2)事件C与A的交事件是什么事件?分析事件间运算的类型:探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:(1)对于事件D,可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球,故D=A∪B.(2)对于事件C,可能的结果为1个红球2个白球,2个红球1个白球,3个均为红球,故C∩A=A.反思感悟

进行事件运算时应注意的问题(1)进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.(2)在一些比较简单的题目中,需要判断事件之间的关系时,可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目,就得严格按照事件之间关系的定义来推理.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练3在掷质地均匀的骰子的试验中,可以定义许多事件.例如:C1=“出现1点”,C2=“出现2点”,C3=“出现3点”,C4=“出现4点”,C5=“出现5点”,C6=“出现6点”,D1=“出现的点数不大于1”,D2=“出现的点数大于3”,D3=“出现的点数小于5”,E=“出现的点数小于7”,F=“出现的点数为偶数”,G=“出现的点数为奇数”,请根据上述定义的事件,回答下列问题.(1)请列出事件D2,事件F包含的事件及符合相等关系的事件;(2)利用和事件的定义,判断上述哪些事件是和事件.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:(1)事件D2包含事件C4,C5,C6.事件F包含事件C2,C4,C6.事件C1与事件D1相等,即C1=D1.(2)因为D2=“出现的点数大于3”=“出现4点或出现5点或出现6点”,所以D2=C4∪C5∪C6,所以事件D2为和事件.同理可得事件D3,事件E,事件F,事件G均为和事件.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练4(2020全国高一课时练习)从一批100件的产品中每次取出一个(取后不放回),假设100件产品中有5件是次品,用事件Ak表示第k次取到次品(k=1,2,3),试用A1,A2,A3表示下列事件.(1)三次全取到次品;(2)只有第一次取到次品;(3)三次中至少有一次取到次品;(4)三次中恰有两次取到次品;(5)三次中至多有一次取到次品.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测分类讨论与数形结合思想的应用典例先后抛掷两枚质地均匀的硬币,则:(1)一共可能出现多少种不同的结果?(2)出现“一枚正面,另一枚反面”的情况有几种?解:(1)(方法一)一共可能出现“两枚正面”“两枚反面”“一枚正面,一枚反面”“一枚反面,一枚正面”4种不同的结果.(方法二)借助树状图列出试验所有可能结果.共4种不同的结果.(2)出现“一枚正面,另一枚反面”的情况有2种.方法点睛

(1)把握随机试验的实质,明确一次试验的含义.(2)按一定的顺序用有序数组的形式写出,要不重不漏.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练一个家庭有两个小孩儿,则可能的结果为(

)A.{(男,女),(男,男),(女,女)}B.{(男,女),(女,男)}C.{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}D.{(男,男),(女,女)}解析:随机试验的所有结果要保证等可能性.两小孩儿有大小之分,所以(男,女)与(女,男)是不同的结果,故选C.答案:C探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测1.(2020全国高一课时练习)下列事件:①连续两次抛掷同一骰子,两次都出现2点;②走到十字路口,遇到绿灯;③异性电荷相互吸引;④掷一石块,下落.其中是随机事件的个数是(

)A.1 B.2 C.3 D.4解析:由随机事件的概念可知①②是随机事件,③④是必然事件,也属于随机事件的极端情形.答案:D探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测2.抽查10件产品,设“至少抽到2件次品”为事件A,则A的对立事件是(

)A.至多抽到2件次品 B.至多抽到2件正品C.至少抽到2件正品 D.至多抽到1件次品解析:抽查10件产品,设“至少抽到2件次品”为事件A,则

为至多抽到一件次品.故选D.答案:D探究一探究二探究三探究