空间几何体的表面积与体积 全省一等奖

第2节空间几何体的表面积与体积考试要求了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.知

识

梳

理1.多面体的表(侧)面积

多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝——S圆锥侧＝——S圆台侧＝—————2πrlπrlπ(r1＋r2)l3.柱、锥、台和球的表面积和体积Sh4πR2[常用结论与易错提醒]1.表面积应为侧面积和底面积的和，要注意组合体中哪些部分暴露或遮挡.2.求空间几何体体积的常用方法 (1)公式法：直接根据相关的体积公式计算. (2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等. (3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体.解析(1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确.(2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.答案(1)×

(2)×

(3)√

(4)√解析

S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm).答案

B3.(2020·北京通州期末)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中面积最小的侧面面积为(

)答案B4.(2018·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(

)

A.2 B.4

C.6 D.8答案C5.(2019·江苏卷)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E－BCD的体积是________.答案106.(2020·杭州质检)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是________cm3；表面积是________cm2.答案288－24π

264＋12π【例1】(1)(2020·温州适应性测试)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是(

)考点一空间几何体的表面积(2)(2020·浙江新高考仿真卷五)圆柱

被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝(

)A.1

B.2C.4 D.8答案(1)D

(2)B规律方法空间几何体表面积的求法.(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.【训练1】(1)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图均为半径是2的圆，则这个几何体的表面积是________.(2)(2020·浙江新高考仿真卷一)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有一“阳马”P－ABCD，已知其体积为8，AB＝2，BC＝3，则该“阳马”的最长侧棱长为________，表面积为________.考点二空间几何体的体积【例2】(1)(一题多解)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(

)A.90π B.63π

C.42π D.36π(2)(2019·北京卷)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为________.答案(1)B

(2)40规律方法空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.【训练2】(1)(2019·浙江卷)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是(

)A.158 B.162

C.182 D.324考点三最值问题【例3】(1)(2016·浙江卷)如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD＝DA，PB＝BA，则四面体PBCD的体积的最大值是________.解析

(1)设PD＝DA＝x，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，要使四面体体积最大，当且仅当点P到平面BCD的距离最大，而P到平面BCD的最大距离为x.(1)

(2)规律方法常用方法是将几何图形展开为平面图形，利用几何性质求解或利用函数或不等式求最值.【训练3】(1)(2020·上海徐汇区一模)如图，棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点，点P，Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上的动点，则△PEQ周长的最小值为(

)(2)