第3章 第1节　角的概念的推广、弧度制与任意角的三角函数解析含教学设计案例教案学案说课稿教学反思北师大版（理）

第三章三角函数、解三角形[深研高考·备考导航]为教师备课、授课提供丰富教学资源[五年考情]考点2016年2015年2014年2013年2012年任意角和弧度制及任意角的三角函数——全国卷Ⅰ·T6——同角关系、诱导公式—全国卷Ⅰ·T2全国卷Ⅰ·T8全国卷Ⅱ·T15—三角函数的图像和性质全国卷Ⅰ·T12全国卷Ⅱ·T7全国卷Ⅲ·T14全国卷Ⅰ·T8全国卷Ⅱ·T10全国卷Ⅰ·T6全国卷Ⅱ·T12全国卷Ⅰ·T15全国卷·T9正弦型函数及应用—————简单的三角恒等变换全国卷Ⅱ·T9全国卷Ⅲ·T5全国卷Ⅰ·T2全国卷Ⅱ·T14全国卷Ⅰ·T15全国卷Ⅱ·T15—正弦定理和余弦定理全国卷Ⅰ·T17全国卷Ⅱ·T13全国卷Ⅲ·T8全国卷Ⅰ·T16全国卷Ⅱ·T17全国卷Ⅰ·T16全国卷Ⅱ·T4全国卷Ⅰ·T17全国卷Ⅱ·T17全国卷T17[重点关注]1．三角函数、解三角形是全国卷高考命题的重点，分值为15分或17分，一般是三道客观题或一道客观题、一道解答题，以中档题为主．2．主要考查三角函数的图像与性质，简单的三角恒等变换，正、余弦定理及其应用，且题目常考常新．3．客观题主要涉及三角函数的求值，函数的图像及性质，解答题主要以三角变换为工具，综合考查函数的图像与性质；或以正、余弦定理为工具，结合三角变换考查解三角形的有关知识．4．高考命题中，三角函数常与解三角形相结合，既可以考查三角恒等变换，又可以考查正、余弦定理的综合应用，符合高考命题“要在知识点的交汇处命题”的要求．[导学心语]1．立足基础，着眼于提高：立足课本，牢固掌握三角函数的概念、图像和性质；弄清每个公式成立的条件，公式间的内在联系及公式的变形、逆用等．要在灵、活、巧上下功夫，切不可死记硬背．2．突出数学思想方法：应深刻理解数与形的内在联系，理解众多三角公式的应用无一不体现等价转化思想．在解决三角函数的问题时仔细体会拆角、切化弦、三角函数归一的方法技能．3．抓住关键：三角函数的化简、求值中，要熟练掌握三角变换公式的应用，其中角的变换是解题的关键，注意已知与待求中角的关系，力争整体处理．4．注意交汇：三角函数与解三角形知识的交汇渗透，这也是高考命题的热点之一．第一节角的概念的推广、弧度制与任意角的三角函数[考纲传真]1.了解任意角的概念，了解弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．(2)分类eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：①角度与弧度的换算：a．1°＝eq\f(π,180)rad；b.1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°.②弧长公式：l＝|α|r.③扇形面积公式：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)r2α.3．任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫作α的正弦，记作sinαx叫作α的余弦，记作cosαeq\f(y,x)叫作α的正切，记作tanα各象限符号Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)小于90°的角是锐角．()(2)锐角是第一象限角，反之亦然．()(3)角α的三角函数值与终边上点P的位置无关．()(4)若α为第一象限角，则sinα＋cosα＞1.()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．(2017·西宁复习检测(一))若cosθ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边所在象限为()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限D[由cosθ>0，sin2θ＝2sinθcosθ＜0得sinθ＜0，则角θ的终边在第四象限，故选D.]3．(教材改编)已知角α的终边与单位圆的交点为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，y))，则sinα＝()【导学号：57962131】A.eq\f(\r(,3),2) B．±eq\f(\r(,3),2)C.eq\f(\r(,2),2) D．±eq\f(\r(,2),2)B[由题意知|r|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝1，所以y＝±eq\f(\r(,3),2).由三角函数定义知sinα＝y＝±eq\f(\r(,3),2).]4．在单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为()【导学号：57962132】A．10π B．9πC.eq\f(9,10)π D．eq\f(10,9)πD[单位圆的半径r＝1,200°的弧度数是200×eq\f(π,180)＝eq\f(10,9)π，由弧度数的定义得eq\f(10,9)π＝eq\f(l,r)，所以l＝eq\f(10,9)π.]5．已知半径为120mm的圆上，有一条弧长是144mm，则该弧所对的圆心角的弧度数为________rad.1．2[由题意知α＝eq\f(l,r)＝eq\f(144,120)＝1.2rad.]角的有关概念及其集合表示(1)若角α是第二象限角，则eq\f(α,2)是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角(2)已知角α的终边在如图3­1­1所示阴影部分表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________．图3­1­1(1)C(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(5,6)π))(k∈Z)[(1)∵α是第二象限角，∴eq\f(π,2)＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，∴eq\f(π,4)＋kπ＜eq\f(α,2)＜eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，eq\f(α,2)是第一象限角；当k为奇数时，eq\f(α,2)是第三象限角．综上，eq\f(α,2)是第一或第三象限角．(2)在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5,6)π))，∴所求角的集合为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(5,6)π))(k∈Z)．][规律方法]1.与角α终边相同的角可以表示为β＝2kπ＋α(k∈Z)的形式，α是任意角；相等的角终边一定相同，终边相同的角不一定相等；角度制与弧度制不能混用．2．由α所在象限，判定eq\f(α,2)所在象限，应先确定eq\f(α,2)的范围，并对整数k的奇、偶情况进行讨论．[变式训练1](1)设集合M＝{x∣x＝eq\f(k,2)·180°＋45°，k∈Z}，N＝{x∣x＝eq\f(k,4)·180°＋45°，k∈Z}，那么()A．M＝N B．MNC．NM D．M∩N＝∅(2)已知角α＝45°，在区间[－720°，0°]内与角α有相同终边的角β＝________.【导学号：57962133】(1)B(2)－675°或－315°[(1)法一：由于M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)·180°＋45°，k∈Z))))＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,4)·180°＋45°，k∈Z))))＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有MN，故选B.法二：由于M中，x＝eq\f(k,2)·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝eq\f(k,4)·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有MN，故选B.(2)由终边相同的角的关系知β＝k·360°＋45°，k∈Z，∴取k＝－2，－1，得β＝－675°或β＝－315°.]扇形的弧长、面积公式(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？[解](1)设圆心角是θ，半径是r，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋rθ＝10，,\f(1,2)θ·r2＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,θ＝8))(舍去)或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝4，,θ＝\f(1,2)，))∴扇形的圆心角为eq\f(1,2). 5分(2)设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40. 7分又S＝eq\f(1,2)θr2＝eq\f(1,2)r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100. 9分当且仅当r＝10时，Smax＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2，∴当r＝10，θ＝2时，扇形的面积最大. 12分[规律方法]1.(1)在弧度制下，计算扇形面积和弧长比在角度制下更方便、简捷；(2)从扇形面积出发，在弧度制下把问题转化为关于R的二次函数的最值问题(如本例)或不等式问题来求解．2．利用公式：(1)l＝|α|R；(2)S＝eq\f(1,2)lR；(3)S＝eq\f(1,2)|α|R2.其中R是扇形的半径，l是弧长，α(0＜α＜2π)为圆心角，S是扇形面积，知道两个量，可求其余量．[变式训练2]已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10，(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.[解](1)在△AOB中，AB＝OA＝OB＝10，∴△AOB为等边三角形，因此弦AB所对的圆心角α＝eq\f(π,3). 5分(2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得l＝|α|·R＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)，S扇形＝eq\f(1,2)R·l＝eq\f(1,2)|α|·R2＝eq\f(50π,3). 9分又S△AOB＝eq\f(1,2)·OA·OB·sineq\f(π,3)＝25eq\r(,3)，∴S弓形＝S扇形－S△AOB＝50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(\r(,3),2))). 12分三角函数的定义(1)(2014·全国卷Ⅰ)若tanα＞0，则()A．sinα＞0 B．cosα＞0C．sin2α＞0 D．cos2α＞0(2)(2016·河南中原名校第三次联考)已知角α的终边经过点A(－eq\r(,3)，a)，若点A在抛物线y＝－eq\f(1,4)x2的准线上，则sinα＝()A．－eq\f(\r(,3),2)B．eq\f(\r(,3),2)C．－eq\f(1,2)D．eq\f(1,2)(1)C(2)D[(1)由tanα＞0知角α是第一或第三象限角，当α是第一象限角时，sin2α＝2sinαcosα＞0；当α是第三象限角时，sinα＜0，cosα＜0，仍有sin2α＝2sinαcosα＞0，故选C.(2)抛物线方程y＝－eq\f(1,4)x2可化为x2＝－4y，∴抛物线的准线方程为y＝1.∵点A在抛物线y＝－eq\f(1,4)x2的准线上，∴A(－eq\r(,3)，1)，由三角函数的定义得sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(1,\r(,－\r(,3)2＋12))＝eq\f(1,2).][规律方法]1.用定义法求三角函数值的两种情况．(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．2．确定三角函数值的符号，可以从确定角的终边所在象限入手进行判断．[变式训练3](1)(2016·山东聊城期中)设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝eq\f(1,5)x，则tan2α＝()【导学号：57962134】A.eq\f(24,7) B．－eq\f(24,7)C.eq\f(12,7) D．－eq\f(12,7)(2)函数y＝eq\r(,2cosx－1)的定义域为________．(1)A(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)[(1)由三角函数的定义可得cosα＝eq\f(x,\r(,x2＋42)).∵cosα＝eq\f(1,5)x，∴eq\f(x,\r(,x2＋42))＝