复变函数泰勒级数

复变函数泰勒级数1第一页，共三十四页，编辑于2023年，星期日一、问题的引入问题:任一个解析函数能否用幂级数来表达？.内任意点如图:.K.2第二页，共三十四页，编辑于2023年，星期日由柯西积分公式,有其中K取正方向.则3第三页，共三十四页，编辑于2023年，星期日4第四页，共三十四页，编辑于2023年，星期日由高阶导数公式,上式又可写成其中可知在K内5第五页，共三十四页，编辑于2023年，星期日令则在K上连续,6第六页，共三十四页，编辑于2023年，星期日即存在一个正常数M,7第七页，共三十四页，编辑于2023年，星期日在内成立,从而在K内圆周的半径可以任意增大,只要内成立.在的泰勒展开式,在泰勒级数8第八页，共三十四页，编辑于2023年，星期日如果到的边界上各点的最短距离为那末在的泰勒展开式在内成立．因为凡满足的必能使由上讨论得重要定理——泰勒展开定理在的泰勒级数的收敛半径至少等于，但9第九页，共三十四页，编辑于2023年，星期日二、泰勒定理其中泰勒级数泰勒展开式定理设在区域内解析,为

内的一为到的边界上各点的最短距离,那末点,时,成立,当泰勒介绍10第十页，共三十四页，编辑于2023年，星期日说明:1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多;(想一想,为什么?)4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的.(为什么?)11第十一页，共三十四页，编辑于2023年，星期日因为解析，可以保证无限次可各阶导数的连续性;所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比实变函数广阔的多.注意问题：利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数，展开式是否唯一？12第十二页，共三十四页，编辑于2023年，星期日那末即因此,任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数,因而是唯一的.13第十三页，共三十四页，编辑于2023年，星期日三、将函数展开成泰勒级数常用方法:

直接法和间接法.1.直接法:由泰勒展开定理计算系数14第十四页，共三十四页，编辑于2023年，星期日例如，故有15第十五页，共三十四页，编辑于2023年，星期日仿照上例,16第十六页，共三十四页，编辑于2023年，星期日2.间接展开法:借助于一些已知函数的展开式,结合解析函数的性质,幂级数运算性质(逐项求导,积分等)和其它数学技巧(代换等),求函数的泰勒展开式.间接法的优点:不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直接展开更为简洁,使用范围也更为广泛.17第十七页，共三十四页，编辑于2023年，星期日例如，18第十八页，共三十四页，编辑于2023年，星期日附:常见函数的泰勒展开式19第十九页，共三十四页，编辑于2023年，星期日20第二十页，共三十四页，编辑于2023年，星期日例1解四、典型例题21第二十一页，共三十四页，编辑于2023年，星期日上式两边逐项求导,22第二十二页，共三十四页，编辑于2023年，星期日例2分析如图,23第二十三页，共三十四页，编辑于2023年，星期日即将展开式两端沿C逐项积分,得解24第二十四页，共三十四页，编辑于2023年，星期日例3

解25第二十五页，共三十四页，编辑于2023年，星期日例4解26第二十六页，共三十四页，编辑于2023年，星期日例5解27第二十七页，共三十四页，编辑于2023年，星期日例6解即微分方程对微分方程逐次求导得:28第二十八页，共三十四页，编辑于2023年，星期日29第二十九页，共三十四页，编辑于2023年，星期日五、小结与思考通过本课的学习,应理解泰勒展开定理,熟记五个基本函数的泰勒展开式,掌握将函数展开成泰勒级数的方法,能比较熟练的把一些解析函数展开成泰勒级数.30第三十页，共三十四页，编辑于2023年，星期日奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?思考题31第三十一页，共三十四页，编辑于2023年，星期日奇函数的泰勒级数只含z的奇次幂项,偶函数的泰勒级数只含z的偶次幂项.思考题答案放映结束，按Esc退出.32第三十二页，共三十四页，编辑于2023年，星期日泰勒资料Born:18Aug1685inEdmonton,Middlesex,England

Died:29Dec1731inSomersetHouse,London,