数学竞赛及考研专题讲解1极限

00

分子或分母先因式分解，然后约分求值（分子和分母均为有理式x21例1求 x1

x1aaa：a

b

b)a(3a3b)(3a23a3b3b2)a112xx

x27x223 ⑥e口- 2

⑧(1+□)-1cosx

1

x2sinx

n2[(a

)nann x)(3x nx

A0为实数，a为常数，又nn

na(n1)

AA、2”型4x21

(x1)(x2)(x3)(3x4)(5x5x

x1

(5xxx x x15

例6求极限lim( x11

1(xa(xa)(x7

e的利用分析：①判断是否是“1②转换成（1+□）的形式③则limfx

g(

lim[（1+□）x

(

lim( e 8x

1

x

n2n2n

x

x8,求an

3n1xn11xndxlim32 设amaxaa,a}

0(k1,2,m，求nannanana m

9

x[1]“0

” （x

f

x

f/） sin sin1cosxx(1x)x(1) （2）

sin1cos11

xx x2x x21

x12

(0extxtx

x1

e2t20) tan2ysin)

x20

0

t x0(xt)x

f(xx6的邻域内可导，且

f(x)0，

fx)1995

6(ttf3

(61arctan1arctan1xa1x

xsinbt

2，试确定常数 ,b的（10）设f

连续，

f(x)

，0,c

为常数，求 xectf

f[2]0”型

[g(x)]/a

f(x)g(x)=

f

x[1f

f(x)→0

f

[fa

x[1g(x)12(1)

ex(1 1

1ax(

x（a0讨论

x

x

a“1”型﹑“00”型﹑0”型lnf(

[lnf(lim lim[f(x)]g(x)limeg(x)lnf(x)

x g(

x g(

x1ln

lim(xex)x

ln

1n（5）lim(xaxxe2xdx，求xx ”型0014

cos2) x

1xn7:不能用0

enx2sin例13求极限lim sin注意:下列中,x0 nxk

x2k kk

o(xk

sinx(2k1)!

nncosxk

2n1

nnln(1x)k

k

o(x2n

(1x)a1axaa1)(xx

anx

oxn

x6x5

x6x5

ln(x1x2ln(x1x2

lim1(1cotbb

x0xaa方法：如 f(x)dx存在，则

nnf(ak

k)afn nnk1n24k 1

actan2x

2dx

|0 nk1

nnk11

4(n

1

nxn2nnk

nx

1

[x2(k)]

(x2t)dtxnn11nn(n1)(n2)(2nn

k n2

n

k

1n 1

ln(11nn(n1nn(n1)(n2)(2nnn nlim1ln(1k1ln(1x)dx2ln21lnnnk

ln 1nn(n1nn(n1)(n2)(2nne方法：如果级数an收敛，则liman

n(2nan(2n

an

(2n

1n

n(2n

[(n 故级数

0n1(2n n(2n

nn

（同上n2n2n2n2n2n2

n1limn1nk1

nn f(n,nk

f(n,k)0，

g(nk)0limf(nk)1ng(n,k) limf(n,k)limg(n,knk nkknk例18求极限 (31nk

3131

1

1 1n 1 则 (31nk

1) 3n

k

xdx6xn

f

先判断数列{xn

n的正、负或判 比nx假设{xn的极限存在，并估算极限axna判断数列{xn6 6 66 6 6 6

6666

，x2

，x3

，…….xn

66

xn16xn1 6xnxn1xn1xn2xn6xn1 6xnxn10xnxn1

xn3

3

xn1xn1xn16xn3x13xnxn1xn166 设limx6

a

得a3，即66

xn)xn3比较大小判断数列有界呢？因为我们首先假设数列有极限时，3xn3比较。)（2）

1(3xn

x3xn

nn4xn4xnxnxn2n4n解：因为xn14(xnxnxnx3) 4n4xn11(324x x4x1

,11(1

,证明数列{x}、{y

2

xnxn1yxn10yn10所以1

1(1

1)

xn1xn1x

xn1(yn1xn1)xn1xn1yxn1xn1yn1

n2xn1nxn12xn1 yn1(xn1yn1ynyn1

yn1

即数列{yny111

12limxnalimyn 有a ab，11(11)

a 2 20lim123n

1xn21求lim01ynyn严格单调上升（N0N，当nN0xnyn1yn）

nyn

为有限或为，则limxn

xn22

n

nyn2(a12a23a3nan已知limanb，求

n1n 1k2klim （3）ini

nk

x22x22x

11 x

t0tet2arctan 如果

f

c0，且limg(x)0，则

f(x)xag(x)

f(xxx0处可导f(xxx0

f(x)

f(x0

/(a)

f(a(x))f(x)

，其中lim(x)24（1）f(x

f(xbA，求

f(x)sin

x

x解：因为limf(xbA且limxa0，所以

f(x)

x

f(x连续，故

f(x)

f(af(a)

f(x)sinb

2cosf(x)f(a)sin

f(x)f(a)

Acosf

x

xf(a1设f(x)在x=a可导，f(a)>0，求Wlim n f

解：Wlim n

f

1

f(a1)fn f(a1)f(a)f f(a )f(a)

f/

ef

f f(xx0连续，且lim1f(x)2fx0xsin解：因为lim1f(x)2且limxsinx0，所以lim1f(xx0xsin

f(x)

f(xx0f(0)

1f(x)

f(x)f(0)

f012f(0x0xsin

xf(x)

xsin 已知lim sinx2，则

f

3x1

x0x f(x)

f

0，则

sinx

f(x)

1

f(x)所以

x0sinf(x)2lnx

x

x0sin

ln3x0xf(xx0点二阶可导，且

f

1f(0),f0f''(0x01cos分析：因为f(x)x0点二阶可导，故f(x),fx连续，由于

f

1lim1cosx0，故

f(x)0f(0)

x01cos用法则

f/(x)sinx

1

/(0)

f/

f/

f

f

sin

x

,fx

x

f(xx)f(x

f(xx)f(xx)

f(xx)f(x)

f(xx)f

()f/f(xx0limsinxf(x))2f(0 x f/f(x在(0,f(1)1lim(

f(xxx)f(x)

)

xxf0fx0xf(x)xf

f(xh3)f(xh3

xf

hf(x)f(x

0，f//(0)4，求lim(1 ) 分析：由limf(x)0f(0)0，由

f(xf(0)0f/(0 1

xf(

xlimf(

f(x))x

f(x))f(x)x

ex0而

f

1

f/

1

f/

f

f x0

2

2

x

f(x))x

e219：求满足的的极限x表示25（1）已知ex1xex01)，求lim1，1，12x2xarcsinxarcsinxarcsin12x2x则利用

f(xh)f(xh)

f(x)f/(x)x1f//(xh)h22f(x)f/(x)x1f//(x)h21f///(xh)h3 f//(xh)h2f//(x)h21f///(xf//(xh)f//即

13

(xh0时，有lim 026fxDfx)0xhD0f

h)

f

)hf/

1，00

f(x

f(x)（1）

f(x存在

f(x)

f(x)

(a为一定值（2）

f(x)存在

f(x)1

1

f(x)

27讨论下列极限是否存在lim

12f(x)y(x)Ag(x)

xx0xx0x如y在xx0处有极值0

f(x)00

x0

有连续00

()00

()sin

x28(1)f(x)

f(xx0已知f(x)

x

33

1

x

如果

f(xf[1]已知

a且limg(x)0，则

f(x)0(注意必达法则xg(x) 29(1)已知

x2axbx2x

43(2)已知已知

atanxb(1cosx)cln(12x)sinx(cosxb)ex

1,c

1

Bx

ABB

d

(

3x24xax3x24x0

axmaxm1 [3]

m0bnbn

x2x

axb)0[4]在1,00,0等类型中,132(1limaxb

0,则b(2)已知limx2ax8,求xx7（1）f(x)

x2n1

(2)f(x)

nx2n1xn1x2en(x1)axf(xx1aen(x1)x2133（1）yx23x

（2）y

xtan如果x

f(x)1gxf(x的g(x)例 1当x0，选出形如Cxn的主部，并求其对x的

131x1，选出形如C(x131ex 3x2x，选出形如3x2

2x5x33x

xx0exax2bx1x2axx0时，(1cosxln(1x2xsinxnxsinxn是比ex2高阶的无穷小，求正整数1x0(1ax231和cosx1是等价无穷小，求x x 设当x0时 和x x f(x)ex1bxabf(xx0x1f(x)x3ln(1x3g(x)axnx0f(x)~g(x，求35（1）f(x)

xffxf(x)

xx

2，g(x)2

xfx27f(xf(g(x))f(xaxbag(x)bxf(g(x))的36当0x1f(xf(sin2x28f(g(x))f(xf(g(x))axbyg(x)axby的范围就是f(x)的定义域37当0x4f(x22x4f(x29f(xf(g(x))gx的表达式及其定义域38（1）已知f(x)ex2，f(g(x))1xg(x)0gx和定义域f(x)sinxf(g(x))1x2gx30f(xg(x，xaf(xxb,af(xf(x)f(x)g(x)f(xxb,af(xf(x)f(x)例39（1）f(x)x2,5)f(x)sinxx22f(x)x5,2)（2）f(xx2,5时，f(x)sinxx22f(xx31f(x)g(x)

xabf(x是周期为Tf(x(anTbnTxx1nTx1(a,bx1xnTf(xf(x1f(x)g(x1)g(x40f(x是以ax0a时，f(x)x3x2af(x1 11111lnnc

，其中lim0，c为常 求极限lim( 1

nnn n nx1x2n2、利用nx1x2n

limnn

nn

nn求极限n

x2n1kn

xnklim1231)n1nn an nn 0（2） （3） 1（4） nnn

nan

1n 1n

n2 （7）lim(11111)

)1

(n

(n

1x131x131x31x2

12x

12

1)

x3 3(1cos x

2xx2

1 cos1 cos1

x21

x3x42xx3x42x

x0ln(cos(2x3)20(3xln(ln(nx1n2x2ln(x1x2

x2x

)x2

(2xsin

tan2

x3x21

x3x22

cos2x21x21

ax

x1xx1 （18）lim( n)

（19）

xx cos2

cos3xexex

(x

exsinxx(13

3

sin

sinx2ln(1

11sinx1tan

sinxex111x0

1 1cos

sin

t0tan

0sin(xt)5

010 (1t2)arcsint

x2x tsin(x2t2

sin

exsinn

x4若

axsin

c(c0)，试确定常数 ,

cx0tax0tat

4

bxsin

sin

1axln(11ax

4，求

(1t)tx0x

x2t

x22t 0te（38） (39)

0tesinx x(40)

（41）limn2(nan1a

（a0tan

sinx )1

ln(1x)

(45)lim[ ]x 1 1x0

x0

ex1

xsin

cosxexxsin

x(48)

xxx

x2xx

(11)x2exx注意:在第(48)题中最好做t1代换，然后把f(t)在t0处 展n2n2

1

n2(n1)2n2nn2

cosksin n12nn12n

nn

k

nnsinnenenen

lim

n2n2n2n2

nn2n2

k1k1

n(57)n

(sinkanka

)2 x)2

nk 2（1）设0a1x12xn1

n

nn（2）x11,xn1

10，试证明数列xn收敛，并求极限n1(3)设

,

12

13

,证明数列

}、

}22

，xn

limn设a0

0,

1(x

a)

nna00,an

an14

nnx10xn1

3(xnxn

，证明limxnn

0，

n1

n1

nn（10）

1，

，证明

an1

22（11）ab,x0a,x1b,xn

xn12

，求lim

nn

nn11 233n （2）

i1

nni

i 4

x2x2

2e41e

sinx|x5（1）f(x为奇函数（偶函数f3)2f（2）设f(x)

f(x)0,f(0)

f(00u(x)是曲线y

f(x)在点x,f(x)x求u(x)x0u(x)x2u(0

fx x

0ff(xf(x)1xaxag(x)，其中

g(x)

1xa(xff(x)(xa)(xxxaf

f(xf(00f(0f(00，tyf(x.点(x,f(xx轴的截距，求limxf.x0tfx0f(x)xx0

x

f(xxe3f(0)xxf(0f(0

f(x) x0

xf(0)0f0)1

1f(x0an)f(x0bn1f(xx0an0bn0，求nf(xx0的某个邻域内二阶可导，且

ansinxxf(x))1f(0f/(0)，f//如

sin6xx