2023年辽宁省名校联盟高考数学联考试卷及答案解析

2023年辽宁省名校联盟高考数学联考试卷

本试卷满分150分。共22道题。考试用时•120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填

写在答题卡上。将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项

的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不

能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目

指定区域内相应位置上;如需改动,先画掉原来的答案,然后再写上新答案；

不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一.选择题（共8小题，满分40分）

1.（5分）已知集合M={x|9>l},N={x|log2（x-则a的取值范围是（）

A.（-1,0）B.（0,1）C.[-1,0]D.[0,1]

2.（5分）已知复数z满足-4一=2i,则z的共辄复数5=（）

z-1

42.422,4.「24.

AnB+lC-+l

A-_5_5Z-ss~55D--5-5z

3.（5分）新冠肺炎疫情防控期间，7名医学大学生志愿者到A,B,C三个社区参加疫情联

防联控工作，根据工作实际需要，A社区要分配三名志愿者，B,C两个社区各2名志愿

者，则不同的分配方法共有（）

A.210种B.240种C.420种D.480种

4.（5分）从一张圆形铁板上剪下一个扇形，将其制成一个无底圆锥容器，当容器体积最大

时，该扇形的圆心角是（）

22>/32^6

A.—rrB.nC.-----TTD.-----IT

333

5.（5分）已知tan（a—看）=2,tan（a+p）=-3,则tan（0+、=（）

A.1B.2C.3D.4

6.（5分）设某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种工件，且甲、乙、丙三个车间

的产量比为5：7：8,已知取出甲、乙、丙三个车间的产品，次品率依次为0.05、0.04、

0.02,现从这批工件中任取一件，则取到次品的概率为（）

A.0.11B.0.69C.0.0345D.0.04

7.（5分）设圆O的半径为1,P,A,8是圆。上不重合的点，则占•赢的最小值是（）

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•o

B

1ii

A.-7）B.-1C.一7D・-Q

Z4o

8.（5分）已知/（x）是定义域为R的奇函数，/（x+2）也是奇函数，当花（0,2）时，f

7T

（x）=2x-?,则/（-1）,/（-）,/（n）的大小关系是（）

A.6）＜/（兀）B./（J）＜/（TT）＜/（-1）

c./（-1）＜/（兀）＜/（刍D./（-1）＜r（5）＜/（TT）

二.多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9.（5分）已知”=2桢，h=3ln2,则下列判断正确的是（）

A.a^hB.aWb

C.a=bD.无法比较它们的大小

10.（5分）在△ABC中，D,E,尸分别是边8C,AC,AB中点，下列说法正确的是（）

A.ABAC-AD=0

B.DA+EB-VFC=0

—＞—＞T

ABACJ3AD---

C.若r-+—=则BD是B4在BC的投影向量

\AB\\AC\\AD\

TTT1

D.若点P是线段A£＞上的动点，且满足BP=4B4+〃BC,则入四的最大值为：

11.（5分）设｛斯｝是无穷数列，若存在正整数k,使得对任意〃6N*,均有所+K＞G”则称

｛斯｝是间隔递增数列，々是｛““｝的间隔数，下列说法正确的是（）

A.公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列

B.已知〃“=〃+,则｛即｝是间隔递增数列

C.已知即=2"-4〃，则｛即｝是间隔递增数列且最小间隔数是2

D.已知即=〃2-仞-4,若｛斯｝是间隔递增数列且最小间隔数是3,贝U4WfV5

12.（5分）设外是等差数列｛如｝的前〃项和，且0=2,“3=8,则（）

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A.〃5=12

B.公差d=3

C.S2〃=n（6H+1）

1n

D.数歹U{-------}的前"项和为T;

三.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13.（5分）某市高二20000名学生参加市体能测试，成绩采用百分制，平均分为80,标准

差为5,成绩服从正态分布，则成绩在（65,95］的人数为.

参考数据：P（H-。VXWn+。）=0.6826,P（p-2。VXW|i+2。）=0.9544,P（p-

3。VXWp+3。）=0.9974.

14.（5分）已知抛物线/=-8x的准线与双曲线C：---=1（a>0,b>0）的渐近线

分别交于A,B两点，O是坐标原点.若△AOB的内切圆的周长为m则内切圆的圆心坐

标为,双曲线C的离心率为.

15.（5分）已知x>2,>>1,且（x+y-3）（x+2y-3）=9,则3x+4），的最小值为.

16.（5分）如图所示，正方体48CD-AIBICIDI的棱长为2,E,尸为AAi,AB的中点，M

点是正方形ABBMi内的动点，若CiM〃平面CGE,则加点的轨迹长度为.

四.解答题（共6小题，满分70分）

17.（10分）^（l）asmC—y/3ccosBcosC=>/3bcos2C；②5ccos8+4b=5a；③（2b-a）cosC

=ccosA,这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.

在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.且满足.

（1）求sinC；

4V3

（2）已知a+6=5,△ABC的外接圆半径为可，求△ABC的边A8上的高/?.

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18.(12分)在递增的等比数列｛斯｝中,a2a5=32,03+04=12.

(1)求｛斯｝的通项公式;

(2)若尻=(-1)%〃+1，求数列(d｝的前〃项和S”.

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19.（12分）某品牌手机厂商推出新款旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时

间（x个月）市场占有率（y%）的几组相关对应数据:

X12345

y25111418

根据如表中的数据完成下列问题：

（I）用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；

（11）用变量间的相关关系分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起

经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过49%（精确到月）.

附：最小二乘法估计分别为b==邛=1（下口）夕5a=y_bx,其中

工陶第一位2电1（%「无天

x=3,y=10,SF=i（々—幻2=10.

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20.（12分）如图，在四棱锥尸-ABC。中，%_£平面48。。，AC,8。相交于点MDN=

2NB,已知必=AC=AC=3,BD=3®ZADB=30°.

（1）求证：AC_L平面B4。；

（2）设棱P力的中点为M,求平面以8与平面MAC所成二面角的正弦值.

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%“V”V3

21.(12分)已知椭圆ff=1(a>6>0)经过点(0,1),离心率为二",A、B、C为

a2b22

-»—>—>—>

椭圆上不同的三点，且满足。4+。8+。。=0,O为坐标原点.

(I)若直线48、OC的斜率都存在，求证：为定值；

(II)求它周的取值范围.

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22.(12分)已知函数/(x)=—扛2+%.

(1)若a=l,求/G)在x=l处的切线方程；

(2)若/(x)有2个极值点，求实数a的取值范围.

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2023年辽宁省名校联盟高考数学联考试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题，满分40分）

1

1.(5分)已知集合M={x|j>1},/V={x|log2(x-a)<1},MGN,则a的取值范围是()

A.(-1,0)B.(0,1)C.[-1,0]D.1]

1i—%

【解答】解：一>1=——X)=0<x<l,log2(x-a)<\=>a<x<2+a,

xx

由题意得：产-1W“WO.

124-a>1

故选：C.

2.（5分）已知复数z满足一匕=2i,则z的共物复数2=（）

42.c24.

AA--5-5ZD--5-5J

【解答】解：•••三=2i,._2i_2t(2t+l)_42.

•==2PT=(2i-l)(2i+l)5-5Z

.•.z的共蒯复数2=考+|i，

故选：B.

3.（5分）新冠肺炎疫情防控期间，7名医学大学生志愿者到A,B,C三个社区参加疫情联

防联控工作，根据工作实际需要，A社区要分配三名志愿者，B,C两个社区各2名志愿

者，则不同的分配方法共有（）

A.210种B.240种C.420种D.480种

【解答】解：根据题意，分3步进行分析：

①先在7名大学生志愿者中任选3人，安排到A社区，有C73=35种安排方法,

②在剩下的4名大学生中任选2人，安排到B社区，有C42=6种安排方法，

③剩下的2名大学生安排到C社区，有一1种安排方法，

则有35X6=210种安排方法，

故选：A.

4.（5分）从一张圆形铁板上剪下一个扇形，将其制成一个无底圆锥容器，当容器体积最大

时，该扇形的圆心角是（）

22V32V6

A.fB.nC.------ITD.------n

333

【解答】解：设圆锥的底面半径为r,高为力，圆形铁板的半径为R,

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则尸+〃2=R2,圆锥的体积为V=^7ir2h=gjt(R2—h2)h=^n(R2h—h3),

由V'=gjl(R2—3九2)=0,得九2=i/?2,

此时圆锥体积最大，r=^R,

向2nr2乃

则。=~R~=I-71,

故选：D.

5.(5分)已知tcm(a-看)=2,lan(a+0)=-3,则tcm(£+5)=()

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：因为（a—Q+（p+1）=（a+p）,

tan(a-^)+tan(/?+^)2+tm(/?+5)

所以tan(a+p)=tan[(a-Q+(6+看)]=一3,

1-tan(a一强)tan(£+法)1—2tan伊+强)

整理解得tan+=1.

故选：A.

6.（5分）设某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种工件，且甲、乙、丙三个车间

的产量比为5：7：8,已知取出甲、乙、丙三个车间的产品，次品率依次为0.05、0.04、

0.02,现从这批工件中任取一件，则取到次品的概率为（）

A.0.11B.0.69C.0.0345D.0.04

【解答】解：设某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种工件，且甲、乙、丙三

个车间的产量比为5：7：8,

已知取出甲、乙、丙三个车间的产品，次品率依次为0.05、0.04、0.02,

现从这批工件中任取一件，则取到次品的概率为：

r,7o

P=X0.05+X0.04+x0.02=0.0345.

/-ro5十/十H，十/十&­。

故选：c.

7.（5分）设圆。的半径为1,P,A,B是圆。上不重合的点，则易•赤的最小值是（）

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•o

111

A.一亍B.-1C.一~rD.

Z4-oQ

【解答】解：PA-PB={OA-OPXOB-OP}=OA-OB+OP2-(OA+OB)-OP,

由题意可知04OB,OP均为单位向量，故|。*=|。8|=|0尸|=1,

a

连接A8,作0C_LAB,垂足为C,设NA0B=a,ZP0C=p,则0C=cosy,

：.0A-OB=cosa,OP2=\,0A+0B=20C,

TTTTTa

，(.0A+OB)-OP=20C-OP=2cos-cosp,

.T-»aaaal

PA•PB=cosa+l-2cos-cosB=2cos9——2cos-cosB=2(cos——-cosB)7一一

2产22r22y

:.当cos2p=1rcos-=-cosp时，PA-PB取得最小值—

故选：A,

8.(5分)已知f(x)是定义域为R的奇函数，/(x+2)也是奇函数，当居(0,2)时，f

(x)=2x-则/(-1),/(])，/(口)的大小关系是()

A.勺⑺B.，8)</(〃)</(一1)

c./(-i)<r(7r)<r(j)D./(-1)守6)寸⑺

【解答】解：由f(x)为奇函数，可知函数f(x)的一个对称中心为(0,0),由f(x+2)

也是奇函数，可知/(x)的一个对称中心为(2,0),

又函数/(x)在区间(1,3)上为减函数，所以函数/G)的周期为4,

当xG(0,2)时，/(x)=2x-/,故函数/(x)的图象如图所示，/(-1)=-/(1)

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=-1,

所以0=/(4)>f(n)>f(3)=-l,

n

所以/(-1)<f(IT)<f(-),

故选：C.

多选题(共4小题，满分20分，每小题5分)

9.(5分)已知“=2"B,b=3加2,则下列判断正确的是()

A.dbB.aWb

C.a=bD.无法比较它们的大小

【解答】解：因为。=2/3,b=3ln2,

所以lna=M2讥3=M3bi2,Inb^ln3ln2In2ln3.

所以上a=lnb,即a=6,

故选：ABC.

10.(5分)在△ABC中，D,E,尸分别是边BC,AC,AB中点，下列说法正确的是()

A.AB+AC-AD=0

B.DA+EB+FC=0

C.若y+^=上?,则而是否在盛的投影向量

\AB\\AC\\AD\

TTT1

D.若点尸是线段AD上的动点，且满足8P=/IB4+〃BC,则入口的最大值为g

【解答】解：如图所示：

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A

E

BD

对选项A,AB+AC-AD=2AD-AD=AD^0,故A错误;

对选项B,

—>TT-1—>—»[T—>[T—>

DA+EB+FC=-.(AB+AC)-抑4+BC)一+CB)

[T1]—]—]T]T

=-2AB-[AC_2BA-CA—CB

111l-*I—1—

=-[AB-1A。+-[BC++]BC=0，

故B正确；

对选项c,坐，坐，丝分别表示平行于AB,AC,AD的单位向量,

|48|\AC\\AD\

—»—>

ABAC

由平面向量加法可知：t+-—为/BAC的平分线表示的向量，

|AB|MCI

TTT

,,ABACy/3AD

为为b+b=所以AO为NBAC的平分线,

\AB\\AC\\AD\

又因为AD为BC的中线，所以ADLBC,如图所示:

第13页共24页

点在后的投影为|点|cosB=|易|x理=|访

\BA\

所以访是R在应？的投影向量，故选项C正确;

对选项D,如图所示：

A

设BP=tBA+(l-t)BD,0<t<1,

又因为BD=^BC,所以BP=tBA+^^-BC,

(X=t

因为BP=ABA+nBC,则=1-t,

¥111

令2

y==X----^+-

2-8

t=|时，，Xu取得最大值为故选项。正确.

乙8

故选：BCD.

11.(5分)设｛斯｝是无穷数列，若存在正整数k,使得对任意〃6N*,均有即+k>〃”，则称

｛斯｝是间隔递增数列，k是｛斯｝的间隔数，下列说法正确的是()

A.公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列

B.已知斯=〃+，，则｛即｝是间隔递增数列

C.已知期=2"-4〃，则｛即｝是间隔递增数列且最小间隔数是2

D.已知即=〃2-例-4,若｛•”｝是间隔递增数列且最小间隔数是3,则4Wf<5

n+kl11

【解答】对于A,an+k-an=aiq-+a^-=a^-(/-l),因为q>l,所以当ai〈0

时，an+k<cin,故A错误；

，一666k6n2+kn-6

对于B,ctn+k~(〃+k)H——i—(n-\—)=k7~—k(17~,>x)=k，，

n+knn(n+/c)n(n+k)n(n+k)

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令-6在”6N*单调递增，则f(1)=1+k-6>0,解得k>5,故B正确；

n+k,!A

对于C,an+k-an^2-4Cn+k)-2"+4n=2(2-1)-4k,

当上=2时，即+2-%=3X2"-8,当w=l时，”3-0=-2<O,所以｛即｝是间隔递增数

列但最小间隔数不是2,故C错误；

对于D,若｛斯｝是间隔递增数列且最小间隔数是3,

则。"+&-斯=("+4)2-f(”+k)-4-(“2-5-4)=2kn+必-tk>0,〃6N*成立，

则必+(2-t)k>0,对于223成立，且F+(2-r)ZWO对于&W2成立，

即k+(2-/)>0,对于左23成立，且k+(2-t)W0对于&W2成立，

所以「2<3且L222,解得4Wf<5,故。正确.

故选：BD.

12.(5分)设S“是等差数列｛斯｝的前〃项和，且ai=2,G=8,则()

A.〃5=12

B.公差d=3

C.Sin=n(6n+1)

D.数歹U｛---｝的前〃项和为hJ

a71azi+16n+4

【解答】解：由题意，设等差数列｛斯｝的公差为d,

则d=铮毕=与2=3,故选项B正确，

3—1Z

“5=2+3义(5-1)=14,故选项A不正确，

VS2n=2nX2+x3=«(6〃+l),选项C正确,

丁斯=2+3X(〃-1)=3n-1,

-------==—(-------------

(3zi-l)(3n+2)---33n—13n+2

1111

数歹lj{-------}的前n项和为-----4------+-+--------

anan+i。逆2a2a3anan+i

11111I11

X(一一一)十八(一一一)+…+”-----)

2535833n-l3n+2

111111

=­X———+———+…+------------)

25583九一13TI+2

11

X(—------)

23n+2

n

~6n+4,选项。正确.

故选：BCD.

第15页共24页

三.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13.（5分）某市高二20000名学生参加市体能测试，成绩采用百分制，平均分为80,标准

差为5,成绩服从正态分布，则成绩在（65,951的人数为19948.

参考数据：P（H-o<XWn+。）=0.6826,尸（"-2。（XWR+2。）=0.9544,P（|i-

3。<X<n+3。）=0.9974.

【解答】解：由题意知，”=80,。=5,则成绩在（65,95］的概率为

P（65VXW95）=P（80-3X5<XW80+3X5）=0.9974,

所以成绩在（65,95］的人数为20000X0.9974=19948.

故答案为：19948.

X2V2

14.（5分）已知抛物线-8x的准线与双曲线C：—--=1（«>0,b>0）的渐近线

分别交于A,3两点，O是坐标原点.若△AOB的内切圆的周长为m则内切圆的圆心坐

33\12

标为（一，0），双曲线C的离心率为.

----2--------4-

【解答】解：由抛物线的方程可得抛物线的准线方程为：x=2,

由双曲线的方程可得双曲线的渐近线方程为），=±\,

设三角形AOB的内切圆半径为r,则2TU*=TI,所以r=4，

,3

所以圆心坐标为（-，0）,

2

,些

且圆心到直线尸频的距离为d=r=41=12a

,02

解得c=38，所以。=2&匕，

则双曲线的离心率为e=T=弱=苧，

故答案为：（：，0）,

24

15.（5分）已知x>2,y>l,且（x+y-3）（x+2y-3）=9,贝lj3x+4.y的最小值为_6&+9_-

【解答】解：令x+y-3=m,x+2y-3=〃，则m>0,〃>0,

所以机〃=9,x=2m-n+3,y=n-m,

所以3工+4y—2加+〃+9,

故由基本不等式，得3x+4y=2m+n+9>272mn+9=6A/2+9.

当且仅当x=3,），=零时，等号成立.

第16页共24页

故答案为：6V2+9.

16.（5分）如图所示，正方体ABC£>-Ai8|C|Oi的棱长为2,E,F为4A”A8的中点，M

点是正方形AB81Al内的动点，若CiM〃平面C£>i£,则〃点的轨迹长度为

【解答】解：如图所示，取4功的中点4,8归的中点G,连接GH,C\H,C\G,EG,

HF.

可得：四边形EGGDi是平行四边形，

同理可得：C\H//CF.

VC|/7nCiG=Ci.

二平面C1GH〃平面CD\E,

点是正方形ABBMi内的动点，若〃平面CDiE.

点M在线段G”上.

：.M点的轨迹长度=GH=Vl2+I2=V2.

故答案为：V2.

四.解答题（共6小题，满分70分）

17.（10分）^（T）asmC-y/3ccosBcosC=y/3bcos2C；②5ccos8+4b=5”；③（2b-a）cosC

=ecosA,这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.

在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.且满足.

第17页共24页

(1)求sinC；

4A/3

(2)已知Q+〃=5,△ABC的外接圆半径为v，求△ABC的边A8上的高九

【解答】解：选择条件①：

2

(1)因为asinC-y/3ccosBcosC=y/3bcosCf

所以由正弦定理得sMAsiziC=y/SsinCcosBcosC+\/3sinBcos2C,

WflsinAsinC=V3cosC{sinCcosB+sinBcosC},

^LsinAsinC=yPicosCsinA,

又(0,TT),故sirkAWO,

所以s讥C=V5cosC,SPtanC=V3.

由CE(O,71),得C=*

所以sinC=sinj

(2)由正弦定理得三=2x孥，

sin-3

3

.473.n

・・c=2x—^―sm=4,

由余弦定理得c?=a2+b2—2abcos^=(Q+b)2—3ab=16,

2

所以QZ?=("+?——,故ab=3,

11

于是得△ABC的面积S=2absinC=《ch,

所以九=弛衿=孥=等，

选择条件②：

(1)因为5ccosB+4b=5a,

由正弦定理得5sinCcosB+4sinB=5siM,

即5sinCcosB+4sinB=5sin(B+C)=5sinBcosC+5cos8sinC,

于是sinB(4-5cosC)=0,

在△ABC中，sinBWO,

_4,_________3

所以cosC=引sinC=V1-cos2C=百，

(2)由正弦定理得c=2x竽x。二等，

由余弦定理得c1=a2+b2-2abcosC=(a+6)2-

第18页共24页

所以abL=[r,(a+।bL、p2-192,x而5二433

于是得△ABC的面积S=-^abstnC=^ch,

absinC_4333543373

所以h

I-=WfX耳*初二75L

选择条件③:

(1)因为(.2b-a)cosC=ccosA,

所以由正弦定理得(2sinB-sin/l)cosC=sinCcosA,

所以2sin8cosc=sin(A+C)=sinB,

因为加(0,IT),

_i

所以s勿8工0,所以cosC=

又C£(0,n),

所以C=/,

所以sinC=亨.

(2)由正弦定理得c=2x竽si7^=4,

由余弦定理得c?=Q2+弓2—2abcos^=(Q+by-3ab=16,

所以ab=(吐)——,故ab=3,

于是得aABC的面积S=absinC=

幽更=孥=挈

c48

18.(12分)在递增的等比数列｛a〃｝中,a2a5=32,a3+o4=12.

(1)求｛即｝的通项公式；

(2)若历尸(-1)"即+i，求数列｛仇｝的前”项和

a2a5=a3a4=32

a

3+a4=12，解得：43=4,以=8,

｛a3<a4

公比q=詈=2,

...斯=。34"-3=4义2"一3=2"J

(2)由(1)可得：b„=(-1)八2"=(-2)",

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.c_-2[l-(-2)n]_(-2)n+1+2

'1+2_3

19.(12分)某品牌手机厂商推出新款旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时

间(x个月)市场占有率(y%)的几组相关对应数据:

X12345

y25111418

根据如表中的数据完成下列问题:

(I)用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；

(II)用变量间的相关关系分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起

经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过49%(精确到月).

附：最小二乘法估计分别为b二工陶号［"字=第］8-初切了),a=y-bx,其中

第一位z珞1(x,-x)2

x=3,歹=10,Xf=i(.xi—x)2=10.

rh31A/j/\—1+2+3+4+5z—2+5+11+14+18

【解7答】解：(TI)%=--------g--------=3,y=-----------g----------=1d0n,

n=i=-2X(-8)+(-1)x(-5)+0X1+1X4+2X8=41,

己知£之1(%i-x)2=10,

：.b=咏1(工厂0(%7)=需=4i,。=歹一b元=10-4.1X3=-2.3,

比1(x；-x)210

.♦.y关于x的线性回归方程为y=4.1x-2.3；

(II)由上面的回归方程可知，上市时间与市场占有率正相关,

即上市时间每增加1个月，市场占有率都增加4.1个百分点，

由y=4.1x-2.3>49,解得x212.5-13,

预测自上市起经过13个月，该款旗舰机型市场占有率能超过49%.

20.(12分)如图，在四棱锥P-ABC。中，出，平面ABC£>,AC,80相交于点N,DN=

2NB,已知用=AC=AO=3,BD=3V3,ZADB=30°.

(1)求证：AC_L平面PAD；

(2)设棱P£>的中点为M,求平面以B与平面MAC所成二面角的正弦值.

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\l

【解答】(1)证明：DN=2NB,BD=3®所以。N=2%，NB=遮，

又/A£>8=30°,A£>=3,所以AB=J9+27-2x3x•坐=3,

AN=j9+12-2x3x2V3x^y=V3,

：.AN2+AD2=DN2

：.ZDAN=90°,：.AC-LAD,ABCD

：.PALAC,PAHAD=A,PAD

(2)取AB中点F,连接FN,因为BN=NA=C，所以NF_L4B,

又必，平面ABCD,所以平面％B_L平面ABCD,于是NF_L平面PAB,启是平面PAB

的法向量；

因为m=AC=A。，所以AM_LP£>,CMLPD,于是PO_L平面M4C,而是平面MAC法

向量；

建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得各点坐标如下：

A(0,0,0),B(苧，一|,0),N(V3,0,0)D(0,3,0),P(0,0,3),

r->lT、T4T41TTt-

取rnJPD=(0,1,-1),n=-贡・NF=-负(--OB-ON)=(1,V3,0),

设平面PAB与平面MAC所成二面角大小为9,

所以|cos0|=呼叫==乎,j0=V1—cos20=

|m||n|V2-2，sn，

J10

故平面PAB与平面MAC所成二面角的正弦值为一.

4

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椭圆上不同的三点，且满足后+后+左=6,o为坐标原点.

（1）若直线AB、0C的斜率都存在，求证：MB•%c为定值；

（II）求归引的取值范围.

【解答】解：（I）证明：由题意可得6=1,-=/=屈+°2,解得j=4,/=i,

a2

所以椭圆的标准方程为：一+『=1；

4

设A（xi,y\）,B（X2,”），由。A+OB+OC=0,可得C（-xi-孙-yi-”），

因为直线AB、OC的斜率都存在，所以以B=§二善，koc==安乌,

%1-％2~xl~x2巧十％2

v2—v2（—4—FVi—1

4

所以MB咏。片为2_及2,因为A,2在椭圆上，所以12,

人1人2［人21.2_1