河北省保定市育才中学2021年高二数学理上学期期末试题含解析

河北省保定市育才中学2021年高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.“”是“，使得是真命题”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：B2.在长为10cm的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于36cm2与49cm2之间的概率为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B3.已知P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到直线l：2x﹣y+3=0和直线x=﹣2的距离之和的最小值是（）A． B． C．2 D．﹣1参考答案：B【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】由题意可知：点P到直线2x﹣y+3=0的距离为丨PA丨，点P到x=﹣2的距离为丨PD丨=丨PB丨+1，则点P到直线l：2x﹣y+3=0和x=﹣2的距离之和为丨PF丨+丨PA丨+1，当A，P和F共线时，点P到直线l：2x﹣y+3=0和直线x=﹣2的距离之和的最小，利用点到直线的距离公式，即可求得答案．【解答】解：由抛物线的方程，焦点F（1，0），准线方程=﹣1，根据题意作图如右图，点P到直线2x﹣y+3=0的距离为丨PA丨，点P到x=﹣2的距离为丨PD丨=丨PB丨+1；而由抛物线的定义知：丨PB丨=丨PF丨，故点P到直线l：2x﹣y+3=0和x=﹣2的距离之和为丨PF丨+丨PA丨+1，而点F（1，0），到直线l：2x﹣y+3=0的距离为=，P到直线l：2x﹣y+3=0和直线x=﹣2的距离之和的最小值+1，故选B．4.直线与曲线相切，则切点的坐标为

．参考答案：

略5.函数在[0,2]上的最大值是（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】求导后，根据导函数的正负确定函数的单调性，可知当时函数取最大值，代入得到结果.【详解】由得：当时，；当时，函数在上单调递增；在上单调递减当时，函数取最大值：本题正确选项：【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题，属于基础题.6.函数在点处的切线方程是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C7.过椭圆上一点H作圆x2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，过A，B的直线l与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，则△POQ面积的最小值为（）A． B． C．1 D．参考答案：D【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．【分析】由点H在椭圆上，知H（3cosθ，2sinθ），由过椭圆上一点H（3cosθ，2sinθ）作圆x2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，知直线AB的方程为：（3cosθ）x+（2sinθ）y=2，由此能求出△POQ面积最小值．【解答】解：∵点H在椭圆上，∴H（3cosθ，2sinθ），∵过椭圆上一点H（3cosθ，2sinθ）作圆x2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，∴直线AB的方程为：（3cosθ）x+（2sinθ）y=2，∵过A，B的直线l与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，∴P（，0），Q（0，），∴△POQ面积S==×，∵﹣1≤sin2θ≤1，∴当sin2θ=1时，△POQ面积取最小值．8.m，n，l为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，则下列说法正确的是（）A．m⊥l，n⊥l，则m∥n B．α⊥γ，β⊥γ，则α⊥βC．m∥α，n∥α，则m∥n D．α∥γ，β∥γ，则α∥β参考答案：D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：由m⊥l，n⊥l，在同一个平面可得m∥n，在空间不成立，故错误；若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能平行与可能相交，故错误；m∥α，n∥α，则m、n可能平行、相交或异面，故错误；α∥γ，β∥γ，利用平面与平面平行的性质与判定，可得α∥β，正确．故选：D．9.如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，

俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：C10.已知向量，，若∥，则t=（

）A.0 B. C.－2 D.－3参考答案：C【分析】由已知向量的坐标求出的坐标，代入共线向量得坐标运算公式求解．【详解】，，，，由，得，即．故选：C．【点睛】本题考查了两向量平行的坐标表示与应用问题，是基础题目．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.斜率为3，且与圆相切的直线方程是

．参考答案：12.已知随机变量服从正态分布，，则

参考答案：0.16∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），μ=2，∴p（X≤0）=p（X≥4）=1-p（X≤4）=0.16．故答案为：0.1613.若双曲线的离心率为2，则的值为

．参考答案：3略14.曲线y=x3－2x2－4x+2在点（1，－3）处的切线方程是

。参考答案：略15.若，满足约束条件

，为上述不等式组表示的平面区域，则：(1)目标函数的最小值为__________；(2)当从连续变化到_____时，动直线扫过中的那部分区域的面积为．（改编）参考答案：-8,0.16.三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O，P到三

个面的距离分别为3、4、5，则OP的长为_____

.参考答案：5.解析：17.已知数列的前项和为则数列的通项公式为=____

.参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（15分）已知点C（x0，y0）是椭圆+y2=1上的动点，以C为圆心的圆过点F（1，0）．（Ⅰ）若圆C与y轴相切，求实数x0的值；（Ⅱ）若圆C与y轴交于A，B两点，求|FA|?|FB|的取值范围．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）当圆C与y轴相切时，|x0|=，再由点C在椭圆上，得，由此能求出实数x0的值．（Ⅱ）圆C的方程是（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=（x0﹣1）2+，令x=0，得y2﹣2y0y+2x0﹣1=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出|FA|?|FB|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当圆C与y轴相切时，|x0|=，（2分）又因为点C在椭圆上，所以，解得，因为﹣，所以．（6分）（Ⅱ）圆C的方程是（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=（x0﹣1）2+，令x=0，得y2﹣2y0y+2x0﹣1=0，设A（0，y1），B（0，y2），则y1+y2=2y0，y1y2=2x0﹣1，（8分）由，及得﹣2﹣2＜x0＜﹣2+2，又由P点在椭圆上，﹣2≤x0≤2，所以﹣2≤，（10分）|FA|?|FB|=?=（12分）===，（14分）所以|FA|?|FB|的取值范围是（4，4]．（15分）【点评】本题考查实数值的求法，考查两线段乘积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、圆、椭圆性质的合理运用．19.如图，已知椭圆的右顶点和上顶点分别为，，离心率为.(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)过点作斜率为的直线与椭圆交于另外一点，求面积的最大值，并求此时直线的方程.参考答案：解：（Ⅰ）由题意得解得

----------4分（Ⅱ），设与平行的椭圆的切线方程为，联立方程组得，消去得，①解得..

---------6分代入到①中得，代入到得，

---------8分，.

---------10分此时，直线的方程是.

---------12分20.已知圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，点A（2，2）．（1）直线l1过点A，且与圆C相交所得弦长最大，求直线l1的方程；（2）直线l2过点A，与圆C相切分别交x轴，y轴于D、E．求△ODE的面积．参考答案：考点：直线与圆的位置关系；直线的一般式方程．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）由题意，直线l1过点A，且与圆C相交所得弦长最大时，过A，C的直线为所求，方程为y=x；（2）直线DE的斜率为﹣1，可得DE的方程，求出D（4，0），E（0，4），即可求出△ODE的面积．解答： 解：（1）由题意，过A，C的直线为所求，方程为y=x；（2）直线DE的斜率为﹣1，方程为y﹣2=﹣（x﹣2），即x+y﹣4=0．∴D（4，0），E（0，4），∴△ODE的面积为=8．点评：本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．21.如图，已知焦点在x轴上的椭圆=1（b＞0）有一个内含圆x2+y2=，该圆的垂直于x轴的切线交椭圆于点M，N，且⊥（O为原点）．（1）求b的值；（2）设内含圆的任意切线l交椭圆于点A、B．求证：⊥，并求||的取值范围．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设出M，N的坐标，利用⊥知|y1|=，即点（，）在椭圆上，代入椭圆方程，即可求b的值；（2）分类讨论，当l⊥x轴时，由（1）知⊥；当l不与x轴垂直时，设l的方程是：y=kx+m，代入椭圆方程可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，利用韦达定理证明x1x2+y1y2=0即可，利用弦长公式，结合换元、配方法，即可确定|AB|的取值范围．【解答】（1）解：当MN⊥x轴时，MN的方程是x=±，设M（±，y1），N（±，﹣y1），由⊥知|y1|=，即点（，）在椭圆上，代入椭圆方程得b=2．（2）证明：当l⊥x轴时，由（1）知⊥；当l不与x轴垂直时，设l的方程是：y=kx+m，即kx﹣y+m=0则=，即3m2=8（1+k2）y=kx+m代入椭圆方程可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=（4k2+1）＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=，x1x2=，所以x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2==0，即⊥．即椭圆的内含圆x2+y2=的任意切线l交椭圆于点A、B时总有⊥．当l⊥x轴时，易知|AB|=2=当l不与x轴垂直时，|AB|==?设t=1+2k2∈[1，+∞），∈（0，1]则|AB|=?=?所以当=即k=±时|AB|取最大值2，当=1即k=0时|AB|取最小值，综上|AB|∈．22.在数列{an}中，，且3an+1=an+2． （1）设bn=an﹣1，证明：{bn}是等比数列； （2）求数列{an}的前n项和Sn． 参考答案：【考点】数列的求和；等比关系的确定． 【专题】证明题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列． 【分析】（1）推导出，3bn+1=bn，由此能证明{b