数学八年级上册全册全套试卷试卷(word版含答案)

数学八年级上册全册全套试卷试卷（word版含答案）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）ABxyAa01．在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于（，），（，），且满足B0ba2+b2+4a﹣＝．8b+2001ab（）求，的值；2PAB（）点在直线的右侧；且∠＝，APB45°Px①若点在轴上（图），1P则点的坐标为；②若△为直角三角形，求点的坐标．ABPP1a2b4402P4222②点坐标为（，），（，﹣）．【答案】（）＝﹣，＝；（）①（，）；【解析】【分析】1（）利用非负数的性质解决问题即可．2（）①根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．②分两种情形：如图2中，若∠ABP=90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．如图3中，若D∠为．分别利用全等三角形的性质解决问题即可．BAP=90°，过点P作PD⊥OA，垂足【详解】1（）∵a+4a+4+b8b+160﹣＝22a+2+b40∴（）（﹣）＝22∴a＝﹣，＝．2b42（）①如图1中，∵∠APB＝，45°POB90°∠＝，∴OP＝＝，OB4∴P（，）．4040故答案为（，）．②∵a＝﹣，＝2b4∴OA＝＝2OB4又∵△ABP为直角三角形，∠APB＝45°∴只有两种情况，∠ABP＝90°或∠BAP＝90°①如图2中，若∠ABP＝，90°过点P作PC⊥OB，垂足为C．∴∠PCB＝∠BOA＝90°，又∵∠APB＝45°，∴∠BAP＝∠APB＝45°，∴BA＝BP，又∵∠ABO+∠OBP＝∠OBP+∠BPC＝90°，∴∠ABO＝∠BPC，∴△ABO≌△BPC（AAS），PCOB4BCOA2∴＝＝，＝＝，OCOBBC422∴＝﹣＝﹣＝，∴P（4，2）．②如图3中，若∠BAP＝90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D．∴∠PDA＝∠AOB＝90°，又∵∠APB＝45°，∴∠ABP＝∠APB＝45°，∴AP＝AB，又∵∠BAD+∠DAP＝90°，∠DPA+∠DAP＝90°，∴∠BAD＝∠DPA，∴△BAO≌△APP（AAS），PDOA2ADOB4∴＝＝，＝＝，ODAD0A422∴＝﹣＝﹣＝，∴P（2，﹣2）．综上述，P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．2．在ABC中，BAC90,ABAC，点为直线DBC上一动点（点不与点B,CD重合），以AD为腰作等腰直角DAF，使DAF（1）观察猜想90，连接．CF如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为__________；②CF、DC、BC之间的数量关系为___________（提示：可证DABFAC）（2）数学思考如图2，当点D在线段的延长线上时，（1）中的①、②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；（3）拓展延伸CB如图3，当点D在线段的延长线时，将DAF沿线段BCDF翻折，使点与点重AE合，连接CE、CF，若4CDBC,AC22，请直接写出线段的长．（提示：做CEAHBC于，做EMBD于M）H【答案】（1）①BC⊥CF；②BC＝CF＋DC；（2）C⊥CF成立；BC＝CF＋DC不成立，正确332结论：DC＝CF＋BC，证明详见解；析（）【解】析【分】析（1）①根据正方形的性质得，∠BAC＝∠DAF＝90°，推出△DAB≌△FAC（SAS）；②由正CFBD，方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质可得到ACFABD，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据正方形的性质得到∠BAC＝∠DAF＝90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质以及等腰三角形的角的性质可得到结论；（3）过A作AHBC于H，过E作EMBD于M，证明△ADH≌△DEM，推出EMDH3，DMAH2，推出CMEM3，即可解决问题．【详解】ADEF中（1）①正方形，ADAF∠BAC∠DAF90∵∴BADCAF在△DAB与△FAC中ADAFBADCAFABAC∴△DAB≌△FACSAS∴BACF∴∠ACB∠ACF90，即BCCF；②∵△DAB≌△FAC∴CFBDBCBDCD∵∴BCCFCD（2）BC⊥CF成立；BC＝CF＋DC不成立，正确结论：DC＝CF＋BC证明：∵△ABC和△ADF都是等腰直角三角形∴AB＝AC，AD＝AF，∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAFADAFFACBADCAFABAC在△DAB和△中∴△DAB≌△FAC（）SAS∴∠ABD＝∠ACF，DB＝CF∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝45°∴∠ABD＝180°－45°＝135°∴∠ACF＝∠ABD＝135°∴∠BCF＝∠ACF－∠∴CF⊥BCACB＝135°45°90°－＝，CDDBBCDBCF∵＝＋，＝∴DC＝CF＋BC（3）过A作AHBC于H，过E作EMBD于M，∵BAC90，ABAV22∴BC2AB4，AHBHCH1BC22∴CD1BC14∴DHCHCD3ADEF∵四边形是正方形∴ADDE，∠ADE90∵BCCF，EMBD，ENCFCMEN∴四边形是矩形∴NECM，EMCN∠AHD∠ADC∠EMD90∵∠ADH∠EDM∠EDM∠DEM90∴∴∠ADH∠DEM在△ADH和△DEM中ADHDEMAHDDMEADDE∴△ADH≌△DEM∴EMDH3，DMAH2∴CMEM3∴CEEM2CM232【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握正方形的性质、全等三角形的性质以及判定、余角的性质、等腰三角形的角的性质是解题的关键．3．如图，△ABC中，是DBC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF．（1）求证：BG＝CF；（2）请你判断BE+CFEF与的大小关系，并说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）BE+CF＞，证EF明详见解析【解析】【分析】（1）先利用ASA判定△BGDCFD，从而得出BG=CF；（2）利用全等的性质可得GD=FD，再有DE⊥GF，从而得到EG=EF，两边之和大于第三边从而得出BE+CF＞EF．【详解】1BGAC解：（）∵∥，∴∠DBG＝∠DCF．∵D为BC的中点，BDCD∴＝BDG＝∠CDF，又∵∠在△BGD与△CFD中，DBGDCF∵BDCDBDGCDF∴△BGD≌△CFD（）ASA．∴BG＝CF．（）＞2BE+CFEF．∵△BGD≌△CFD，∴GD＝FD，BG＝CF．又∵DE⊥FG，∴EG＝EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．∴在△EBG中，＞BE+BGEG，即BE+CF＞EF．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，要注意判定三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．4．已知：平面直角坐标系中，点A（a，b）的坐标满足|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0．（1）如图1，求证：OA是第一象限的（2）如图2，过A作OA的垂线，交x轴正半轴于点B，点M、N分别从O、A两点同时出发，在线段OA上以相同的速度相向运动（不包括点O和点A），过A作AE⊥BM交x轴于角平分线；点E，连（3）如图3，F是y轴正半轴上一个动点，连接EF，F点作∠OFE的角平分线交OA于点2HK+EF的值．BM、NE，猜想∠ONE与∠NEA之间有何确定的数量关系，接FA，过点A作AE⊥AF交x轴正半轴于点过点H，过点H作HK⊥x轴于点K，求并证明你的猜想；E，连【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析（3）8【解析】【分析】（1）过点A分别作x轴，轴的垂线，垂足分别为M、N，则AN＝AM,y根据非负数的性质求出a、b的值即可得结论；（2）如图2，过A作AH平分∠OAB，交BM于点H，则△AOE≌△BAH，可得AH＝OE，由已知条件可知ON=AM，∠MOE＝∠MAH，可得△ONE≌△AMH，∠ABH＝∠OAE，设BM与NE交于K，则∠MKN＝180°﹣2∠ONE＝90°﹣∠NEA，即2∠ONE﹣∠NEA＝90°；（3）如图3，过H作⊥⊥于M、N，可证△FMH≌△FNH，则FM＝FN，HMOF，HNEF同理：NE＝EK，先得出OE+OF﹣EF＝2HK，再由△APF≌△AQE得PF＝EQ，即可得OE+OF＝2OP＝8，等量代换即可得2HK+EF的值．【详解】解：（1）∵|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0∴|a﹣b|+（b﹣4）2＝0∵|a﹣b|≥0，（b﹣4）2≥0∴|a﹣b|＝0，（b﹣4）2＝0∴a＝b＝4过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M、N，则AN＝AM∴OA平分∠MON即OA是第一象限的角平分线（2）过A作AH平分∠OAB，交BM于点H∴∠OAH＝∠HAB＝45°∵BM⊥AE∴∠ABH＝∠OAE在△AOE与△BAH中OAE＝ABHOAABAOE＝BAH，∴△AOE≌△BAH（ASA）∴AH＝OE在△ONE和△AMH中OEAHNOE＝MAH，ONAMONEAMH（SAS）∴△≌△∴∠AMH＝∠ONE设BM与NE交于K∴∠MKN＝180°﹣2∠ONE＝90°﹣∠NEA∴2∠ONE﹣∠NEA＝90°（3）过H作⊥HMOF，HN⊥EF于M、NFMHFNH（SAS）可证：△≌△FM＝FN∴同理：NE＝EKOE+OF﹣EF＝2HK∴过A作AP⊥y轴于P，AQ⊥x轴于QAPFAQE（SAS）可证：△≌△PF＝EQ∴OE+OF＝2OP＝8∴∴2HK+EF＝OE+OF＝8【点睛】本题考查非负数的性质，平面直角坐标系中点的坐标，等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质.5．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，求证:△DEF是等边三角形．【答案】(1)见解析；（2）成立，理由见解析；(3)见解析【解析】【分析】△BDA△AEC，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=DA+AE，故通过证△BDA△AEC，得出BD=AE，AD=CE，所以（1）因为DE=BD+CE.（2）成立，仍然通过证明DE=DA+AE=EC+BD.△BDA△AEC∠BDA=∠AEC（3）由得BD=AE，ABF，与ACF均等边三角形，得∠FBA=∠FAC=60，FB=FA，所以∠FBA＋∠DBA=∠FAC＋∠EAC，即∠BFD∠AFE，再根据∠FBD∠FAB，所以△BDF△AEF，所以FD=FE，∠BFD＋∠DFA=∠BFA60，得∠AFE＋∠DFA=60，即∠DFE=60，故△DFE是等边三角形.【详解】证明：(1)∵BD⊥直线m，CE⊥直线m∴∠BDA＝∠CEA=90°，∵∠BAC＝90°∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°∴∠CAE=∠ABD，又AB=AC，∴△ADB≌△CEA∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE(2)∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°—α∴∠DBA=∠CAE，∵∠BDA=∠AEC=α，AB=AC∴△ADB≌△CEA，∴AE=BD，AD=CE∴DE=AE+AD=BD+CE（3）由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA=∠CAE∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，∴∠DBF=∠FAE∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF∴DF=EF，∠BFD=∠AFE∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°∴△DEF为等边三角形.【点睛】利用全等三角形的性质证线段相等是证两条线段相等的重要方法.二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC延长线上的一点，且BD＝DE．点G是线段BC的中点，连结AG，交BD于点F，过点D作DH⊥BC，垂足为H．（1）求证：△DCE为等腰三角形；2（2）若∠＝，＝，求GH的长；CDE22.5°DC3CEGH（）探究线段，的数量关系并用等式表示，并说明理由．23CE2GH.2）；（）＝，理由见解析【答案】（1）证明见解析；（2【解析】【分析】11（1）根据题意可得∠CBD＝∠ABC＝∠ACB，，由BD=DE，可得∠DBC＝∠E＝22121三角形的△为等腰三角外角性质可得∠CDE＝∠ACB＝∠E，可证DCE2∠ACB，根据形；（2）根据题意可得CH=DH=1，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质可得BG=GC，BH=HE=2+1，即可求GH的值；（3）CE=2GH，根据等性可得BG=GC，BH=HE，可得＝GHGC﹣HC＝GC﹣腰三角形的1（﹣）＝﹣121CEHECEBCBE+CE＝，即CE=2GH22【详解】1证明：（）∵AB＝，AC∴∠ABC＝∠ACB，∵BD平分∠ABC，11∴∠CBD＝∠ABC＝∠ACB，22∵BD＝，DE1∴∠DBC＝∠E＝∠ACB，2∵∠ACB＝∠E+∠CDE，1∴∠CDE＝∠ACB＝∠E，2∴CD＝，CE∴△DCE是等腰三角形2（）∵∠CDE＝22.5°，CD＝CE＝，2∴∠DCH＝45°，且DH⊥BC，∴∠HDC＝∠DCH＝45°∴DH＝CH，∵＝2＝2，DH+CHDC22∴DH＝CH＝1，∵∠ABC＝∠DCH＝45°∴△ABC是等腰直角三角形，又∵点G是BC中点∴AG⊥BC，AG＝GC＝BG，∵BD＝DE，DH⊥BC∴BH＝HE＝2+1∵BH＝BG+GH＝CG+GH＝CH+GH+GH＝2+11+2GH2+1∴＝2∴GH＝2（3）CE＝2GH理由如下：∵AB＝CA，点G是BC的中点，∴BG＝GC，∵BD＝DE，DH⊥BC，∴BH＝HE，111∵GH＝GC﹣HC＝GC﹣（HE﹣CE）＝BC﹣BE+CE＝CE，222∴CE＝2GH【点睛】本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.7．定义：如果一条线段将一个三角形分成2个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”.理解：（1）如图1，在ABC中，ABAC，点D在边上，且ADBDBC，求AAC的大小；21（）在图中过点作一条线段，使BD，是的好好线；CCECEABC“”在图中画出顶角为的等腰三角形的好好线，并标注每个等腰三角形顶角的度数452“”（画出一种即可）；应用：ABCABCBC27，和是的好好线，点在边上，点“”ADDED3（）在中，BAC边上，且，DECE，请求出的度数C.E在ADBD【答案】（1）36°；（【解析】【分析】（1）利用等边于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可（2）根据（1）的解题过程作出△ABC的“好好线”；45°自然想到等腰对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中第二种情形以一底角作为45°和22.5°，再以22.5°分别作为等腰三角形的底角或顶角，2）见详解；（3）18°或42°对等角得到三对角相等，设∠A=∠ABD=x，表示出∠BDC与∠C，列出关确定出∠A的度数．直角三角形，过底角一顶点作线可形成两个等腰三角形；新等腰三角形的底角，则另一底角被分为易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形；（3）用量角器，直尺标准作27°角，而后确定一边为BA，一边为BC，根据题意可以先固定BA的长，而后可确定D点，再分别考虑AD为等腰三角形的腰E、C在同一直线上，易得2种三角形ABC；根据图形易得∠C的值；【详解】或者底边，兼顾A、解：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵BD=BC=AD，∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，180°-x设∠A=∠ABD=x，则∠BDC=2x，∠C=2180°-x2x可得2∴x=36°则∠A=36°；（2）如图所示：（3）如图所示：①当AD=AE时，∵2x+x=27°+27°，∴x=18°；②当AD=DE时，∵27°+27°+2x+x=180°，∴x=42°；综上所述，∠C为18°或42°的角．【点睛】本题主要考查了三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．8．已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.(1)如图,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形.(2)若E、F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰,直角三角形?画出图形写出结论不证明.12【答案】（）见解析；（）见解析【解析】【分析】(1)先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中CAD=BAD=45AD=BD=CDB=C=45B=DAF线，所以有∠∠°，，而∠∠°，所以∠∠，再加上，，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠∠，从而得出BE=AFAD=BDBDE=ADF∠°，即△DEF是等腰直角三角形；(2)根据题意画出图形,连接AD,构造△DAF≌△DBE.得出FD=ED,∠FDA=∠EDB,∠°EDF=90,即可得出△DEF是等腰直角三角形.【详解】EDF=90再算出解：（1）连结AD,∵AB=AC,∠BAC=90°,D为BC中点∴AD⊥BC,BD=AD,,∴∠B=∠BAD=∠DAC=45°,又∵BE=AF,∴△BDE≌△ADF（SAS）,∴ED=FD,∠BDE=∠ADF,∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°,∴△DEF为等腰直角三角形.（2）连结AD∵AB=AC,∠BAC=90°,D为BC中点,∴AD=BD,AD⊥BC,∴∠DAC=∠ABD=45°,∴∠DAF=∠DBE=135°,又∵AF=BE,∴△DAF≌△DBE（SAS）,∴FD=ED,∠FDA=∠EDB,∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°.∴△DEF为等腰直角三角形.【点睛】本题利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角，并且等于底边的一半，还利用了全等三角形的判定和性质，及等腰直角三角形的判定．AC9．如图，在等边ABC中，点D，E分别是，AB上的动点，且AECD，BD交CE于点．P（）如图，求证BPC120；112（）点是边的中点，连接PA，PM．MBC①如图，若点，，三点共线，则AP与PM的数量关系是；2AMP②若点A，，M三点不共线，如图，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，3P若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明过程见详解；（2）①AP2PM；②结论成立，证明见详解【解析】【分析】AEC≌CDB(SAS)，得出对应角相等，然后利用四边形的内角和和对顶角1（）先证明相等即可得出结论；（）①AP2PM；由等边三角形的性质和已知条件得出⊥，2AMBCCAP30°∠＝，可得PB＝PC，由∠BPC＝120°和等腰三角形的性质可得∠PCB＝30°，进而可得＝，由角APPC30°的直角三角形的性质可得PC＝2PM，于是可得结论；②延长BP至D，使PD＝PC，连接AD、CD，根据SASACD可证△≌△BCP，得出AD＝BP，CN∠ADC＝∠BPC＝120°，然后延长PM至N，使MN＝MP，连接，易证△CMN≌△BMPSAS（），可得CN＝BP＝AD，∠NCM＝∠PBM，最后再根据SAS证明△ADP≌△NCP，即可证得结论．【详解】AACB60（）证明：因为△ABC为等边三角形，所以1ACBCAACB，∴AEC≌CDB(SAS)，∴AECCDB，∵AECD在四边形中，∵AECEPDPDAA360，∴AECEPD180CDB60360，∴EPD120，∴BPC120；AEPD（）①如图，∵△ABC是等边三角形，点是边的中点，22MBC1∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AM⊥BC，∠CAP＝∠BAC＝30°，∴PB＝PC，2∵∠BPC＝120°，∴∠＝∠PCB＝30°，PBC∴PC＝2PM，∠ACP＝60°﹣30°＝30°＝∠CAP，∴AP＝PC，∴AP＝2PM；故答案为：AP2PM；②AP＝2PM成立，理由如下：延长BP至D，使PD＝PC，连接AD、CD，如图4所示：则∠CPD＝180°﹣∠BPC＝60°，∴△PCD是等边三角形，∴CD＝PD＝PC，∠PDC＝∠PCD＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝60°＝∠PCD，∴∠BCP＝∠ACD，∴△ACD≌△BCP（SAS），∴AD＝BP，∠ADC＝∠BPC＝120°，∴∠ADP＝120°﹣60°＝60°，延长PM至N，使MN＝MP，连接CN，∵点M是边BC的中点，∴CM＝BM，∴△CMN≌△BMP（SAS），∴CN＝BP＝AD，∠NCM＝∠PBM，∴CN∥BP，∴∠NCP+∠BPC＝180°，∴∠NCP＝60°＝∠ADP，在△ADP和△NCP中，∵AD=NC，∠ADP=∠NCP，PD=PC，∴△ADP≌△NCP（SAS），∴AP＝PN＝2CM；【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性30°质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．ABCAPCAP10．如图，在等边三角形的外侧作直线，点关于直线的对称点为点，连接DADBDBDAP，，其中交直线于点．E1（）依题意补全图形；2PAC20°AEB（）若∠＝，求∠的度数；3CEAEBECE（）连结，写出，，之间的数量关系，并证明你的结论．60°；（3）CE＋AE＝BE．【答案】（1）补图见解析；（2）【解析】【分析】1）（根据题意补全图形即可；2）（根据轴对称的性质可得AC＝AD，∠PAC＝∠PAD=20°，根据等边三角形的性质可得，即可得AB＝AD，在△ABD中，根据等AC＝AB，∠BAC＝60°腰三角形的性质和三角形的DAEB内角和定理求得∠的度数，再由三角形外角的性质即可求得∠的度数；3）CE＋AE＝BE（MME＝AE，连接设AM，∠EAC＝∠DAE＝x，BE，如图，在上取点使类比（）的方法求得∠AEB＝60°，从而得到△AME为等边三角形，根据等边三角形的性2△AEC≌△AMB质和SAS即可判定，根据全等三角形的性质可得CE＝BM，由此即可证得CE＋AE＝BE．【详解】(1)如图：（2）在等边中，△ABCAC＝AB，∠BAC＝60°由对称可知：AC＝AD，∠PAC＝∠PAD，∴AB＝AD∴∠ABD＝∠D∵∠PAC＝20°∴∠PAD＝20°∴∠BAD＝∠BAC+∠PAC+∠PAD=100°BAD40.D11802∴∠AEB＝∠D+∠PAD＝60°（3）CE＋AE＝BE．在BE上取点M使ME＝AE，连接AM，ABC在等边中，△AC＝AB，∠BAC＝60°由对称可知：AC＝AD，∠EAC＝∠EAD，设∠EAC＝∠DAE＝x．∵AD＝AC＝AB，2∴D1180xBAC2x60∴∠AEB＝60－x＋x＝60°．∴△AME为等边三角形．∴AM=AE，∠MAE=60°，∴∠BAC=∠MAE=60°，即可得∠BAM=∠CAE.在△AMB和△AEC中，ABACBAMCAE，AMAE∴△AMBAEC.≌△∴CE＝BM.∴CE＋AE＝BE．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了轴对称的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，解决第三问时，通过做辅助线，把AE转化到BE上，再证明CE＝BM即可得结论．三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）11．因式分解是多项式理论的中心内容之一，是代数中一种重要的恒等变形，它是学习数学和科学技术不可缺少的基础知识．在初中阶段，它是分式中研究约分、通分、分式的化简和计算的基础；利用因式分解的知识，有时可使某些数值计算简便．因式分解的方法很多，请根据提示完成下面的因式分解并利用这个因式分解解决提出的问题．（1）填空：21414①x4xx2x22（）2x（）（）2141②64=62=（）（）=（）（）2418144644（2）解决问题，计算：441157442121，，2，1【答案】（1）①x2，xxxx②66，22221166，6642.5，30.5，22145；（2）2241【解析】【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式计算可得；（2）利用前面所得规律变形即可．【详解】1121x4x2x2x2（）44122xx22x1x122xx222121464662622121666622242.530.512121故答案为：①x2x，x，x2x，②，，266222121266，6642.530，.5；22，14146844（2）14145744166188188122222266221551771771255222222242.530.372.556.530.520.556.542.514541【点睛】本题考查了因式分解的应用；熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．12．阅读理解题：如果一个数的平方等于﹣，记为﹣，这个数i叫做虚数单位．那么形如a+bi1i=1定义：2（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：（2+i）+（3﹣4i）=5﹣3i．（1）填空：，i=2i=；43（2）计算：①（2+i）（2﹣i）；②（2+i）2；（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：（x+3y）+3i=（1﹣x）﹣yi，（x，y为实数），求x，y的值．4i=1m+25m（）试一试：请你参照﹣这一知识点，将（为实数）因式分解成两个复数的22积．1i2253+4i3x=5y=34m+25=m+5im5i【答案】（）；（）①②（），﹣（）（）（﹣）2【解析】【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则及i的概念直接运算；2（2）利用平方差、完全平方公式把原式展开，根据i1计算即可；2（3）根据虚数定义得出方程组，解方程组即可；（4）根据i1将25转化为（-5）2，再利用平方差公式进行因式分解即可。i2【详解】i﹣（1）∵1，2i3i2•i﹣1i﹣i，iii（﹣）（﹣），222112422故答案是：i；2；（i）（﹣2i）﹣i241452（2）①；（i）i4i4﹣14i434i；2②22（3）∵（x3y）3i（﹣1x）﹣yi，x3y1﹣x，﹣3y，x5，y﹣；3m25（m5i）（m﹣i）5（4）．2【点睛】本题考查新型定义题型与有理数的混合运算、实数运算、因式分解，解题的关键是读懂题意。13．已知一个三位自然数，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和数”，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的平方差，则称这个数为“谐数”．如果一个数即是“和数”，又是“谐数”，则称这个数为“和谐数”．例如，321321，321，321是“和数”，322-12321是“谐数”，是“和谐数”．（1）；，最的大和谐数是（2）证明：任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数；m10b3c817（已知0b71，c4bc均为整数）是一个,，且“和数”，（3）．m请求出所有【答案】（1）110；954；（2）见解析；（3）m880或853或826.【解析】【分析】（1“”“”）根据和数与谐数的概念求解可得；（2）设谐数的百位数字为、十位数字为，个位数字为，根据谐数的概念得x=y2-“”xyz“”z2=（y+z）（y-z），由x+y+z=（y+z）（y-z）+y+z=（y+z）（y-z+1）及y+z、y-z+1必然一奇一偶可得答案；（3）先判断出2≤b+2≤9、10≤3c+7≤19m=10b+3c+817=8×100+（b+2）×10+（3c-，据此可得3），根据和数的概念知8=b+2+3c-3，即b+3c=9，从而进一步求解可得．“”【详解】（1）最小的和谐数是110，最大的和谐数是954.x（2）设：“谐数”的百位数字为，十位数字为y，个位数字为z（1x9,0y9,0z9yzx,y,z且且均为正数），由题意知，xy2z2yzyz，∴xyzyzyzyzyzyz1，z∵yzyz与奇偶性相同，yz∴与yz必一奇一偶，1∴yzyz1必是偶数，∴任意“谐数”的各个数位（3）∵0b7，上的数字之和一定是偶数；∴2b29，∵1c4，∴33c12，∴103c719，∴m81710b3c，8100b1103c78100b2103c7108100b2103c3，∵m为和数，∴8b23c3，即b3c9，b6b30b∴或或，c1c2c3∴m880或853或826.【点睛】”“应用，解题的关键是理解题意、熟练掌握“和数与谐数的概念及整”本题考查因式分解的式的运算、不等式的性质．14．阅读理解：把两个相同的数连接在一起就得到一个新数，我们把它称为“连接数”，例如：234234，3939…等，都是连接数，其中，234234称为六位连接数，3939称为四位连接数．（1）请写出一个六位连接数，它（填“能”或“不能”）被13整除．（2）是否任意六位连接数，都能被13整除，请说明理由．（3）若一个四位连接数记为M，它的各位数字之和的3倍记为N，M﹣N的结果能被13整除，这样的四位连接数有几个？【答案】（1）证明见解析（2）能被13整除（3）这样的四位连接数有1919，abcabc2525，3131，一共3个【解析】（1123123，分析：）根据六位连接数的定义可知为六位连接数再将123123进行因数分，13；解判断得出它能被整除（2，，）设为六位连接数将进行因数分解判断得出它能被整除13；abcabcabcabc，x、y（3）设xyxy为四位连接数用含的代数式表示与再计算M﹣N，然后将MN，MN3x4y，13M﹣N13MN19根据的结果能被整除以及与都是～77x7y表示为++13，xy，之间的整数求得与的值即可求解．详解：（1）123123；为六位连接数∵123123=123×1001=1231377，××∴12312313；能被整除（2）任意六位连接数都能被整除理由如下：13，×13×77，∴abc．设为六位连接数∵abcabcabc×1001==13能被abcabcabcabc；整除（3）设xyxy为四位连接数，则M=1000x+100y+10x+y=1010x+101y，N=3（x+yx++y）=6x+6y，∴M﹣N=（1010x+101y）﹣（6x+6y）=1004x+95y，∴MN=1004x95y=77x+7y+3x4y．M﹣N13∵的结果能被1313133x4y整除，∴是整数∵．3x+4y取值范围大于3小于63，所以能被整除的数有131313，26，39，52，∴x=1，y=9；x=2，y=5；x=3，y=1；x=8，y=7；x=9，y=3；x=5，y=6；x=6，y=2；满足条件的四位连接数的3131，2525，6262，9393，8787，5656，1919共个7．点睛：本题考查了因式分解的，，“”应用整式的运算理解连接数的定义是解题的关．键15．阅读材料后解决问题：小明遇到下面一个问题：2+12+18计算（2+1）（）（）（）．2+124经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：（2+1）（）（）（）2+12+12+1248=2+1212+12+12+1（）（﹣）（）（）（）824=212+12+12+1（﹣）（）（）（）8224（﹣）（24+1）（）=212+148=21（﹣）（28+1）8=216﹣1请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（）2+1=_____．16（2）（3+1）（32+1）（）（）（）3+13+1=_____．3+14816（3）化简：（m+n）（2）（4）（8）（m+nm+nm+nm+n16）．162483321【答案】232﹣1；2【解析】【分析】（1）原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果；（2）原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果；（3）分m=n与m≠n两种情况，化简得到结果即可．【详解】（1）原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）=232-1；13321；2（2）原式=（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=2（3）（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）．1（m-当m≠n时，原式=mn16+n16）=m32n32；mnn）（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m当m=n时，原式=2m•2m2…2m16=32m31．【点睛】此题考查了平方差公式，弄清题中的规律是解本题的关键．四、八年级数学分式解答题压轴题（难）16．某商场购进甲、乙两种空调共50台．已知购进一台甲种空调比购进一台乙种空调进价少0.3万元；用20万元购进甲种空调数量是用40万元购进乙种空调数量的2倍．请解答下列问题：（1）求甲、乙两种空调每台进价各是多少万元？（2）若商场预计投入资金不少于10万元，且购进甲种空调至少31台，商场有哪几种购进方案？（3）在（2）条件下，若甲种空调每台售价1100元，乙种空调每台售价4300元，甲、乙空调各有一台样机按八折出售，其余全部标价售出，商场从销售这50台空调获利中拿出2520元作为员工福利，其余利润恰好又可以购进以上空调共2台．请直接写出该商场购进这50台空调各几台．【答案】（1）0.1，0.4；（2）商场有3种购进方案：①购买甲种空调31台，购买乙种空193218调台；②购买甲种空调台，购买乙种空调台；③购买甲种空调台，购买乙种3317332空调台；（）购买甲种空调台，购买乙种空调台18【解析】【分析】1xx+0.3（）可设甲种空调每台进价是万元，则乙种空调每台进价是（）万元，根据等量2040×2关系用万元购进甲种空调数量＝用万元购进乙种空调数量，列出方程求解即可；2n50n（）设购买甲种空调台，则购买乙种空调（﹣）台，根据商场预计投入资金不少于1031n万元，且购进甲种空调至少台，求出的范围，即可确定出购买方案；323（）找到（）中种购进方案符合条件的即为所求．【详解】1xx+0.3解：（）设甲种空调每台进价是万元，则乙种空调每台进价是（）万元，依题意有2040xx0.3×2，＝x0.1解得＝，x+0.3＝＝．0.1+0.30.40.10.4答：甲种空调每台进价是万元，乙种空调每台进价是万元；2n50n（）设购买甲种空调台，则购买乙种空调（﹣）台，依题意有0.1n0.4(50n)10，n31s13，解得31≤n≤33n∵为整数，∴n取31，，，32333311932∴商场有种购进方案：①购买甲种空调台，购买乙种空调台；②购买甲种空调183317台，购买乙种空调台；③购买甲种空调台，购买乙种空调台；33119（）①购买甲种空调台，购买乙种空调台，311×11001000+1100×0.81000+191×43004000+4300×0.8（﹣）（﹣）（﹣）（﹣）（﹣）（40002520﹣）﹣3000120+54005602520＝﹣﹣﹣77202520＝﹣5200＝（元），不符合题意，舍去；3218②购买甲种空调台，购买乙种空调台，321×11001000+1100×0.81000+181×43004000+4300×0.8（﹣）（﹣）（﹣）（﹣）（﹣）（40002520﹣）﹣3100120+51005602520＝﹣﹣﹣75202520＝﹣5000＝（元），符合题意；3317③购买甲种空调台，购买乙种空调台，331×11001000+1100×0.81000+171×43004000+4300×0.8（﹣）（﹣）（﹣）（﹣）（﹣）（40002520﹣）﹣3200120+48005602520＝﹣﹣﹣73202520＝﹣4800＝（元），不符合题意，舍去．3218综上所述，购买甲种空调台，购买乙种空调台．【点睛】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式组的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．17．按要求完成下列题目．11求：111nn1122334的值．对于这个问题，可能有的同学接触过，一般方法是考虑其中的一般项，注意到上面和式的1每一项可以写成的形式，而nn11nn1nn1111nn1()，这样就把一项分裂成了两项．试着把上面和式的每一项都裂成两项，注意观察其中的规律，求出上面的和，并直接写出111120162017的值．1223341nn1n2nn1n1n2AB2若①求：A、B的值：111nn1n2求：123234的值．②nn3【答案】4n1n2【解析】【分析】（1）根据题目的叙述的方法即可求解；（2）①把等号右边的式子通分相加，然后根据对应项的系数相等即可求解；1②根据nn1n22nn12n1n211.11.把所求的每个分式化成两个分式的差的形式，然后求解．【详解】1解：（11+11）+122334+…+2016101711111=1-+-+-+…+2233411-201620171=1-20172016=2017；=nn1n2ABn2AAB（2）①∵+nn1n1n21，=nn1n2A12，BB0∴A1解得21．B211∴A和B的值分别是和-；2211111-•nn1nn1n22②∵=•nn1n221112nn12n1n2）111=•（-）-（-1111111111∴原式=2•12-2•23+2•23-2•3411-•+…+•nn12n1n221111=2•122-•n1n211=-42n1n2nn34n1n2．=【点睛】11111-•n1n22=正确理解nn1n2•本题考查了分式的化简求值，nn12是关键．“”18．为了践行绿色低碳出行，减少雾霾的使命，小红上班的交通方式由驾车改为骑自行20车，小红家距单位的路程是千米，在相同的路线上，小红驾车的速度是骑自行车速度的445倍，小红每天骑自行车上班比驾车上班要早出发分钟，才能按原时间到达单位，求小红骑自行车的速度．20.【答案】小红骑自行车的速度是每小时千米【解析】【分析】x/4x设骑自行车的速度为千米时，则驾车的速度为千米时．依据“小王每天骑自行车上/45班比驾车上班要早出发分钟”列出方程并解答．【详解】4x解：设小红骑自行车的速度是每小时千米，则驾车的速度是每小时千米x.根据题意得：202045x4x60解得x＝20经检验x＝20是分式方程的解，并符合实际意义20.答：小红骑自行车的速度是每小时千米【点睛】本题考查了分式方程的应用．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．12本，小丽用21元买硬面笔记本．19．小用明元买软面笔记1（）已知每本硬面笔记1.2本比软面笔记本贵元，小明和小丽能买到相同数量的笔记本吗；2a否存在正整数a，使得每本硬面笔记本硬面笔记本比软面笔记本贵元，是本、软面笔记本的（）已知每价格都是正整数，并且小明和小丽能买到相同数量的笔记本？若存在，a求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】【解析】【分析】【详解】（））不能买到；（）存2在，的值为3或9．1ax+1.2解：（））1设每本软面笔记本x元，则每本硬面笔记本（）元，由题意，得12xx1.2，21解得：x=1.6．12此时211.61.21.6=7.5（不符合题意），所以，小明和小丽不能买到相同数量的笔记本；2m1≤m≤12（）设每本软面笔记本元（的整数），则每本硬面笔记本（）元，由题m+a意，得1221，mma3a=m解得：，4a∵为正整数，∴m=4，，812．∴a=3，，69．m81221时，mma1.5（不符合题意）当a6∴a的值为3或9．20．某商店用1000元人民币购进水果销售，是第一次购进数量的2倍，但每千克的（）该商店第一次购进水果多少千克；过了一段时间，又用2400元人民币购进这种水果，所购数量价格比第一次购进的贵了2元．12（）假设该商店两次购进的水果按相同的标价销售，最后剩下的20千克按标价的五折优惠销售．若两次购进水果全部售完，元，则每千克水果的标价至少是多少利润不低于950元？注：每千克水果的销售利润等于每千克水果的销售价格与每千克水果的购进价格的差，两批水果全部售完的利润等于两次购进水果的销售利润之和．1【答案】（）该商店第一次购进水果1002标价至少是15元．千克；（）每千克水果的【解析】【分析】1（）该商店第一次购进水果x千克，则第二次购进水果2x千克，然后+2×首先根据题意，设1000÷根据：（第一次购进水果的=2400重量）第二次购进的水果的重量，列出方程，求出该商店第一次购进水果多少千克即可．2（）首先根据题意，设每然后根据：（两次购进的水果的重量﹣千克水果的标价是x元，20）×x+20×0.5x≥两次购进水果需要的钱数，+950列出不等式，求出每千克水果的标价是多少即可．【详解】1该商店第一次购进水果x千克，则第二次购进水果2x千克，解：（）设1000+2×2x=2400（）x整理，可得：2000+4x=2400x=100，解得．x=100经检验，是原方程的解．答：该商店第一次购进水果100千克．2100+100×2﹣20）×x+20×0.5x≥1000+2400+950千克水果的标价是x元，则（（）设每整理，可得：290x≥4350，解得x≥15，∴每千克水果的标价至少是15元．答：每千克水果的标价至少是15【点睛】元．此题主要考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，要熟练掌握，注意建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．五、八年级数学三角形解答题压轴题（难）21．已知：线段AB，以AB为公共边，在AB两侧分别作ABC和ABD，并使CD．点E在射线上．CA（1）如图l，若ACBD，求证：AD∥BC；（2）如图2，若BDBC，请探究DAE与C的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；（3）如图3，在（2）的条件下，若BACBAD，过点D作DF∥BC交射线于点F，当DFE8DAE时，求BAD的度数．【答案】（1）见解详；（2）DAE+2C=90°，理由见解详；（3）99°．【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和判定定理，即可得到结论；（2）设CE与BD交点为G，由三角形外角的性质得∠CGB=∠D+∠DAE，由BDBC，得∠CGB+∠C=90°，结合CD，即可得到结论；（3）设∠DAE=x，则∠DFE=8x，由DF∥BC，DAE+2C=90°，得关于x的方程，求出x的值，进而求出∠C，∠ADB的度数，结合∠BAD=∠BAC，即可求解．【解详】（1）∵ACBD，∴∠C+∠CBD=180°，∵CD，∴∠D+∠CBD=180°，∴AD∥BC；（2）DAE+2C=90°，理由如下：设CE与BD交点为G，∵∠CGB是∆ADG的外角，∴∠CGB=∠D+∠DAE，∵BDBC，∴∠CBD=90°，∴在∆BCG中，∠CGB+∠C=90°，∴∠D+∠DAE+∠C=90°，又∵CD，∴DAE+2C=90°；（3）设∠DAE=x，则∠DFE=8x，∴∠AFD=180°-8x，∵DF∥BC，∴∠C=∠AFD=180°-8x，又∵DAE+2C=90°，∴x+2(180°-8x)=90°，解得：x=18°，∴∠C=180°-8x=36°=∠ADB，又∵∠BAD=∠BAC，1∴∠ABC=∠ABD=∠CBD=45°，2∴∠BAD=180°-45°-36°=99°．【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定定理，三角形的内角和定理与外角的性质，掌握平行线的性质和三角形外角的性质，是解题的关键．C70B6522．如图①所示，在三角形纸片ABC中，，，将纸片的一角折叠，使点A落在ABC内的点处.A（1）若1402________.，1A（2）如图①，论.②当点A落在四边形BCDE外部时（如图②），（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，若各个角度不确定，试猜想，，之间的数量关系，直接写出结21若不成立，A，，2之间又存在请说明理由，什么关系？请说明．（3）应用：如图③：把一个三角形的三个角向内折叠之后，且三个顶点不重合，那么图中的123456和是________.【答案】(1)50°；(2)①见解析;②见解析;(3)360°.【解析】【分析】C70，B65，可结合三角形内角和定理和折叠变换的性1（）根据题意，已知质求解；2ADE=ADEAED=AEDAEB（）①先根据折叠得：∠∠′，∠∠′，由两个平角∠和∠ADC得：∠∠等于360°与四个折叠角的差，化简得结果；1+2②利用两次外角定理得出结论；31+2+3+4+5+6（）由折叠可知∠∠∠∠∠∠等于六边形的内角和减去（∠B'GF+∠B'FG）以及（∠C'DE+∠C'ED）和（∠A'HL+∠A'LH），再利用三角形的内角和定理即可求解．【详解】解：（1）∵C70，B65，∴∠′∠°A=A=180-（65°+70°）=45°，∴∠′∠′AED+ADE=180°-∠′A=135°，∴∠°2=360-（∠∠∠∠′∠′）°C+B+1+AED+ADE=360-310°=50°；（2）①122A,理由如下ADE=ADEAED=AED由折叠得：∠∠′，∠∠′，∵∠∠AEB+ADC=360°，1+2=360-ADE-ADE-AED-AED=360-2ADE-2AED∴∠∠°∠∠′∠∠′°∠∠，1+2=2180-ADE-AED=2A∴∠∠（°∠∠）∠；②22A1，理由如下：∵2是ADF的一个外角∴2AAFD.是△AEF的一个外角∵AFD∴AFDA1又∵AA∴22A1（3）如图由题意知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=720°-（∠B'GF+∠B'FG）-（∠C'DE+∠C'ED）-（∠A'HL+∠A'LH）=720°-（180°-∠B'）-（180°-C'）-（180°-A'）=180°+（∠B'+∠C'+∠A'）又∵∠B=∠B'，∠C=∠C'，∠A=∠A'，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．【点睛】题主要考查了折叠变换、三角形、四边形内角和定理．注意折叠前后图形全等；三角形内角和