新北师大版七年级下册初中数学全册教案

第一章整式的乘除

1同底数幕的乘法

【知识与技能】

1、经历探索同底数幕的乘法运算性质的过程，进一步体会累的意义。

2、了解同底数累乘法的运算性质，并能解决一些实际问题。

3、在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，体会学习数学的兴趣，培

养学习数学的信心。

【过程与方法】

在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，体会学习数学的兴趣，培养

学习数学的信心

【情感态度与价值观】

进一步培养学生的观察、类比、归纳能力，体验数学的严密性和深刻性.

理解并掌握同底数毒的乘法法则

运用同底数塞的乘法法则进行相关运算.

多媒体课件.

一、情境导入

问题：2015年9月24日，美国国家航空航天局（下简称：NASA）对外宣称

将有重大发现宣布，可能发现除地球外适合人类居住的星球，一时间引起了人

们的广泛关注.早在2014年，NASA就发现一颗行星，这颗行星是第一颗在太

阳系外恒星旁发现的适居带内、半径与地球相若的系外行星，这颗行星环绕红

矮星开普勒186,距离地球492光年.1光年是光经过一年所行的距离，光的速

度大约是3Xl()5km/s.问：这颗行星距离地球多远(1年=3.1536xOs)?

3X105X3.1536X107X492=3X3.1536X4.92X105X107X102=

4.6547136X10X105X107X102.

问题：“10X105x107x102”等于多少呢？

二、合作探究

探究点：同底数基的乘法

［类型一］底数为单项式的同底数塞的乘法

例U计算：(1)23。24义2；

(2)—a3,(—a)2,(—a)3；

,m"•m2,m.

解析：(1)根据同底数凝的乘法法则进行计算即可；(2)先算乘方，再根据同

底数幕的乘法法则进行计算即可；(3)根据同底数能的乘法法则进行计算即可.

解：(1)原式=23+4+1=28；

(2)原式=一〃.•(_.3)="3.a2.〃=。8；

(3)原式=*+1+〃+2+1=i+4

方法总结：同底数嘉的乘法法则只有在底数相同时才能使用；单个字母或

数可以看成指数为1的福，进行运算时，不能忽略了嘉指数1.

［类型二］底数为多项式的同底数鬲的乘法

而计算：

(l)(2a+b)2"+i•(2a+b)3・(2a+y冬

(2)(x-y)2•(y-x)5.

解析：将底数看成一个整体进行计算.

解：(1)原式=(2a+»(2"+i)+3+("-4)=(2a+b产;

(2)原式=一(尤一y)2•(x-y)5=—(x-y)7.

方法总结：底数互为相反数的塞相乘时，先把底数统一，再进行计算.(a

(b—a)"(〃为偶数)，

—Mn="

(.b—a)"(〃为奇数).

［类型三］运用同底数三的乘法求代数式的值

砸1若82a+3・8k2=8叱求2a+b的值.

解析：根据同底数赛的乘法法则，底数不变指数相加，可得。、人的关系，

根据a、8的关系求解.

解：•.•82"+3.V2=8%+3+O-2=8Q.-.2a+3+/?-2=10,解得2a+b=9.

方法总结：将等式两边化为同底数嘉的形式，底数相同，那么指数也相

同.

［类型四］同底数寨的乘法法则的逆用

的I!已知〃"=3,〃'=21,求〃"+"的值.

解析：把0m+"变成那•a",代入求值即可.

解："=3,相=21,•相=3X21=63.

方法总结：逆用同底数嘉的乘法法则把a"%变成a"'•a".

1.同底数累的乘法法则：

同底数基相乘，底数不变，指数相加.

即cT*an=am+n(m,n都是正整数).

2.同底数幕的乘法法则的运用

1.随堂练习：计算

(1)52x57;(2)7x73x72;(3)-x2-x3;(4)(-c)3-(-c)m.

2.补充练习：判断(正确的打F"，错误的打“x”)

(l)x3-x5=x15

()

(2)x-x3=x3

()

(3)X3+X5=X8

(4)X2-X2=2X4

(5)(-x)2•(—x)3=(—x)5=­x5

(6)a3-a2-a2-a3=0

(7)a3-b5=(ab)8

()

(8)y7+y7=y14

在同底数基乘法公式的探究过程中，学生表现出观察角度的差异：有的学生只

是侧重观察某个单独的式子，把它孤立地看，而不知道将几个式子联系起来；

有的学生则既观察入微，又统揽全局，表现出了较强的观察力.教师要善于抓

住这个契机，适当对学生进行指导，培养他们“既见树木，又见森林”的优良

观察品质.对于公式使用的条件既要把握好“度”，又要把握好“方向”

第二章整式的乘除

2幕的乘方与积的乘方

课时1孱的乘方

【知识与技能】

1.经历探索幕的乘方的运算性质的过程，进一步体会累的意义。

2.了解累的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题。

【过程与方法】

在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，体会学习数学的兴趣，培养

学习数学的信心

【情感态度与价值观】

进一步培养学生的观察、类比、归纳能力，体验数学的严密性和深刻性.

理解幕的乘方的运算性质，进一步体会和巩固毒的意义

掌握幕的乘方法则的推导过程并能灵活应用.

,®®@©

多媒体课件.

一、情境导入

1.填空:

(1)同底数塞相乘，不变，指数

(2)层Xa3=；iomxion=

(3)(-3)7X(-3)6=

(4)a-a2•苏=

(5)⑵)2=23•23=

(%4)5=%4•X4*X4*X4**4=.

2.计算(22)3;04)3；(Up

问题：(1)上述几道题目有什么共同特点？

(2)观察计算结果，你能发现什么规律？

(3)你能推导一下3")"的结果吗？请试一试.

二'合作探究

探究点一：暴的乘方

I例H计算:

⑴面卢⑵(/-1)2；

⑶[(24)呼；⑷[(加一〃)3]上

解析：直接运用(〃")"=*计算即可.

解：(1)33)4=。3'4="2；

⑵)2(,"F=0厂2；

(3)[(24)3]3=24X3X3=236；

(4)［(m—n)3］4=(/??—z?)12.

方法总结：运用嘉的乘方法则进行计算时，一定不要将嘉的乘方与同底数

嘉的乘法混淆，在嘉的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式.

探究点二：基的乘方的逆用

［类型一］逆用幕的乘方比较数的大小

而请看下面的解题过程：比较2血与375的大小.

解：•.•2i°°=(24)25,375=(33)25,又•；24=16,33=27,16<27,Z^(^O75.

请你根据上面的解题过程，比较3100与5”)的大小，并总结本题的解题方

法.

解析：首先理解题意，然后可得3100=(35)20,560=(53)20,再比较35与53

的大小，即可求得答案.

解：•；3i(x)=(35)2。，5")=(53)2。，又■35=243,53=125,243>125,即35

>53,.,.3100>560.

方法总结：此题考查了嘉的乘方的性质的应用.注意理解题意，根据题意

得到3100=(35)20,56。=(53严是解此题的关键.

［类型二］逆用鬲的乘方求代数式的值

砸1已知2x+5>-3=0,求4K-32V的值.

解析：由2x+5y—3=0得2x+5y=3,再把4、・32v统一为底数为2的乘方

的形式，最后根据同底数赛的乘法法则即可得到结果.

解：，：2x+5y~3=0,：.2x+5y=3,：,4X-32-v=22x-25>,=22v+5>,=23=8.

方法总结：本题考查了嘉的乘方的逆用及同底数塞的乘法，整体代入求解

也比较关键.

［类型三］逆用」的乘方结合方程思想求值

的I!已知221=8产1,9>=3x-9,则代数式上+%的值为.

解析：由221=8八1,丁=3厂9得221=23^+1),32y=3x~9,则21=3&+1),2y

=x-9,解得x=21,y=6,故代数式；x+1y=7+3=10.故答案为10.

方法总结：根据得的乘方的逆运算进行转化得到x和y的方程组，求出X、

y,再计算代数式.

1.累的乘方法则：

毒的乘方，底数不变，指数相乘.

即3"')"="""(〃?，n都是正整数).

2.累的乘方的运用

»©©

1.计算:

(1)(103)3；(2)一(/)5;(3)(%W；

(4)[(一X)2]3;⑸(_。)2(*2；

(6)尤•尤4一_?.炉.

2.判断下面计算是否正确？如有错误请改正:

⑴(7)3=在(2)小°4=消

3.已知l()m=4,10n=5,求l()3m+2n的值.

解：103m+2n=(]0，n)3X(10n)2=43X52=1600.

4.试比较355,43,533的大小.

解：,.,355=(35)11=243”,

444=(44)"=256",

533=(53)"=12511,

而125V243V256,

.\533<355<444.

幕的乘方公式的探究方式和前节类似，因此在教学中可以利用该优势展开教

学，在探究过程中可以进一步发挥学生的主动性，尽可能地让学生在已有知识

的基础上，通过自主探究，获得幕的乘方运算的感性认识，进而理解运算法则

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第三章整式的乘除

2幕的乘方与积的乘方

课时2积的乘方

【知识与技能】

1.经历探索积的乘方的运算性质的过程，进一步体会辱运算的意义及类

比、归纳等方法的作用，发展运算能力和有条理的思考和表达能力。

2.了解积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题。

【过程与方法】

在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，体会学习数学的兴趣，培养

学习数学的信心

【情感态度与价值观】

进一步培养学生的观察、类比、归纳能力，体验数学的严密性和深刻性.

掌握积的乘方的运算法则；

掌握积的乘方的推导过程，并能灵活运用.

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一、情境导入

1.教师提问：同底数靠的乘法公式和幕的乘方公式是什么？

学生积极举手回答：

同底数累的乘法公式：同底数基相乘，底数不变，指数相加.

暴的乘方公式：累的乘方，底数不变，指数相乘.

2.肯定学生的发言，引入新课：今天学习幕的运算的第三种形式——积的

乘方.

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二'合作探究

探究点一：积的乘方

［类型—］直接运用积的乘方法则进行计算

硒1计算：(1)(一5")3；(2)—(3_?>)2；

4

(3)(一字论2c3)3;(韦(一牙巧2

解析：直接运用积的乘方法则计算即可.

角翠：(1)(-5ah)3=(-5)3a3/?3=-l25a3h3；

(2)—(3f»=-32x4y2=-；

44336964369

(3)(—gab2c3)3=(--)<3/?C=——a/jc；

(4)(一/产>=(-l)2A2m/m=^2m/m.

方法总结：运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其

是字母的系数不要漏乘方.

［类型二］含积的乘方的混合运算

砥计算：

(1)(-2a2)3•a3+(-4a)2•«7-(5a3)3；

(2)(-a3/?6)2+(-a2M)3.

解析：(1)先进行积的乘方，然后根据同底数露的乘法法则求解；(2)先进行

积的乘方和赛的乘方，然后合并.

解：(1)原式=-8小•一+16a2•d1—125a9=—8a9+16a9—125a9=—

117a9；

(2)原式=06力12—a6bl2=0.

方法总结：先算积的乘方，再算乘法，然后算加减，最后合并同类项.

［类型三］积的乘方的实际应用

丽太阳可以近似地看作是球体，如果用V、火分别代表球的体积和半

径，那么V=^R\太阳的半径约为6义105千米，它的体积大约是多少立方千

米(n取3)?

4

解析：将火=6X1()5千米代入v=gnR,即可求得答案.

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4

-4

解：•.•R=6X1()5千米,3/?3,x3X(6X1()5)3p8.64X10〃(立方千

米).

答：它的体积大约是8.64X1()17立方千米.

方法总结：读懂题目信息，理解球的体积公式并熟记积的乘方的性质是解

题的关键.

探究点二：积的乘方的逆用

［类型一］逆用积的乘方进行简便运算

硒!计算：(2$2。耿(力32。15.

333

解析：将仿产15转化为仿产i4x5再逆用积的乘方公式进行计算.

解：原式=(2护咏(芬3。14潟3=(a2洌314潟3号3

方法总结：对公式&”•〃=("份"要灵活运用，对于不符合公式的形式，要

通过恒等变形转化为公式的形式，运用此公式可进行简便运算.

［类型二］逆用积的乘方比较数的大小

丽试比较大小：213X310-^2l0X312.

l3l0310,O1221O：23<32,13

解：V2X3=2X(2X3),2X3=3X(2X3)>又.*.2

X310<210X312.

方法总结：利用积的乘方，转化成同底数的同指数嘉是解答此类问题的关

键.

«@©

1.积的乘方法则：

积的乘方等于各因式乘方的积.

即是正整数).

2.积的乘方的运用

1.计算：

2442

(1)(-3〃)3(2)(5孙)3；(3)-/+L；(4)0>.^.0+(a)+(-2a)).

2.地球可以近似地看做是球体，地球的半径约为6x10,km,它的体积大约是多少立方千

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米？(球的体积公式是v=3仃3)。

3

3.下列计算是否正确？如有错误请改正。

⑴3尸)1*=abs；(2)(~3pq)2=-6p2cf2；

(3)(-2x2y=-6x8；(4)(-3苏)2=9a2b6。

4.提升训练：

(1)已知2"=a，3"=b，则6"=___:

(2)计算：8如3x0.125刈3(；)隈4?4

(3)已知x+4y-3=0,求2*.⑹的值。

在本节的教学过程中教师可以采用与前面相同的方式展开教学.教师在讲解积

的乘方公式的应用时，再补充讲解积的乘方公式的逆运算：an-b"={abY，同

时教师为了提高学生的运算速度和应用能力，也可以补充讲解：当〃为奇数

时，(一。)"=一优(〃为正整数)；当〃为偶数时，(一")"=。"(〃为正整数)

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第四章整式的乘除

3同底数塞的除法

课时1同底数幕的除法

【知识与技能】

1.通过除法是乘法的逆运算以及同底数幕的乘法的性质，探索出同底数幕

除法的运算性质，进一步体会暴的意义。

2.会利用性质进行计算。

【过程与方法】

经历探索同底数幕的除法的运算性质过程。理解同底数累的除法的运算算

理，发展有条理的思考及表达能力。

【情感态度与价值观】

进一步培养学生的观察、类比、归纳能力，体验数学的严密性和深刻性.

理解性质的推导过程，掌握性质内容，会进行同底数幕的除法运算。

同底数幕的除法法则的推导及逆向应用。

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一、情境导入

一种液体每升含有10口个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家

们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死1()9个此种细菌.要将1升液体中的

有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？

二'合作探究

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探究点一：同底数幕的除法

［类型—］直接运用同底数幕的除法进行运算

的II计算：

(1)(—xy)13-r(—xy)8；

(2)(x-2y>4-(2y—x)2；

(3)(/+1)7•?(/+1)4+(/+1)2

解析：利用同底数赛的除法法则即可进行计算，其中⑴应把(一孙)看作一

个整体；(2)把(工一2))看作一个整体，2y-x=-(x-2y);(3)把他2+1)看作一个

整体.

解：(1)(—Ay)13-r(—xy)8=(—iy)13s=(—xy)5=—x5y5；

(2)(x—2y)34-(2y—x)2=(x-2y)3+(x-2yf=x~2y；

(3)(a2+l)74-(«2+1)44-(<Z2+1)2=(/+I)7-4-2=(屋+ip=/+］.

方法总结：计算同底数得的除法时，先判断底数是否相同或可变形为相

同，再根据法则计算.

［类型二］逆用同底数二的除法进行计算

就3已知〃"=4,a"=2,a=3,求a"L"-1的值.

解析：先逆用同底数赛的除法，对〃"FT进行变形，再代入数值进行计

算.

2

解：'.•""=4,an=2,。=3,|=心+。"+“=4+2+3=§.

方法总结：解此题的关键是逆用同底数霖的除法得出那-"-1=〃"+"十。

就a声音的强弱用分贝表示，通常人们讲话时的声音是50分贝，它表示声

音的强度是1()5,汽车的声音是100分贝，表示声音的强度是io10,喷气式飞机

的声音是150分贝，求：

(1)汽车声音的强度是人声音的强度的多少倍？

(2)喷气式飞机声音的强度是汽车声音的强度的多少倍？

解析：(1)用汽车声音的强度除以人声音的强度，再利用“同底数源相除，

底数不变，指数相减”计算；(2)将喷气式飞机声音的分贝数转化为声音的强

度，再除以汽车声音的强度即可得到答案.

解：(1)因为101()4-105=10|()-5=105,所以汽车声音的强度是人声音的强度

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的1。5倍；

(2)因为人的声音是50分贝，其声音的强度是105,汽车的声音是100分

贝，其声音的强度为1O10,所以喷气式飞机的声音是150分贝，其声音的强度

为1015,所以io,5^io,o=iol5-|O=io5,所以喷气式飞机声音的强度是汽车声

音的强度的倍.

方法总结：本题主要考查同底数嘉除法的实际应用，熟练掌握其运算性质

是解题的关键.

探究点二：零指数基和负整数指数累

【类型一】零指数寨

的E!若(x—6)°=1成立，则x的取值范围是()

A.xe6B.xW6

C.光工6D.x=6

解析：•..(x-6)0=l成立，.•.x—6W0,解得xW6.故选C.

方法总结：本题考查的是0指数原成立的条件，非0的数的0次黑等于1,

注意0指数黑的底数不能为0.

［类型二］比较数的大小

的13若4=(一夕2,/?=(—1)］,c=(—1)°,则a、b、C,的大小关系是()

A.a>b=cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>c>a

解析：Va=(­1)-2=(—1)2=1,8=(一I)-・一1,c=(—1)°=1,：.a>c

>匕.故选B.

方法总结：本题的关键是熟悉运算法则，利用计算结果比较大小.当底数

是分数，指数为负整数时，只要把底数的分子、分母颠倒，负指数就可变为正

指数.

［类型三］零指数英与负整数指数器中底数的取值范围

熊I若。-3)°—2(3%—6厂2有意义，则x的取值范围是()

A.x>3B.尤W3且xW2

C.尤W3或x#2D.x<2

解析：根据题意，若(x-3)°有意义，则》一3#0,即x#3.(3x—6)-2有意

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义，则3x—6W0,即x#2,所以x#3且x#2.故选B.

方法总结：任意非0的数的0次福为1,底数不能为0,负整数指数黑的底

数不能为0.

［类型四］含整数指数鬲、零指数幕与绝对值的混合运算

加计算：-22+（—3）-2+（2015一"）。一|2一"|l.

解析：分别根据有理数的乘方、零指数暴、负整数指数幕及绝对值的性质

计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算.

IJIJI

解：-2?+（—E）-2+（2015—n）。一|2—y!=—4+4+1—2+爹=彳一1.

方法总结：熟练掌握有理数的乘方、零指数糯、负整数指数累及绝对值的

性质是解答此题的关键.

®s@©

1.同底数塞的除法法则：

同底数幕相除，底数不变，指数相减.

2.零次幕:

任何一个不等于零的数的零次基都等于1.即。°=1（。工0）.

3.负整数次事：

任何一个不等于零的数的一p（p是正整数）次幕，等于这个数p次幕的倒

数.即aR=5（aW0,p是正整数）.

从计算具体问题中的同底数幕的除法，逐步归纳出同底数幕除法的一般性

质.教学时要多举几个例子，让学生从中总结出规律，体验自主探究的乐趣和

数学学习的魅力，为以后的学习奠定基础

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第五章整式的乘除

3同底数塞的除法

课时2用科学记数法表示小于1的正数

【知识与技能】

能用科学记数法表示绝对值较小的数.体会科学记数法中负指数的应用.

【过程与方法】

经历探索同底数毒的除法的运算性质过程。理解同底数事的除法的运算算

理，发展有条理的思考及表达能力。

【情感态度与价值观】

进一步培养学生的观察、类比、归纳能力，体验数学的严密性和深刻性.

能用科学记数法表示绝对值较小的数.

根据要求，对数据进行处理.

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一、情境导入

同底数累的除法公式为4m,有一个附加条件：机>〃，即被除数

的指数大于除数的指数.当被除数的指数不大于除数的指数，即tn=n或m<n

时，情况怎样呢？

二'合作探究

探究点：用科学记数法表示较小的数

［类型—］用科学记数法表示绝对值小于1的数

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硒12014年6月18日中商网报道，一种重量为0.000106千克，机身由碳

纤维制成，且只有昆虫大小的机器人是全球最小的机器人，0.000106用科学记

数法可表示为()

A.1.06X10-4B.1.06X10-5

C.10.6X10-5D.106X10"6

解析：0.000106=1.06XKT1故选A.

方法总结：绝对值小于1的数也可以用科学记数法表示，一般形式为

aXl(T",其中lWa<10,〃为正整数.与较大数的科学记数法不同的是其所使

用的是负整数指数累，指数由原数左边起第一个不为零的数前面的0的个数所

决定.

［类型二］将用科学记数法表示的数还原为原数

就0用小数表示下列各数：

(1)2X10-7；⑵3.14X10-5；

(3)7.08X10-3;(4)2.17X10-1.

解析：小数点向左移动相应的位数即可.

解：(1)2x1()-7=00000002；(2)3.14X10-5=0.0000314；

(3)7.08X10-3=0.00708；(4)2.17X10-1=0.217.

方法总结：将科学记数法表示的数aX10"还原成通常表示的数，就是把a

的小数点向左移动〃位所得到的数.

用科学记数法表示绝对值小于1的数：

一般地，一个小于1的正数可以表示为aXIO",其中lWa<10,〃是负整

数.

从本节课的教学过程来看，结合了多种教学方法，既有教师主导课堂的例题

讲解，又有学生主导课堂的自主探究.课堂上学习气氛活跃，学生的学习积极

性被充分调动，在拓展学生学习空间的同时，又有效地保证了课堂学习质量

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第六章整式的乘除

4整式的乘法

课时1单项式乘单项式

【知识与技能】

在具体情境中了解单项式乘法的意义，理解单项式乘法法则，会利用法则

进行单项式的乘法运算.

【过程与方法】

经历探索单项式乘法法则的过程，理解单项式乘法运算的算理，发展学生

有条理的思考能力和语言表达能力.

【情感态度与价值观】

进一步培养学生的观察、类比、归纳能力，体验数学的严密性和深刻性.

单项式乘法法则及其应用.

单项式乘法法则及其应用.

多媒体课件.

一、情境导入

根据乘法的运算律计算：

(l)2x-3y；(2)5crb,{—lab1).

解：(l)2»3y=(2X3>(»y)=6xy；

(2)5〃。・(-2。庐)=5义(-2〉(。2•a>S乃2)=-10/分

观察上述运算，你能归纳出单项式乘法的运算法则吗?

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二'合作探究

探究点：单项式与单项式相乘

［类型—］直接利用单项式乘以单项式法则进行计算

颐I计算：

25

(1)(一下2刀.神，；

(2)(—+>)3•3xy2•(2x/)2；

(3)~6m2n,(%—y)3•x)2.

解析：运用疑的运算法则和单项式乘以单项式的法则计算即可.

25255,,

解：(1)(一乎2与％4/=--x-^bt?=—gC^bc1；

i13

22

(2)(—尹>)3•3孙2•(2x/)=—X3x/X4A/=；

(3)—6/n2«,(x-—x)2=—6X^w3«3(x—y)5=—2n^n3(x-y)5.

方法总结：(1)在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的

积；(2)注意按顺序运算；(3)不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；(4)此

性质对于多个单项式相乘仍然成立.

［类型二］单项式乘以单项式与同类项的综合

I例口已知一2X3”"1产与7口厂3产”的积与是同类项，求〃「+"的值.

，，，+

解析：根据一2^।产与7/广3/-4的积与fy是同类项可得出关于加，n

的方程组，进而求出机，〃的值，即可得出答案.

解：-2?W+1产与7/"-3产-4的积与尤4丫是同类项，...

3

3m+1+5m-3=4,4，.,,-143

解得5••疗+〃—IQ

2〃+5〃-4=1,

T

方法总结：掌握单项式乘以单项式的运算法则，再结合同类项，列出二元

一次方程组是解题关键.

［类型三］单项式乘以单项式的实际应用

砸1有一块长为xm,宽为ym的长方形空地，现在要在这块地中规划一块

长|xm,宽%，m的长方形空地用于绿化，求绿化的面积和剩下的面积.

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解析：先求出长方形的面积，再求出绿化的面积，两者相减即可求出剩下

的面积.

解：长方形的面积是孙i*绿化的面积是沁泊蓊(n?),则剩下的面

911

积是xy~^xy=-^xy(m2).

方法总结：掌握长方形的面积公式和单项式乘单项式法则是解题的关键.

®®®©

1.单项式乘以单项式的运算法则：

单项式相乘，把系数、同底数幕分别相乘，作为积的因式；对于只在一个

单项式里面含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

2.单项式乘以单项式的应用

计算：(1)5x3-2x2y(2)-3ab-(-4b2)(3)3ab3

(4)yz-2y2z2(5)(2x2y)3■(-4xy2)

(6)a3b-6a5b2c-(-ac2)2

本课时的重点是让学生理解单项式的乘法法则并能熟练应用.要求学生在乘

法的运算律以及幕的运算律的基础上进行探究.教师在课堂上应该处于引导位

置，鼓励学生“试一试”，学生通过动手操作，能够更为直接的理解和应用该

知识点

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第七章整式的乘除

4整式的乘法

课时2单项式乘多项式

【知识与技能】

在具体情境中了解单项式与多项式乘法的意义，会进行单项式与多项式的

乘法运算.

【过程与方法】

经历探索单项式与多项式乘法法则的过程，理解单项式与多项式相乘的算

理，体会乘法分配律的重要作用及转化的数学思想，发展学生有条理的思考和

语言表达能力.

【情感态度与价值观】

进一步培养学生的观察、类比、归纳能力，体验数学的严密性和深刻性.

1.能根据乘法分配律和单项式与单项式相乘的法则探究单项式与多项式相

乘的法则；

2.掌握单项式与多项式相乘的法则并会运用.

1.能根据乘法分配律和单项式与单项式相乘的法则探究单项式与多项式相

乘的法则；

2.掌握单项式与多项式相乘的法则并会运用.

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一、情境导入

计算：（-12）xg-4—1）.我们可以根据有理数乘法的分配律进行计算，

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那么怎样计算2M3/—2x+l)呢？

二'合作探究

探究点：单项式乘以多项式

［类型—］直接利用单项式乘以多项式法则进行计算

颐I计算：

2,1

(1)付必2—2ab)-^ab；

(2)—?>y—1).

解析：利用单项式乘以多项式法则计算即可.

2,121111i2,,2

解：2").5ab=铲。2.-a^—2ab-^ab=^ab—ab；

⑵-2x.(+y+3y-1)=-2x-+y-|-(-2x>3y+(—2x>(-1)=一丁丫+(-6孙)

+2x=­j1?y—6xy+2x.

方法总结：单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是

用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.

［类型二］单项式与多项式乘法的实际应用

例a一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽。米，下底宽3+2份米，坝

高5米.

(1)求防洪堤坝的横断面面积；

(2)如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？

解析：(1)根据梯形的面积公式，然后利用单项式乘以多项式的运算法则计

算；(2)防洪堤坝的体积=梯形面积X坝长.

解：⑴防洪堤坝的横断面面积S=1［a+(a+2Z?)］x|a=1a(2a+2Z?)=1a2+1

。仇平方米).故防洪堤坝的横断面面积为(；/+5〃)平方米；

⑵堤坝的体积丫=5/=(52+；")><］00=50次+50的立方米).故这段防洪

堤坝的体积是(504+50。与立方米.

方法总结：本题要知道梯形的面积公式及堤坝的体积(堤坝体积=梯形面积

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义长度)的计算方法，同时掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键.

［类型三］利用单项式乘以多项式化简求值

丽先化简，再求值：5a(2a2-5a+3)-2a2(5«+5)+7a2,其中。=2.

解析：首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，

最后代入已知的数值计算即可.

解：5a(2a2—5。+3)—2/(5。+5)+7。2=10<23—25172+15a—10a3—10a2+7a2

——28a2+15a,当a=2时，原式=-82.

方法总结：本题考查了整式的化简求值.在计算时要注意先化简然后再代

值计算.整式的加减运算实际上就是去括号与合并同类项.

1.单项式与多项式的乘法法则：

单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的

积相加.

2.单项式与多项式乘法的应用

★1、计算：

(1)a(a2m+n)(2)b2(h+3a-a2)

(3)(4)4(e+f2d)-ef2d

★★2、计算：-2a?•(工ab+b?)-5adb-ab?)

2

★★★3、已知=_3,求一冲，,7一3了2),5-y)的值

本节课在已学过的单项式乘以单项式的基础上，学习单项式乘以多项式.教

学中注意发挥学生的主体作用，让学生积极参与课堂活动，并通过不断纠错而

提高解题水平

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第八章整式的乘除

4整式的乘法

课时3多项式乘多项式

【知识与技能】

在具体情境中了解多项式与多项式乘法的意义，会进行多项式与多项式的

乘法运算.

【过程与方法】

经历探索多项式与多项式乘法法则的过程，理解多项式与多项式相乘的算

理，体会乘法分配律的重要作用及转化的数学思想，发展学生有条理的思考和

语言表达能力.

【情感态度与价值观】

进一步培养学生的观察、类比、归纳能力，体验数学的严密性和深刻性.

1.能根据乘法分配律和多项式与多项式相乘的法则探究多项式与多项式相

乘的法则；

2.掌握多项式与多项式相乘的法则并会运用.

1.能根据乘法分配律和单项式与单项式相乘的法则探究多项式与多项式相

乘的法则；

2.掌握多项式与多项式相乘的法则并会运用.

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一、情境导入

某地区在退耕还林期间，将一块长相米、宽。米的长方形林区的长、宽分

别增加"米和方米.用两种方法表示这块林区现在的面积.

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学生积极思考，教师引导学生分析，学生发现：

这块林区现在长为(，”+〃)米，宽为(a+A)米，因而面积为(〃z+〃)(a+b)平方

米.

另外，如图，这块地由四小块组成，它们的面积分别为〃口平方米，“8平

方米、〃a平方米，泌平方米，故这块地的面积为(〃口+加平方米.

由此可得("?+〃)(。+8)=加。+/油+〃。+成今天我们就学习多项式乘以多项

式-pl.

探究点一：多项式与多项式相乘

［类型—］直接利用多项式乘多项式法则进行计算

颐I计算：

(l)(3x+2)(x+2)；

⑵(4厂1)(5—y).

解析：利用多项式乘以多项式法则计算，即可得到结果.

解：⑴原式uBf+Gx+Zr+dnSf+gx+d；

(2)原式=20)，-4y2-5+丁=一49+21)一5.

方法总结：多项式乘以多项式，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；

多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多

项式的项数之积.

［类型二］多项式乘以多项式的混合运算

I例口计算：(3a+1)(2a—3)—(6a—5)(a—4).

解析：根据整式混合运算的顺序和法则分别进行计算，再把所得结果合并

即可.

角帛：(3a+1)(2。-3)—(6a—5)(a—4)=6a2—9a+2a—3—6屋+24a+5a—20

=22a—23.

方法总结：在计算时要注意混合运算的顺序和法则以及运算结果的符号.

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探究点二：多项式与多项式相乘的化简求值及应用

［类型—］多项式乘以多项式的化简求值

胸❸先化简，再求值：(。一2份(“2+2"+4b2)—a(a-•S/OQ+Bb),其中a=

—1,/?=1.

解析：先将式子利用整式乘法展开，合并同类项化简，再代入计算.

解：(a—2/?)(«2+2ab+4/J2)——a(a——5b)(a+36)=/—8/?3——(a2—5ab)(a+3Z?)

=/——3/0+542。+］5ab2=-8力3+2/^+］5M2.当a=—\,b=1时，

原式=-8+2—15=—21.

方法总结：化简求值是整式运算中常见的题型，一定要注意先化简，再求

值，不能先代值，再计算.

［类型二］多项式乘以多项式与方程的综合

睡！解方程：(x-3)(x-2)=(x+9)(x+l)+4.

解析：方程两边利用多项式乘以多项式法则计算，移项、合并同类项，将

x系数化为1,即可求出解.

解：去括号后得f—5x+6=f+10x+9+4,移项、合并同类项得一15x=

7

7,解得x=一记.

方法总结：解答本题就是利用多项式的乘法，将原方程转化为已学过的方

程解答.

［类型三］多项式乘以多项式的实际应用

砸I千年古镇杨家滩的某小区的内坝是一块长为(3a+b)米，宽为(2a+切米

的长方形地块，物业部门计划将内坝进行绿化(如图阴影部分)，中间部分将修

建一仿古小景点(如图中间的正方形)，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a

=3,Z?=2时的绿化面积.

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解析：根据长方形的面积公式，可得内坝、景点的面积，根据面积的差,

可得答案.

解：由题意，得(3。+份(2。+/?)—(。+/?)2=6次+5。匕+庐一。2—2。匕-62=5层

+3。伙平方米).当a=3,b=2时,5/+3必=5X32+3X3X2=63(平方米)，

故绿化的面积是63平方米.

方法总结：掌握长方形的面积公式和多项式乘多项式法则是解题的关键.

［类型四］根据多项式乘以多项式求待定系数的值

(例m已知加+/?尤+l(a#O)与3x—2的积不含f项，也不含x项，求系数

a、〃的值.

解析：首先利用多项式乘法法则计算出(加+―+1)(38-2),再根据积不含

/项，也不含x项，可得含f项和含x项的系数等于零，即可求出a与人的

值.

解:(加+法+1)(3%-2)=3ax2加+3加-2/?x+3x—2.,积不含x2项，

-39,

也不含x项，二一2a+3/?=0,—28+3=0,解得8=5,a=『系数a、的

值分别是39!3

方法总结：解决此类问题首先要利用多项式乘法法则计算出展开式，合并

同类项后，再根据不含某一项，可得这一项系数等于零，再列出方程解答.

1.多项式与多项式的乘法法则：

多项式和多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项

相乘，再把所得的积相加.

2.多项式与多项式乘法的应用

★1、计算：

(1)(m+2n)(m-2n)(2)(2n+5)(n-3)

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★★2、计算：(2x-D(x+5)-(x-5)(x+3)

★★★3、若Qnr+y)(x-y)=2/+5-丁，求加，〃的值.

本节知识的综合性较强，要求学生熟练掌握前面所学的单项式与单项式相乘

及单项式与多项式相乘的知识，同时为了让学生理解并掌握多项式与多项式相

乘的法则，教学中一定要精讲精练，让学生从练习中再次体会法则的内容，为

以后的学习奠定基础

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第九章整式的乘除

5平方差公式

课时1平方差公式的认识

【知识与技能】

1.经历探索平方差公式的过程。

2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算。

【过程与方法】

1.经历探索平方差公式的过程。

2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算。

【情感态度与价值观】

进一步培养学生的观察、类比、归纳能力，体验数学的严密性和深刻性.

1.掌握平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的理解；

（重点）

2.掌握平方差公式的应用.（重点）

gso®

1.掌握平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的理解；

（重点）

2.掌握平方差公式的应用.（重点）

多媒体课件.

一、情境导入

1.教师引导学生回忆多项式与多项式相乘的法则.

学生积极举手回答.

多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每

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一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

2.教师肯定学生的表现，并讲解一种特殊形式的多项式与多项式相乘

平方差公式.

探究点：平方差公式

［类型一］直接运用平方差公式进行计算

硒I利用平方差公式计算：

(l)(3x-5)(3x+5)；

(2)(—2a—/?)(/?—2a)；

(3)(—7〃z+8〃)(一8〃-7〃z)；

(4)(x—2)(x+2)(f+4).

解析：直接利用平方差公式进行计算即可.

解：(1)(3X-5)(3X+5)=(3X)2-52=9X2-25；

(2)(-2a-l>)(t>-2a)=(-2a)2-t>2=4a2-l>2；

(3)(—7/w+8/?)(—8H—7n?)=(-7m)2—(8n)2=49m2—64n2；

(4)(x—2)(x+2)(f+4)=(f—4)(f+4)=d-i6.

方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个

二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右

边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的。和人可以是具体的数，也

可以是单项式或多项式.

［类型二］利用平方差公式进行简便运算

就0利用平方差公式计算：

(l)2o|x19|；(2)13.2X12.8.

1711

解析：(1)把20§乂1%写成(20+］)><(20—§),然后利用平方差公式进行计

算；(2)把13.2X12.8写成(13+02)X(13-0.2),然后利用平方差公式进行计

算.

解：⑴2,义191=(20+^)X(20—1)=202—(1)2=400—1;=399^；

(2)13.2X12.8=(134-0.2)X(13-0.2)=132-0.22=169-0.04=168.96.

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方法总结：熟记平方差公式的结构是解题的关键.

【类型三】化简求值

画EI先化简，再求值：(2%—y)(y+2x)—(2y+x)(2y—x),其中x=l,y=2.

解析：利用平方差公式展开并合并同类项，然后把x、y的值代人进行计算

即可得解.

解：(2x—y)(y+2x)—(2y+x)(2y—x)=4J?—y2—(4)r—x2)=4J?—y2—4)?+f

=5f—5y2.当x=l,y=2时，原式=5X15X2~——15.

方法总结：利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算.

［类型四］平方差公式的几何背景

WB如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b),

把剩下部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法

公式是.

解析：Y图①中阴影部分的面积是层一人，图②中梯形的面积是g(2a+

2b)(a—/?)=(«+b)(a—b),a2—h2=(a+b')(a—b),即可验证的乘法公式为(a+

/?)(«—Z?)=a2—/?2.

方法总结：通过几何图形面积之间的数量关系可对平方差公式做出几何解

释.

［类型五］平方差公式的实际应用

碉王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈.今年王

大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价

租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了.你认为李大妈吃亏了吗？为什

么？

解析：根据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边长后的面积，然后

比较二者的大小即可.

解：李大妈吃亏了.理由如下：原正方形的面积为改变边长后面积为

(a+4)(a—4)=a2—16.a2>a2—16,二李大妈吃亏了.

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方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简

解决问题.

1.平方差公式：

两数和与这两数差的积等于它们的平方差.即（。+份3—加=。2—〃.

2.平方差公式的应用

学生通过“做一做”发现平方差公式，同时通过“试一试”用几何方法证明

公式的正确性.通过这两种方式的演算，让学生理解平方差公式.本节教学内

容较多，因此教材中的练习可以让学生在课后完成