湖南省洞口二中2024届高二数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

湖南省洞口二中2024届高二数学第一学期期末学业水平测试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．胡萝卜中含有大量的胡萝卜素，摄入人体消化器官后，可以转化为维生素，现从，两个品种的胡萝卜所含的胡萝卜素（单位：）得到茎叶图如图所示，则下列说法不正确的是A. B.的方差大于的方差C.品种的众数为 D.品种的中位数为2．某公司有320名员工，将这些员工编号为1，2，3，…，320，从这些员工中使用系统抽样的方法抽取20人进行“学习强国”的问卷调查，若54号被抽到，则下面被抽到的是（）A.72号 B.150号C.256号 D.300号3．在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为16，则乙组数据的平均数为（）A.12 B.10C.8 D.64．双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A. B.2C. D.5．如图，直四棱柱的底面是菱形，，，M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.6．点到直线的距离为2，则的值为（）A.0 B.C.0或 D.0或7．在下列四条抛物线中，焦点到准线的距离为1的是（）A. B.C. D.8．已知命题p：，，则命题p的否定为（）A.， B.，C.， D.，9．下列四个命题中，为真命题的是（）A.若a＞b，则ac2＞bc2B.若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣dC.若a＞|b|，则a2＞b2D.若a＞b，则10．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“一百八十九里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意为：“有一个人共行走了189里的路程，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地.”则该人第一天行走的路程为（）A.108里 B.96里C.64里 D.48里11．已知在平面直角坐标系中，圆的方程为，直线过点且与直线垂直.若直线与圆交于两点，则的面积为A.1 B.C.2 D.12．函数f（x）=xex的单调增区间为（）A.（-∞，-1） B.（-∞，e）C.（e，+∞） D.（-1，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知实数，，，满足，，，则的最大值是______14．设数列的前n项和为，若，且是等差数列．则的值为__________15．已知函数，则的导函数______.16．已知点P为椭圆上的任意一点，点，分别为该椭圆的左、右焦点，则的最大值为______________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过点的直线与抛物线只有一个公共点.（1）求抛物线的方程；（2）求直线的方程.18．（12分）如图，四棱锥中，平面、底面为菱形，为的中点.（1）证明：平面；（2）设，菱形的面积为，求二面角的余弦值.19．（12分）2020年3月20日，中共中央、国务院印发了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》（以下简称《意见》），《意见》中确定了劳动教育内容要求，要求普通高中要注重围绕丰富职业体验，开展服务性劳动、参加生产劳动，使学生熟练掌握一定劳动技能，理解劳动创造价值，具有劳动自立意识和主动服务他人、服务社会的情怀．我市某中学鼓励学生暑假期间多参加社会公益劳动，在实践中让学生利用所学知识技能，服务他人和社会，强化社会责任感，为了调查学生参加公益劳动的情况，学校从全体学生中随机抽取100名学生，经统计得到他们参加公益劳动的总时间均在15~65小时内，其数据分组依次为：，，，，，得到频率分布直方图如图所示，其中（1）求，的值，估计这100名学生参加公益劳动的总时间的平均数（同一组中的每一个数据可用该组区间的中点值代替）；（2）学校要在参加公益劳动总时间在、这两组的学生中用分层抽样的方法选取5人进行感受交流，再从这5人中随机抽取2人进行感受分享，求这2人来自不同组的概率20．（12分）已知椭圆的右焦点为F(，0)，且点M(－，)在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）直线l过点F，且与椭圆交于A，B两点，过原点O作l的垂线，垂足为P，若，求λ的值.21．（12分）已知数列的前n项和，（1）求数列的通项公式；（2）设，，求数列的前n项和22．（10分）等差数列的前项和记为，已知.（1）求的通项公式：（2）求，并求为何值时的值最大.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】读懂茎叶图，分别计算出众数、中位数、方差，然后对各选项进行判断【题目详解】由茎叶图知，品种所含胡萝卜素普遍高于品种，所以，故A正确；品种的数据波动比品种的数据波动大，所以的方差大于的方差，故B正确；品种的众数为与，故C错误；品种的数据的中位数为，故D正确.故选.【题目点拨】本题主要考查了对数据的分析，首先要读懂茎叶图，然后计算出众数、中位数、方差，即可对各选项进行判断，较为基础2、B【解题分析】根据系统抽样分成20个小组，每组16人中抽一人，故抽到的序号相差16的整数倍，即可求解.【题目详解】∵用系统抽样的方法从320名员工中抽取一个容量为20的样本∴，即每隔16人抽取一人∵54号被抽到∴下面被抽到的是54+16×6=150号，而其他选项中的数字不满足与54相差16的整数倍，故答案为：B故选：B3、A【解题分析】根据众数的概念，求得的值，再根据平均数的计算公式，即可求解.【题目详解】由题意，甲组数据的众数为16，得，所以乙组数据的平均数为故选：A.4、A【解题分析】根据点到直线距离公式进行求解即可.【题目详解】由双曲线的标准方程可知：，该双曲线的焦点坐标为：，双曲线的渐近线方程为：，所以焦点到渐近线的距离为：，故选：A5、D【解题分析】用向量分别表示,利用向量的夹角公式即可求解.【题目详解】由题意可得，故选：D【题目点拨】本题主要考查用向量的夹角公式求异面直线所成的角，属于基础题.6、C【解题分析】根据点到直线的距离公式即可得出答案.【题目详解】解：点到直线的距离为，解得或.故选：C.7、D【解题分析】由题意可知，然后分析判断即可【题目详解】由题意知，即可满足题意，故A，B，C错误，D正确.故选：D8、D【解题分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【题目详解】根据全称命题与存在性命题的关系可得：命题“p：，”的否定式为“，”.故选：D.9、C【解题分析】利用不等式的性质结合特殊值法依次判断即可【题目详解】当c＝0时，A不成立；2>1，3>－1，而2－3<1－(－1)，故B不成立；a＝2，b＝1时，，D不成立；由a>|b|知a>0，所以a2>b2，C正确故选：C10、B【解题分析】根据题意，记该人每天走的路程里数为，分析可得每天走的路程里数构成以的为公比的等比数列，由求得首项即可【题目详解】解：根据题意，记该人每天走的路程里数为，则数列是以的为公比的等比数列，又由这个人走了6天后到达目的地，即，则有，解可得：，故选：B.【题目点拨】本题考查数列的应用，涉及等比数列的通项公式以及前项和公式的运用，注意等比数列的性质的合理运用.11、A【解题分析】∵圆的方程为，即，∴圆的圆心为，半径为2.∵直线过点且与直线垂直∴直线.∴圆心到直线的距离.∴直线被圆截得的弦长，又∵坐标原点到的距离为，∴的面积为.考点：1、直线与圆的位置关系；2、三角形的面积公式.12、D【解题分析】求出，令可得答案.【题目详解】由已知得，令，得，故函数f（x）=xex的单调增区间为（-1，+∞）.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、10【解题分析】采用数形结合法，将所求问题转化为两点到直线的距离和的倍，结合梯形中位线性质和三角形三边关系可求得答案.【题目详解】由，，，可知，点在圆上，由，即为等腰直角三角形，结合点到直线距离公式可理解为圆心到直线的距离，变形得，即所求问题可转化为两点到直线的距离和的倍，作于于，中点为，中点为，由梯形中位线性质可得，，作于，于，连接，则，当且仅当与重合，三点共线时，有最大值，由点到直线距离公式可得，由几何性质可得，，此时，故的最大值为.故答案为：10.14、52【解题分析】根据给定条件求出，再求出数列的通项即可计算作答.【题目详解】依题意，因是等差数列，则其公差，于是得，，当时，，而满足上式，因此，，所以.故答案为：5215、【解题分析】利用基本初等函数的求导公式及积的求导法则计算作答.【题目详解】函数定义域为，则，所以.故答案为：16、【解题分析】利用正弦定理表示出，再求t，再利用求的最大值即可.【题目详解】在中，由正弦定理得，所以，，即求的最大值，也就是求t的最小值，而，即最大时，由椭圆的性质知当P为椭圆上顶点时最大，此时，，所以，所以的最大值是1，，所以，故答案为：.【题目点拨】本题考查椭圆焦点三角形的问题，考查正弦定理的应用.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）或或.【解题分析】(1)根据给定条件结合p的几何意义，直接求出p写出方程作答.(2)直线l的斜率存在设出其方程，再与抛物线C的方程联立，再讨论计算，l斜率不存在时验证作答.【小问1详解】因抛物线的焦点到准线的距离为，于是得，所以抛物线的方程为.【小问2详解】当直线的斜率存在时，设直线为，由消去y并整理得：，当时，，点是直线与抛物线唯一公共点，因此，，直线方程为，当时，，此时直线与抛物线相切，直线方程为，当直线的斜率不存在时，y轴与抛物线有唯一公共点，直线方程为，所以直线方程为为或或.18、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】（1）连接交于点，连接，则，利用线面平行的判定定理，即可得证；（2）根据题意，求得菱形的边长，取中点，可证，如图建系，求得点坐标及坐标，即可求得平面的法向量，根据平面PAD，可求得面的法向量，利用空间向量的夹角公式，即可求得答案.【题目详解】（1）连接交于点，连接，则、E分别为、的中点，所以，又平面平面所以平面（2）由菱形的面积为，，易得菱形边长为，取中点，连接，因为，所以，以点为原点，以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立如图所示坐标系.则所以设平面的法向量，由得，令，则所以一个法向量，因为，，所以平面PAD，所以平面的一个法向量所以，又二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为【题目点拨】解题的关键是熟练掌握证明平行的定理，证明线面平行时，常用中位线法和平行四边形法来证明；利用空间向量求解二面角为常考题型，步骤为建系、求点坐标、求所需向量坐标、求法向量、利用夹角公式求解，属基础题.19、（1），；平均数为40.2；（2）【解题分析】（1）根据矩形面积和为1，求的值，再根据频率分布直方图求平均数；（2）首先利用分层抽样，在中抽取3人，在中抽取2人，再编号，列举基本事件，求概率，或者利用组合公式，求古典概型概率.详解】（1）依题意，，故又因为，所以，所求平均数为（小时）所以估计这100名学生参加公益劳动的总时间的平均数为40.2（2）由频率分布直方图可知，参加公益劳动总时间在和的学生比例为又由分层抽样的方法从参加公益劳动总时间在和的学生中随机抽取5人，则在中抽取3人，分别记为，，，在中抽取2人，分别记为，，则从5人中随机抽取2人基本事件有，，，，，，，，，这2人来自不同组的基本事件有：，，，，，，共6个，所以所求的概率解法二：由频率分布直方图可知，参加公益劳动总时间在和的学生比例为又由分层抽样的方法从参加公益劳动总时间在和的学生中随机抽取5人，则在中抽取3人，在中抽取2人，则从5人中随机抽取2人的基本事件总数为这2人来自不同组的基本事件数为所以所求的概率20、（1）（2）【解题分析】（1）求得，的值即可确定椭圆方程；（2）分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况即可确定为定值【小问1详解】由题意知：根据椭圆的定义得：，即，所以椭圆的标准方程为【小问2详解】当直线的斜率不存在时，的方程是此时，所以当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，由可得显然△，则，因为，所以所以，此时综上所述，为定值21、（1）；（2）【解题分析】（1）将代入可求得.根据通项公式与前项和的关系,可得数列为等比数列,由等比数列的通项公式即可求得数列的通项公式