吉林省松原市2024学年高二上数学期末经典模拟试题含解析

吉林省松原市2024学年高二上数学期末经典模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知向量，．若，则（）A. B.C. D.2．已知数列中，，，是的前n项和，则（）A. B.C. D.3．若关于x的方程有解，则实数的取值范围为()A. B.C. D.4．已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则抛物线的方程是（）A. B.C. D.5．已知数列满足，则满足的的最大取值为（）A.6 B.7C.8 D.96．已知函数．若数列的前n项和为，且满足，，则的最大值为（）A.9 B.12C.20 D.7．已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为CD，CB的中点，分别沿AE，AF将三角形ADE，ABF折起，使得点B，D恰好重合，记为点P，则AC与平面PCE所成角等于（）A. B.C. D.8．已知双曲线，点F为其左焦点，点B，若BF所在直线与双曲线的其中一条渐近线垂直，则该双曲线的离心率为（）A. B.C. D.9．函数的导函数的图像如图所示，则（）A.为的极大值点B.为的极大值点C.为的极大值点D.为的极小值点10．中，三边长之比为，则为（）A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不存在这样的三角形11．在的展开式中，的系数为（）A. B.5C. D.1012．已知，，且，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，则曲线在点处的切线方程为___________.14．数据：1，1，3，4，6的方差是______.15．若动直线分别与函数和的图像交于A，B两点，则的最小值为______16．=______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）为弘扬中华优秀传统文化，鼓励全民阅读经典书籍，某市举行阅读月活动，现统计某街道约10000人在该活动月每人每日平均阅读时间（分钟）的频率分布直方图如图：（1）求x的值；（2）从该街道任选1人，则估计这个人的每日平均阅读时间超过60分钟的概率.18．（12分）已知直线，，分别求实数的值，使得：（1）；（2）；（3）与相交.19．（12分）如图，已知双曲线，过向双曲线作两条切线，切点分别为，，且.（1）证明：直线的方程为.（2）设为双曲线的左焦点，证明：.20．（12分）若分别是椭圆的左、右焦点，是该椭圆上的一个动点，且（1）求椭圆的方程（2）是否存在过定点的直线与椭圆交于不同的两点，使（其中为坐标原点）？若存在，求出直线的斜率；若不存在，说明理由21．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦点为，且过点，椭圆的上、下顶点分别为，右顶点为，直线过点且垂直于轴（1）求椭圆的标准方程；（2）若点在椭圆上（且在第一象限），直线与交于点，直线与轴交于点，试问：是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由22．（10分）设正项数列的前项和为，已知，（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】根据给定条件利用空间向量平行的坐标表示直接计算作答.【题目详解】向量，，因，则，解得，所以，B，D都不正确；，C不正确，A正确.故选：A2、D【解题分析】由，得到为递增数列，又由，得到，化简，即可求解.【题目详解】解：由，得，又，所以，所以，即，所以数列为递增数列，所以，得，即，又由是的前项和，则.故选：D.【题目点拨】关键点睛：本题考查数列求和问题，关键在于由已知条件得出，运用裂项相消求和法.3、C【解题分析】将对数方程化为指数方程，用x表示出a，利用基本不等式即可求a的范围【题目详解】，，当且仅当时取等号，故故选：C4、B【解题分析】由抛物线知识得出准线方程，再由点到焦点的距离等于其到准线的距离求出，从而得出方程.【题目详解】由题意知，则准线为，点到焦点的距离等于其到准线的距离，即，∴，则故选：B.5、B【解题分析】首先地推公式变形，得，，求得数列的通项公式后，再解不等式.【题目详解】因为，两边取倒数，得，整理为：，，所以数列是首项为1，公差为4的等差数列，，，因为，即，得，解得：，,所以的最大值是7.故选：B6、C【解题分析】先得到及递推公式，要想最大，则分两种情况，负数且最小或为正数且最大，进而求出最大值.【题目详解】①，当时，，当时，②，所以①－②得：，整理得：，所以，或，当是公差为2的等差数列，且时，最小，最大，此时，所以，此时；当且是公差为2的等差数列时，最大，最大，此时，所以，此时综上：的最大值为20故选：C【题目点拨】方法点睛：数列相关的最值求解，要结合题干条件，使用不等式放缩，函数单调性或导函数等进行求解.7、A【解题分析】如图，以PE，PF，PA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解【题目详解】由题意得，因为正方形ABCD的边长为2，E，F分别为CD，CB的中点，所以，所以，所以所以PA，PE，PF三线互相垂直，故以PE，PF，PA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，设，则由，，，得，解得，则设平面的法向量为，则，令，则，因为，所以AC与平面PCE所成角的正弦值，因为AC与平面PCE所成角为锐角，所以AC与平面PCE所成角为，故选：A8、C【解题分析】设出双曲线半焦距c，利用斜率坐标公式结合垂直关系列式计算作答.【题目详解】设双曲线半焦距为c，则，直线BF的斜率为，双曲线的渐近线为：，因直线BF与双曲线的一条渐近线垂直，则有，即，于是得，而，解得，所以双曲线的离心率为.故选：C9、A【解题分析】由导函数的图像可得函数的单调区间，从而可求得函数的极值【题目详解】由的图像可知，在和上单调递减，在和上单调递增，所以为的极大值点，和为的极小值点，不是函数的极值点，故选：A10、C【解题分析】利用余弦定理可求得最大角的余弦值小于零，由此可知最大角为钝角.【题目详解】设三边分别为，，，中的最大角为，，为钝角，为钝角三角形.故选：C.11、C【解题分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可.【题目详解】展开式的通项公式为：，令可得：，则的系数为：.故选：C.【题目点拨】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项12、D【解题分析】利用空间向量共线的坐标表示可求得、的值，即可得解.【题目详解】因为，则，所以，，，因此，.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】对函数求导，由导数的几何意义可得切线的斜率，求得切点，由直线的点斜式方程可得所求切线的方程【题目详解】函数的导数为∴，.曲线在点处的切线方程为，即.故答案为：.14、##3.6【解题分析】先计算平均数，再计算方差.【题目详解】该组数据的平均数为，方差为故答案为：15、【解题分析】利用导数求出与平行的曲线的切线，再利用两点间距离公式进行求解即可.【题目详解】设曲线的切点为，由，所以曲线的切线的斜率为，直线的斜率为，当切线与平行时，即，即切点为，当直线过切点时，有最小值，即，此时，解方程组：，，故答案为：【题目点拨】关键点睛：利用曲线的切线性质进行求解是解题的关键.16、【解题分析】根据被积函数（）表示一个半圆，利用定积分的几何意义即可得解.【题目详解】被积函数（）表示圆心为，半径为2的圆的上半部分，所以.故答案为：.【题目点拨】本题考查了利用定积分的几何意义来求定积分，在用该方法求解时需注意被积函数的在给定区间内的函数值符号，本题属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）0.7【解题分析】（1）利用概率和为1计算可得的值；（2）求频率分布直方图中每人每日平均阅读时间超过60分钟的概率即为这个人阅读时间超过60分钟的概率.【小问1详解】由得【小问2详解】，估计这个人的每日平均阅读时间超过60分钟的概率为18、（1）或（2）或（3）且【解题分析】（1）根据直线一般式平行的条件列式计算；（2）根据直线一般式垂直的条件列式计算；（3）根据相交和平行的关系可得答案.【小问1详解】，，解得或又时，直线，，两直线不重合；时，直线，，两直线不重合；故或；【小问2详解】，，解得或；【小问3详解】与相交故由（1）得且.19、（1）证明见解析（2）证明见解析【解题分析】（1）设出切线方程，联立后用韦达定理及根的判别式进行表达出A的横坐标与纵坐标，进而表达出直线的方程，化简即为结果；（2）再第一问的基础上，利用向量的夹角公式表达出夹角的余弦值，进而证明出结论.【小问1详解】显然直线的斜率存在，设直线的方程为，联立得，则，化简得.因为方程有两个相等实根，故切点A的横坐标，得，则，故，则，即.【小问2详解】同理可得，又与均过，所以.故，，，又因为，所以，则，，故，故.【题目点拨】圆锥曲线中证明角度相关的问题，往往需要转化为斜率或向量进行求解.20、（1）；（2）存在；【解题分析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程.（2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，利用列方程，化简求得直线的斜率.【小问1详解】依题意，得椭圆的方程为【小问2详解】存在．理由如下：显然当直线的斜率不存在，即时，不满足条件故由题意可设的方程为．由是直线与椭圆的两个不同的交点，设，由消去y，并整理，得，则，解得，由根与系数的关系得，，即存在斜率的直线与椭圆交于不同的两点，使21、（1）（2）为定值，该定值为2【解题分析】（1）先根据焦点形式设出椭圆方程和焦距，根据椭圆经过和半焦距为3易得椭圆的标准方程；（2）设，分别表示出直线方程，进而求得点的纵坐标，点横坐标，即可表示出，即可求得答案【小问1详解】由焦点坐标可知，椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆：，焦距为，因为椭圆经过点，焦点为所以，，解得，所以椭圆的标准方程为；【小问2详解】设，由椭圆的方程可知，因为，则直线，由已知得，直线斜率均存在，